内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期九年级阶段试卷（四）数学学科

**基本信息** 本卷为初三数学周测试卷，以40分钟100分题量实现基础巩固与能力检测，融入“抖空竹”传统文化情境、文创产品利润计算等现实问题，通过几何直观、模型意识考查空间观念与推理能力，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4/24|凹透镜折射、平行四边形性质、垂直平分线、抛物线图像|基础概念辨析，结合图形考查抽象能力| |填空题|4/24|概率计算、切线性质、角的运算、正方体水面问题|融入传统文化抽象几何，考查空间观念| |解答题|4/52|实数运算与分式化简、二次函数利润模型、圆的切线证明与计算、矩形旋转综合|突出推理能力，设置实际应用与动态几何综合题，体现模型意识与创新意识|

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（四） 数 学 学 科 时间：40分钟 满分100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(    ) A. 两点之间线段最短 B. 平行四边形是轴对称图形 C. 若有意义，则的取值范围是全体实数 D. 三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分 3.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，抛物线与轴交于点，点，下列结论：；；；正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 5.不透明袋子中有个红球、个白球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机摸出个球，则摸出红球的概率是          ． 6.如图，，是的切线，切点分别是，若，则         ． 7.“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图所示的数学问题：在同一平面内，，若，则            8.如图，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图所示，则           ． 第6题图 第7题图 第8题图 三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 计算：； 化简． 10.本小题分为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品已知某款巴小虎吉祥物的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件． 设该款巴小虎吉祥物降价元，则每天售出的数量是______件； 为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是元； 文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 11.本小题分如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点，交于点，若． 求证：是的切线； 若，． 求的半径； 求的长． 12.本小题分 在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点坐标分别为，，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． 如图，当点落在边上时，交的延长线于点． 求出的长和点的坐标； 猜想与间的数量关系，试通过计算或证明说明理由选择一种方法说明即可． 如图，当的延长线恰好经过点时，交于点，连接，求的值． 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（四） 数 学 学 科 评 分 标 准 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 答案 A A C D 二、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分。 9.   10.    11.    12.    三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.解：原式 .............................................................3分 .............................................................5分 原式 .............................................................3分 .............................................................5分 先根据特殊角的三角函数值，乘方及开方的法则分别计算出各数，再算加减即可； 先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 10.设该款巴小虎吉祥物降价元，则每天售出的数量是件， 故答案为：；.............................................................2分 设该款巴小虎吉祥物降价元， 根据题意可得：，.............................................................4分 整理可得：， 解得：，， 由于要让利于游客，舍去， 该款巴小虎吉祥物降价元时文旅公司每天的利润是元；.............................................................7分 设该款巴小虎吉祥物降价元， 则 ， ， 当时，取最大值为元，此时销售价为元， 答：售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元．.............................................................12分 根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； 设该款巴小虎吉祥物降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出方程，解方程即可得解； 设该款巴小虎吉祥物降价元，根据每件的利润销售数量销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键． 11.证明：是的外接圆，为的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；.............................................................4分 解：为的直径， ， ， ， ，即， ， ， ， 的半径为.............................................................8分 ， ， ，， ， 设，， ， 解得， ，， ， ，即， ，即， ............................................................12分 证明，得到，即可证明是的切线； 根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解； 设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 12.解：，， ，， 四边形是矩形， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ， 在中，， ， ．.............................................................4分 ． 理由如下：如图， 四边形是矩形， ，， ，， ， ≌， ，， ，， ．.............................................................8分 如图，连接， 四边形是矩形， ． 点在线段上， ， ，，， ≌， ， 在矩形中，， ， ， ， ，， ， ， ． 在和中， ，，， ， 在中，， .............................................................13分 根据四边形是矩形，，，可得，，，由旋转可得，利用勾股定理即可求得的长，再计算出的长即可求出点的坐标； 猜想，方法一：证明≌，可得，，即可计算出与的长，即可得结论；方法二：连接，证明≌即可； 连接，证明≌，可得，由矩形可得，从而，再可得，则，进而可得，则在中即可求得的值． 本题考查四边形形综合题，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $