精品解析：北京市海淀区北京理工大学附属中学2025—2026学年度第二学期七年级数学期中练习

2025－2026学年度第二学期初一年级数学期中练习 2026.04 注意事项：1、本试卷共8页，满分100分，时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 单项选择题 本部分共10题，共30分．根据题目要求，完成相应任务． 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 2. 点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线被直线所截，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 7. 清明节假期，玉渊潭公园迎来大批游客赏花探春，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若表示早樱报春的点的坐标为，表示中堤桥的点的坐标为，则表示远香园的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 某校数学节开展“拼图接力跑”活动，七年级（1）班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有人，负责接力跑的同学有人．一开始，负责拼图的人数比接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍．请根据以上情境，列出关于、的二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 10. 在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足，则称为“和积点”．根据以上定义，下列说法中不正确的是（ ） A. 点是“和积点” B. 纵坐标为1的点都不可能是“和积点” C. 若一个“和积点”的横坐标和纵坐标都是整数，那么符合条件的点有且只有2个 D. 对于第二象限内的“和积点”，它的纵坐标一定大于1 第二部分 填空题 本部分共6题，共12分．根据题目要求，完成相应任务． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 已知是一个二元一次方程的解，请写出一个满足条件的二元一次方程_____． 12. 若，则_____． 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是________． 14. 如图，在数轴上表示实数的点可能是_____________________． 15. 平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 16. 如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 第三部分 解答题 本部分共10题，共58分．（17题4分，18题8分，19题－22题每题各5分，23题－24题每题各6分，25题－26题每题各7分）根据题目要求，完成相应任务． 三、解答题（共10题，共58分） 17. 实数计算： 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 完成下面的证明． 已知：如图，．求证：平分． 证明：， （ ） ． ∴，（ ） ．（ ） ∵， ．（ ） 又， _________________， 平分． 20. 如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： （1）过点C作边的垂线交边于点D； （2）过点D作边的垂线段，垂足为E； （3）过点C作的平行线交边于点F； （4）比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标分别是． （1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系； （2）把三角形先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，请在图中画出三角形； （3）连接，请直接写出四边形的面积为_____． 22. 如图，，． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____． 23. 3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 24. 若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” （1）试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； （2）若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； （3）若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 25. 如图，，直线与直线分别交于点与点，平分平分． （1）求证：； （2）是直线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点，设． ①当点在点的左侧时，依据题意在图中补全图形，若，则_____． ②当点在运动的过程中，直接写出和之间的数量关系_____． 26. 在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是_____； （2）若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； （3）将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期初一年级数学期中练习 2026.04 注意事项：1、本试卷共8页，满分100分，时间90分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 单项选择题 本部分共10题，共30分．根据题目要求，完成相应任务． 一、单项选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 是无限不循环小数，∴ 仍是无限不循环小数，是无理数，∴A符合题意. ∵ ，2是整数，属于有理数，∴B不符合题意； ∵ 是有限小数，可化为分数，属于有理数，∴C不符合题意； ∵ ，5是整数，属于有理数，∴D不符合题意． 2. 点P（3，﹣4）在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵3＞0，﹣4＜0， ∴点P（3，﹣4）所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根、立方根的定义与二次根式运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：，A计算错误； 选项B：，B计算正确； 选项C：无意义，C计算错误； 选项D：和不是同类二次根式，不能合并，且，D计算错误． 4. 如图，直线被直线所截，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行内错角相等，以及邻补角求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴ ∴． 5. 某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点平移规律可知：左右平移改变横坐标，左移横坐标减，右移横坐标加；上下平移改变纵坐标，上移纵坐标加，下移纵坐标减，按规律计算即可得到新点坐标． 【详解】解：原点点的坐标为，点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位， 点的横坐标为 ，点的纵坐标为 ， 点的坐标为． 6. 下列四个命题中，假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及到了对顶角的性质、平行线的基本事实与性质等知识，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】选项A，满足对顶角的性质，因此它是真命题，故选项A不符合题意； 选项B， 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行线的基本事实，因此它是真命题，故选项B不符合题意； 选项C ，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，是平行线的基本性质，因此它是真命题，故选项C 不符合题意； 选项D ，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，所以它是假命题，故选项D符合题意． 7. 清明节假期，玉渊潭公园迎来大批游客赏花探春，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若表示早樱报春的点的坐标为，表示中堤桥的点的坐标为，则表示远香园的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给出的点的坐标，建立坐标系，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：根据题意，建立平面直角坐标系如下： ∴表示远香园的点的坐标为． 8. 某校数学节开展“拼图接力跑”活动，七年级（1）班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有人，负责接力跑的同学有人．一开始，负责拼图的人数比接力跑的人数多5人．因任务需要，老师从拼图队里抽调5人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的2倍．请根据以上情境，列出关于、的二元一次方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一开始负责拼图的人数比拼接力跑的人数多人， ∴可得， ∵从拼图队抽调人加入接力跑队后，拼图队人数变为，接力跑队人数变为，且此时接力跑队人数是拼图队人数的倍， ∴可得， 因此所列二元一次方程组为． 9. 如图，正方形的面积为5，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的面积得到正方形的边长，结合，得到，即点E在点A左侧个单位，即得答案． 【详解】解：正方形的面积为5， ， ， ， 点E表示的数为． 10. 在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足，则称为“和积点”．根据以上定义，下列说法中不正确的是（ ） A. 点是“和积点” B. 纵坐标为1的点都不可能是“和积点” C. 若一个“和积点”的横坐标和纵坐标都是整数，那么符合条件的点有且只有2个 D. 对于第二象限内的“和积点”，它的纵坐标一定大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，可判断A；当设该点的横坐标为，则无解，可判断B；设该“和积点”的坐标为，则，整理得，然后根据该“和积点”横坐标和纵坐标都是整数，代入数值进行判断；由，当时，，可判断D． 【详解】解：A.∵， ∴点是“和积点”，该选项正确，不符合题意； B．设该点的横坐标为，则无解， ∴该选项说法正确，不符合题意； C．设该“和积点”的坐标为， 则， 整理得， ∵横坐标和纵坐标都是整数， ∴只有或，故该选项说法正确，不符合题意； D．由选项C可得，， 当时，，故该选项说法错误，符合题意． 第二部分 填空题 本部分共6题，共12分．根据题目要求，完成相应任务． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 已知是一个二元一次方程的解，请写出一个满足条件的二元一次方程_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只要写出的方程满足即可． 【详解】解：满足条件的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 12. 若，则_____． 【答案】 3 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解： 移项，得 根据立方根的定义，得． 13. 若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根．熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决问题的关键． 根据平方根性质，列方程解方程即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在数轴上表示实数的点可能是_____________________． 【答案】M 【解析】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴的关系，首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．先估算的取值范围，进而可判断表示的点所在的位置． 【详解】解： ， ，即， 数轴上表示的点可能是点M． 故答案为点M． 15. 平面直角坐标系中，点，，若直线与x轴平行，则点M的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标特征列方程求解即可得到结果． 【详解】解：直线与x轴平行， 直线上所有点的纵坐标相等， 即， 解得， 点M的横坐标为，纵坐标为1， ． 16. 如图1，光的反射定律内容如下：①反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；②反射光线和入射光线分别位于法线两侧；③反射角等于入射角． 如图2，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为_____（填序号）． ①；②；③；④ 【答案】①④ 【解析】 【分析】先计算出当P和H重合时，此时的，然后分当①当时，此时H在P的左侧，②当时，此时点H在点P的右侧，两种情况讨论；过点G作，，则，由平行线的性质和光的反射定律求得的的关系，结合的取值范围，从而求得的取值范围，据此可得答案． 【详解】解：如图，当P和H重合时，由题意可知此时，过点G作， 则， ∵， ∴， ∴，， ∴此时， ∴此时； ∵， ∴①当时，此时H在P左侧，如图所示，过点G作，垂足为G， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由光的反射定律可知， ∴， ∴， ∵， ∴此时； ②当时，此时点H在点P的右侧，如图所示， 同理可得此时， ∴此时； 综上，反射光束与天花板所形成的角的取值范围是或； ∴可能取到的度数为①和④． 第三部分 解答题 本部分共10题，共58分．（17题4分，18题8分，19题－22题每题各5分，23题－24题每题各6分，25题－26题每题各7分）根据题目要求，完成相应任务． 三、解答题（共10题，共58分） 17. 实数计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算算术平方根，立方根及化简绝对值，再计算加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组； （2）利用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解： ，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解： ，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴该方程组的解为． 19. 完成下面的证明． 已知：如图，．求证：平分． 证明：， （ ） ． ∴，（ ） ．（ ） ∵， ．（ ） 又， _________________， 平分． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质，结合角平分线的定义证明即可． 【详解】证明：， （垂直的定义） ． ∴（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ∵， ．（两直线平行，内错角相等） 又， ， 平分． 20. 如图，点C在的边上，按要求作图并回答问题： （1）过点C作边的垂线交边于点D； （2）过点D作边的垂线段，垂足为E； （3）过点C作的平行线交边于点F； （4）比较三条线段，，的长度，并用“”连接．_____，得此结论的依据是_____． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 （4），垂线段最短 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法画图即可； （2）根据垂线的作法画图即可； （3）根据平行线的作法画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【小问1详解】 解：如图，就是所作的垂线； 【小问2详解】 解：如图，就是所作的垂线段； 【小问3详解】 解：如图，就是所作的平行线； 【小问4详解】 解：． 依据是：垂线段最短． 21. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标分别是． （1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系； （2）把三角形先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到三角形，请在图中画出三角形； （3）连接，请直接写出四边形的面积为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标即可确定原点，即可画出平面直角坐标系； （2）分别作出点的对应点，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：三角形即为所求； 【小问3详解】 解：四边形的面积 22. 如图，，． （1）求证：； （2）若，则的度数为_____． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意推出，结合，推出，即可推出， （2）先证明，再由平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴． 23. 3月14日国际数学日（节），我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套30元，竞速三阶魔方每套35元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少2套，共花费1240元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？ 【答案】此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 【解析】 【分析】设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，然后列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得， 解得， （套） 答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了18套，竞速三阶魔方采购了20套． 24. 若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” （1）试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； （2）若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； （3）若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 【答案】（1）该方程组是“美好方程组”，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 小问1详解】 解：该方程组是“美好方程组”，理由如下： ， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； 【小问2详解】 解：∵是“美好方程组”， ∴，得， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， 得， 解得； 得， 解得； ∵是“美好方程组”， ∴， 整理得， ∵为正整数， ∴． 25. 如图，，直线与直线分别交于点与点，平分平分． （1）求证：； （2）是直线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点，设． ①当点在点的左侧时，依据题意在图中补全图形，若，则_____． ②当点在运动的过程中，直接写出和之间的数量关系_____． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，最后再由三角形内角和定理求证即可； （2）①由角平分线得到，即，再由平行线得到，，而，即可等量代换求解； ②分两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义推导之间的数量关系即可． 【小问1详解】 证明：∵平分平分， ∴， 即 ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图， ∵平分 ∴，即 ， ∴ 又， ， ∵ ∴ ， ∵， ∴； ②当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图： ∵平分 ∴，即 ， ∴ 又， ， ∴ ∵ ∴ ， 综上：或． 26. 在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． （1）在点，，中，矩形的矩宽点是_____； （2）若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； （3）将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（）根据矩宽点的定义逐一判断即可求解； （）根据矩宽点定义列出方程解答即可求解； （）分点横坐标大于纵坐标和点的横坐标小于等于纵坐标两种情况，据矩宽点的定义列出方程解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当点时，如图，，矩形的周长为 ，此时点为矩形的矩宽点； 当点时，如图，点位于矩形的中心，小矩形的周长为 ，故点不是矩形的矩宽点； 当点时，点位于矩形的外部，不符合矩宽点的定义，故点不是矩形的矩宽点； 【小问2详解】 解：如图，∵点为矩形的矩宽点， ∴ 或 ， 解得：或， 【小问3详解】 解：当点横坐标大于纵坐标时，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当点的横坐标小于等于纵坐标，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $