第二十一章四边形基础巩固测试卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中复习专项训练（人教版）

第二十一章四边形基础巩固测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，结合平行四边形的对角线互相平分的性质，得到邻边和与邻边差的两个等式，联立求解即可得到的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵的周长是， ∴ ①， ∵的周长比的周长小， ∴的周长减去的周长等于4 ∴， 化简得②， 联立得， 解得， 3．平遥慈相寺是山西重要的古建筑遗存，寺内古塔塔基为正多边形．若正多边形的每个外角都是，则该多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用多边形外角和为定值先求出正多边形的边数，再代入多边形内角和公式计算即可得到结果.用到的知识点为任意多边形的外角和是，多边形内角和公式为. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角都是. ∴该正多边形的边数， 又∵多边形的内角和公式为， ∴该多边形的内角和为. 4．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【详解】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意； B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意． 5．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 6．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题已知四边形是平行四边形，需根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项的条件能否推出该平行四边形为矩形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 选项A：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）， 不能够判定为矩形，故A项不符合题意． 选项B：， 仅由，无法推出平行四边形中有一个角为直角或对角线相等，不能判定其为矩形．故B项不符合题意． 选项C：， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能够判定为矩形，故C项不符合题意． 选项D：， ∵四边形是平行四边形，且 ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故D项符合题意． 7．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 8．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】连接，首先根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等得出，再根据垂线段最短分析的长度变化，从而得出的变化情况. 【详解】解：如图，连接． ，， ． ， 四边形是矩形． ． 当点从点运动到点的过程中， 根据垂线段最短可知，当时，最短． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 9．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 10．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，再证明，推出，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．求出下列图形中的值_____． 【答案】 【分析】根据四边形的内角和为，邻补角的定义，列式计算求解即可． 【详解】解：． 14．如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 16．如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】对于①，证明即可；对于②，举反例，当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合，可得；对于③，根据全等三角形的性质，可得，从而可证明；对于④，过点E作于点M，可求得，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：对于①， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， 即， 所以①正确； 对于②， 举反例：当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合， 四边形是菱形， ， 所以②错误； 对于③， 由①知， ， ， ， ， 所以③正确； 对于④，过点E作于点M， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 所以④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 【答案】（1）10 （2）27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键． 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： ， 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： ， 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线． 18．如图，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，可得，即可证明，得出，，，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于，利用勾股定理求出，利用的面积求出，利用三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴． 19．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等和对顶角相等可证，再根据等角对等边可证结论成立； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质可证是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一定理可证，证，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：如图所示，连接． ∵， ∴． 又 ， ∴． ∴，． ∵点M是的中点， ∴． ∴． ∴，． 在和中，， ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 【点睛】本题考查了四边形与三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 20．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 21．已知平行四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求的长： (2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案； （2）先证明，，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ，即， ． ， ∴， 或（舍去）． （2）证明：， ∴， ∴， ． 又， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵， ， ． 22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，继而得到四边形是平行四边形，证明即可； （2）根据勾股定理，得到，设，得到 ，解方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， 设， ， ， ， 解得． 23．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 【答案】(1)①3；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①设，则，在中根据勾股定理列出方程，进而求得结果； ②取的中点Q，连接，可推出是梯形的中位线，从而得出，在中，根据直角三角形的性质得出，从而得出； （2）连接，交于O，连接，作点B关于的对称点，可证得，从而，进而证得是等边三角形，从而，从而得出点在以O为圆心，2为半径的上运动，根据弧长公式求得结果； （3）连接，作于X，作，交的延长线于V，设，可证得，从而，进而表示出，可证得，从而得出，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程求得a的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②证明：如图1， 取的中点Q，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵M是的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴； （2）解：如图2， 连接，交于O，连接，作点B关于的对称点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以O为圆心，2为半径的上运动， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3， 连接，作于X，作，交的延长线于V， 设， ∵四边形是的内接四边形，是的直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，圆的内接四边形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．涉及的知识：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；梯形；平移、旋转与对称；需要掌握的能力：与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 24．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或． 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）结论：，理由如下： 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章四边形基础巩固测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．的周长是28，对角线、相交于点，且的周长比的周长小4，则的长为（   ） A．5 B．10 C．9 D．18 3．平遥慈相寺是山西重要的古建筑遗存，寺内古塔塔基为正多边形．若正多边形的每个外角都是，则该多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（  ） A．， B． C．， D． 5．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 9．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 12．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 13．求出下列图形中的值_____． 14．如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 15．如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 16．如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数． （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线． 18．如图，点、是对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 19．已知中，点E为上一点，且，的延长线交于点F，连． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，M是的中点，求的度数． 20．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 21．已知平行四边形中，对角线相交于点． (1)如图1，若，求的长： (2)如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若，，求的长． 23．“鹿鸣•博约”数学兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形，点E、F分别是边上的动点． (1)若四边形是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点B，C的对应点分别为M、N．点M恰好是的中点． ①若，求的长度； ②若与的交点为G，连接，试说明； (2)若，如图②，且，将四边形沿翻折，点B、C的对应点分别为．当点E从点A运动至点B的过程中，点的运动路径长为 ； (3)若四边形是正方形，，如图③，连接交于点M，以为直径作圆，该圆与交于点A和点N，将沿翻折，若点M的对应点刚好落在边上，求此时的长度． 24．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $