精品解析：吉林省长春市第四十五中学2025一2026学年度下学期八年级期中数学试题（B卷）

八年级数学学科阶段练习（B） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，点分别在，上，且．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 若将抛物线y＝x2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣1）2 B. y＝（x+1）2 C. y＝x2﹣1 D. y＝x2+1 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 10. 如图，在中，，，，，则的长是______． 11. 铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为______米． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 计算：． 17. 如图，，且，求证：． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 19. 如图,在△ABC中，点D在BC上，CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图中画出，点在上，连结，使． 21. 长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索的长米，主塔处桥面距地面米，试求的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 22. 【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，点是抛物线上一动点，过点作轴交抛物线对称轴于点，其横坐标为． （1）求该抛物线函数关系式． （2）当时，求的值． （3）当点在抛物线对称轴左侧时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 24. 如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为___________；点到的距离为___________；线段的长为___________． （2）当时，求的值． （3）当点到的距离是点到的距离的时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学科阶段练习（B） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列函数中，一定是关于x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意是不等于零的常数．根据二次函数的定义：（且是常数）判断即可得答案． 【详解】解：A、时不是二次函数，故A不符合题意； B、是一次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C符合题意； D、是常数函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3. 如图，在四边形中，点分别在，上，且．若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 若将抛物线y＝x2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（　　） A. y＝（x﹣1）2 B. y＝（x+1）2 C. y＝x2﹣1 D. y＝x2+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】∵抛物线y=x2向下平移1个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（0，-1）， ∴所得抛物线对应的函数关系式为y=x2-1． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 5. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据点和点的坐标得到，根据位似图形的性质得到，且三点共线，则点D为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵五边形与五边形是位似图形，位似中心为原点O， ∴，且三点共线， ∴点D为的中点， ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 6. 图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　） A. 2：5 B. 3：5 C. 9：25 D. 4：25 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出CD∥AB，进而得出△DEF∽△BAF，再利用相似三角形的性质可得出结果. 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF． ∵DE：EC=3：2， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为、．则下列结论正确的为（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据对称性求出对称轴，根据图象确定的符号，根据对称轴，确定的关系，以及增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵， ∴，故B选项错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；故C选项错误，D选项正确； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将代入计算可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，在中，，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由得，利用余角的性质可得，则有，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 11. 铁路道口的栏杆如图所示，为栏杆的支点，米，米．若栏杆左端下降的垂直距离为米，则栏杆右端上升的垂直距离为______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，体现了几何知识在生活中的实际运用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形，再利用相似三角形的性质计算． 根据题意由两角对应相等可得，利用相似三角形对应边成比例的性质即可求解． 【详解】解：栏杆在转动过程中，和是对顶角， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 栏杆右端上升的垂直距离为米． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】先确定抛物线的解析式为直线x=2,则利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为,然后根据抛物线与x轴的交点问题可判断一元二次方程的两个实数根. 【详解】抛物线（为常数)的对称轴为直线,x=-=2， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为, 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以关于x的一元二次方程的两个实数根是,=3. 故答案为,=3 【点睛】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答． 14. 如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． ①正确．只要证明，即可；②正确．由，推出，推出，由，推出，即；③错误，现有条件不足以证明；④正确．设，，则，由，有，即，可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 现有条件不足以证明③，故③错误； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确结论①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， ∴，． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和开算术平方根，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了实数运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．特别注意：任何非零数的零次幂都等于1、一个非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 17. 如图，，且，求证：． 【答案】 证明： ， ． 又， ，即， ∴． 【解析】 分析】由已知条件得到：，．则由“两边及夹角法”证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求b的值； （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先将点代入函数解析式求出 b 的值； （2）根据题意得出二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得； 【小问2详解】 由（1）得：函数解析式为． 该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，； 当时，． 故y的取值范围是． 19. 如图,在△ABC中，点D在BC上，CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：由等腰三角形三线合一得FA=FD．又由E是中点，所以EF是中位线，即得结论. ∵CD=CA， CF平分∠ACB， ∴FA=FD（三线合一）， ∵FA=FD，AE=EB， ∴EF=BD． 考点：本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图中画出，点在上，连结，使． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）画图见解析． 【解析】 【分析】（）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解； （）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解； （）取格点，，连接交于点，连接，即可求解； 本题考查了格点图中画相似三角形，熟练掌握知识相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图，, 则，又因为 所以. ∴即为所求． 21. 长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，小明站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索的长米，主塔处桥面距地面米，试求的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】主塔的高约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据直角三角形中由三角函数得出相应长度，再由可得出. 【详解】解：在中，，， ， （米） 答：主塔的高约为米． 22. 【问题原型】如图①，在中，．点D在边上运动，连结，以为边作，使点A、E在同侧，且，连结，试探究线段长度的最小值． 【问题探究】乐乐同学想探究点E的运动轨迹，进而求出线段的最小值．乐乐利用从特殊到一般的数学思想，他先选取了特殊位置进行研究，再通过证明即确定点E的运动轨迹．如图②，过点B作于点F，乐乐发现，当点D与点C重合时，点E与点F重合；再通过证明，进一步确定点E的运动轨迹为过点F一条线段． 下面是乐乐关于一般情况的证明过程，请补充证明过程缺失部分： 如图②，顶点D在边上运动， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴点E的运动轨迹为过点F一条线段． 【问题解决】如图③，设直线交于点M． （1）的面积为__________； （2）线段的最小值为__________． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短求最值，等腰三角形的判定等知识点． [问题探究]先由得到，，再得到，，即可证明相似； [问题解决]（1）先证明，则，然后由勾股定理出，再由等积法得到，即可求解，再由勾股定理求，即可由三角形面积公式求解； （2）当时，取得最小值，由于，则由即可求解． 【详解】[问题探究] 解：补全过程： ∴，， ∴，； [问题解决] （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，取得最小值， ∵， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，点是抛物线上一动点，过点作轴交抛物线对称轴于点，其横坐标为． （1）求该抛物线函数关系式． （2）当时，求的值． （3）当点在抛物线对称轴左侧时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出的长，利用正切的定义进行求解即可； （3）根据增减性，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点是抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， ∴当时，， ∴， ∵轴交抛物线对称轴于点， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∵抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为， ∵，， ∴当点在点上方时，即时，，解得或（舍去）； 当在点下方时，即时，，此方程无解； 故． 24. 如图，在中，，，在上取一点，使，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度在射线上运动，当点到达点时，点同时停止运动．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为___________；点到的距离为___________；线段的长为___________． （2）当时，求的值． （3）当点到距离是点到的距离的时，直接写出的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，作，易得，根据，设，得到，再根据，列出方程求出的值，求出的长即可； （2）根据时，，进行求解即可； （3）过点作于，过点作于，则，根据题意求出，过点作于，于，得出和，及四边形为矩形，求出，，，再分类讨论当在内部时及外部时，的值，进而求出，由，求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 作于点，则为等腰直角三角形， ∴， 中，， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点到的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴解得； 【小问3详解】 解：过点作于，过点作于，则， 在等腰直角三角形中中，，， 在中，， 过点作于，于， 由，且，得， ∴， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 当在内部时，连接，如图 则：，，即， ， 当在外部时，即，如图 ， 又， 即， 由得，，即：， 解得或， ∵点的运动时间为秒，，不符合题意； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $