8.3乘法公式题型突破2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册（九大题型）

8.3乘法公式题型突破2025-2026学年鲁教版 （五四制）六年级下册（九大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 2.下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2027×2025 D．（x﹣3y）（3y﹣x） 3.下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 5．给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 题型二：运用平方差公式进行运算 1.若（3b+a）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4.（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝　 　． 5.计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 2.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 3． ． 4．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 5.计算下列各式： （1）；（2）（2a﹣3b+1）2． 题型四：利用完全平方式求值 1．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16 2．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．9 C．±3 D．±9 3.若关于x的二次三项式x2+（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D．10或﹣6 4.若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（　　） A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19 5.将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（　　） A．6x B．﹣6x C． D．3x 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1.用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 2．利用平方差公式计算． （1）197×203；（2）4039． 3.用简便方法计算：2022+202×196+982． 4．用简便方法计算： （1）102×98；（2）1012﹣202+1． 5.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 题型六：乘法公式面积验证 1．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 2.如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（　　） A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 3.如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 4.如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1.先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝． 2.已知x2+2x﹣2＝0，求x（x﹣2）+（x+3）2的值． 3.已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值． 4.先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 5．（1）如果，求代数式的值． （2）化简求值：，其中． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1.已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝（　　） 2.已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 3．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2﹣ab+b2的值是（　　） A．30 B．31 C．32 D．33 4.已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 5．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 2.如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6 3.如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 4.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 5.把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【答案】 8.3乘法公式题型突破2025-2026学年鲁教版 （五四制）六年级下册（九大题型） 题型一：判断能否用平方差公式进行运算 1.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x+1）（﹣x﹣1） B．（2+a2）（2﹣a2） C．（﹣x+y）（x﹣y） D．（x2+y）（x﹣y2） 【答案】B． 2.下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2027×2025 D．（x﹣3y）（3y﹣x） 【答案】D． 3.下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】． 4．下列各式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（y+2x）（2x﹣y） B．（﹣x﹣3y）（x+3y） C．（2x2﹣y2）（2x2+y2） D．（4a+b）（4a﹣b） 【答案】B． 5．给出下列式子： ①（x﹣y）（x+y）；②（x+y）（y﹣x）；③（y﹣x）（﹣y﹣x）；④（﹣x+y）（x﹣y）；⑤（﹣x﹣y）（x+y）；⑥（﹣x﹣y）（x﹣y），其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 【答案】①②③⑥． 题型二：运用平方差公式进行运算 1.若（3b+a）（　　）＝9b2﹣a2，则括号内应填的代数式是（　　） A．﹣a﹣3b B．a+3b C．﹣3b+a D．3b﹣a 【答案】D． 2.计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.（﹣2x+3）（﹣2x﹣3）＝　 　． 【答案】4x2﹣9． 5.计算： （1）（x+3y）（x﹣3y）；（2）（x3+2）（x3﹣2）：（3）（2m﹣n）（﹣2m﹣n）． 【答案】解：（1）原式＝x2﹣9y2； （2）原式＝（x3）2﹣22 ＝x6﹣4； （3）原式＝﹣（2m﹣n）（2m+n） ＝﹣（4m2﹣n2） ＝﹣4m2+n2． 题型三：运用完全平方公式进行运算 1.计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 【答案】A． 2.下列各式正确的是（　　） A．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 B．（x）2＝x2+x C．（3m+n）2＝9m2+n2 D．（﹣x﹣1）2＝x2﹣2x+1 【答案】B． 3． ． 【答案】 4．运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y+； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 5.计算下列各式： （1）； （2）（2a﹣3b+1）2． 【答案】解：（1）原式＝ ＝（+3y+﹣3y）（﹣+3y） ＝•6y ＝3xy； （2）（2a﹣3b+1）2 ＝[（2a﹣3b）+1]2 ＝（2a﹣3b）2+2•（2a﹣3b）•1+12 ＝4a2﹣12ab+9b2+4a﹣6b+1． 题型四：利用完全平方式求值 1．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16 【答案】D． 2．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．3 B．9 C．±3 D．±9 【答案】C． 3.若关于x的二次三项式x2+（k﹣2）x+16是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．±6 D．10或﹣6 【答案】D． 4.若多项式4x2﹣（k﹣1）xy+25y2是关于x、y的完全平方式，则k的值为（　　） A．21 B．19 C．21或﹣19 D．﹣21或19 【答案】C． 5.将整式9x2+1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，下列添加错误的是（　　） A．6x B．﹣6x C． D．3x 【答案】D． 题型五：利用乘法公式进行简便运算 1.用简便方法计算103×97时，变形正确的是（　　） A．1002﹣3 B．1002﹣32 C．1002+2×3×100+3 D．1002﹣2×100+32 【答案】B． 2．利用平方差公式计算． （1）197×203；（2）4039． 【答案】解：（1）原式＝（200﹣3）×（200+3） ＝2002﹣32 ＝40000﹣9 ＝39991； （2）原式＝（40）×（40） ＝402﹣（）2 ＝1600 ＝1599． 3.用简便方法计算：2022+202×196+982． 【答案】解：2022+202×196+982 ＝2022+2×202×98+982 ＝（202+98）2 ＝3002 ＝90000． 4．用简便方法计算： （1）102×98；（2）1012﹣202+1． 【答案】解：（1）原式＝（100+2）×（100﹣2） ＝10000﹣4 ＝9996； （2）原式＝1012﹣2×101×1+12 ＝（101﹣1）2 ＝1002 ＝10000． 5.利用平方差公式计算： （1）31×29；（2）9.9×10.1；（3）98×102；（4）1003×997． 【答案】解：（1）（30+1）（30﹣1）， ＝900﹣1， ＝899； （2）（10﹣0.1）（10+0.1）， ＝100﹣0.01， ＝99.99； （3）（100﹣2）（100+2）， ＝10000﹣4， ＝9996； （4）（1000+3）（1000﹣3）， ＝1000000﹣9， ＝999991． 题型六：乘法公式面积验证 1．如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（　　） A．（y+x）2＝y2+xy+x2 B．（y+x）2＝y2+2xy+x2 C．（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2 D．（y+x）2﹣（y﹣x）2＝4xy 【答案】D． 2.如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（　　） A．a2﹣b2＝a（a+b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】D 3.如图①，从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形；如图②，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　） A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 【答案】C． 4.如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A．① B．② C．①② D．①②都不能 【答案】C． 题型七：与乘法公式有关的化简求值问题 1.先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝． 【答案】 解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2 ＝﹣7xy， 当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14． 2.已知x2+2x﹣2＝0，求x（x﹣2）+（x+3）2的值． 【答案】解：原式＝x2﹣2x+x2+6x+9 ＝2x2+4x+9， ∵x2+2x﹣2＝0， ∴x2+2x＝2， ∴2x2+4x＝4， ∴原式＝4+9＝13． 3.已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）2的值． 【答案】解：原式＝2（x2﹣1）﹣（x2+2x+1） ＝2x2﹣2﹣x2﹣2x﹣1 ＝x2﹣2x﹣3 ∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， 原式＝x2﹣2x﹣3＝1﹣3＝﹣2． 4.先化简，再求值：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y），其中x＝﹣1，y＝2． 【答案】解：（x﹣2y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣x（x﹣4y） 原式＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣y2﹣x2+4xy ＝4x2+3y2， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝4×（﹣1）2+3×22 ＝4+12 ＝16． 5．（1）如果，求代数式的值． （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）2023；（2），37 【详解】解：（1）原式 ∵， ∴原式． （2）原式 ； 将其中代入 原式． 题型八：通过对完全平方公式变形求值 1.已知a+b＝4，ab＝2，则a2+b2＝（　　） 【答案】C． 2.已知（a+b）2＝12，ab＝2，则（a﹣b）2的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C． 3．已知a+b＝5，ab＝﹣2，则a2﹣ab+b2的值是（　　） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B． 4.已知a﹣b＝3，ab＝1，求下列代数式的值． （1）a2+b2； （2）（a+b）2． 【答案】解：a﹣b＝3，ab＝1， （1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×1＝11； （2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝32+4×1＝13． 5．已知x2+y2＝26，xy＝3，求（x+y）2和（x﹣y）2的值． 【答案】解：∵x2+y2＝26，xy＝3， ∴①x2+y2+2xy＝26+6， （x+y）2＝32； ②∵x2+y2﹣2xy＝26﹣6， ∴（x﹣y）2＝20． 故答案为：（x+y）2＝32，（x﹣y）2＝20． 题型九：平方差、完全平方公式在几何图形中的应用 1．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　） A．6 cm B．5 cm C．8 cm D．7 cm 【答案】D． 2.如图，边长为（a+3）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是（　　） A．2a+3 B．2a+6 C．a+3 D．a+6 【答案】A． 3.如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 【答案】C． 4.两个边长为a的大正方形与两个边长为b的小正方形按如图所示放置，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（　　） A．30 B．34 C．40 D．44 【答案】A． 5.把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）（，见解析；（3）①；②1 【详解】解：（1）①由图知，大正方形面积减去四块木板的面积为， ②用空心部分的正方形边长的平方表示为：， 故答案为：，； （2）， 证明：∵左边， 右边，左边右边， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∴． ②∵ ，，， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $