精品解析：新疆克拉玛依市独山子第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

独山子第二中学2025～2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2026-04 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3．考试范围：人教A版选择性必修第二册第六章～第八章第四节． 4．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 化简等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法法则求解即可． 【详解】由向量的运算法则得． 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据虚部的定义求解即可. 【详解】复数的虚部为，所以复数的虚部为. 3. 在中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示： 故． 故选：C． 4. 已知，（i为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等与复数乘法运算可解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 5. 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图， 一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设， 圆锥底面周长为，所以，所以， 在中，由，得 故选：B． 6. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积. 【详解】如图①②所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，，， 在图②中作于，则. 所以. 故选：D. 7. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案. 【详解】∵，，且， ∵， ∴，， ∴在方向上的投影向量为， 故选：D． 8. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得. 【详解】由点是的重心，，， 故， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：C. 二、多选题（共4小题，每小题6分） 9. 若复数z满足，则（ ）． A. B. 是纯虚数 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 【答案】AB 【解析】 【详解】由，得. 选项A：，正确. 选项B：，是纯虚数，正确. 选项C：的虚部是，不是，错误. 选项D：对应点在第一象限，错误. 10. 已知向量，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为5 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合三角函数的性质即可判断C；根据，求出的关系，进而可判断D. 【详解】因为，， 所以，， 对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以， 又，解得或，故B错误； 对于C， ，其中， 当时，取得最大值，故C错误； 对于D，若，则， 即，所以， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 11. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据所给空间几何体的形状，逐项判断即可. 【详解】根据所给空间几何体的形状， 可得空间几何体利用现在放置方式能通过C，现在放置方式由在向物体后方旋转90度可通过B， 由现在位置向右旋转90度再向后方旋转180度可通过A， 以任何方式均不能通过D. 故选：ABC. 12. 几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A； 对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B； 对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C； 对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D. 【详解】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 三、填空题（共4小题，每小题5分） 13. 已知是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若，，，，则点P与直线l的位置关系用符号表示为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由线面、点线的位置关系易知且，再由即可确定点P与直线l的位置关系. 【详解】∵， ∴且，又， ∴点P在直线l上，即. 故答案为： 14. 已知为虚数单位，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据虚数单位的幂次的规律，找出的值，再利用周期性计算的值. 【详解】因为， 则虚数单位 的幂具有周期性，周期为 ， 且 ，每4项的和为：， 又因为， 所以. 15. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题中直观图可知，该几何体是一个圆柱去掉了其中一部分，因此要求的几何体体积为圆柱的体积减去切掉部分的体积. 【详解】由题中直观图图像可知，该几何体是一个圆柱去掉了其中一部分， 故所求几何体体积为. 故答案为：. 16. 若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________． 【答案】(0，2) 【解析】 【分析】 先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出. 【详解】因为在基底下的坐标为(－2，2)， 即， 令， 所以，即， 所以在基底下的坐标为(0，2)． 故答案为：(0，2). 【点睛】本题考查向量基本定理的坐标表示，属于基础题. 四、解答题（共66分） 17. 已知是方程（）的一个根. （1）求实数，的值； （2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明. 【答案】（1），；（2）是方程的另一个根，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将代入方程结合复数相等的充要条件得出关于的方程组，解出即可； （2）根据根与系数的关系可得，代入方程即可. 【详解】（1）把代入方程，得， 所以，解得，. （2）由（1）知方程为. 设另一个根为，由根与系数的关系，得，所以. 把代入方程，则左边右边， 所以是方程的另一个根. 18. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等体积法转换顶点，将三棱锥体积转化为体积，求出底面面积，结合正方体棱长确定点到对应平面的距离，再代入棱锥体积公式计算得出结果. （2）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标并求得直线对应方向向量，计算向量数量积与模长，利用异面直线所成角的向量余弦公式，代入数值化简求出夹角余弦值. 【小问1详解】 由已知，. . 由图可知点到平面的距离为正方体棱长， 故， 即. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 已知正方体棱长为， 则，，，，. 向量， 向量. 则， ，. 设异面直线所成角为，则 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 19. 如图，在直角梯形中 （1）若求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别以的方向为轴，轴的正方向，点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，，，，，结合平面向量的数量积的定义，即可求解，（2）运用向量模的公式，可求、的值，结合平面向量的数量积的公式，即可求解． 【详解】解：（1）分别以的方向为轴，轴的正方向， 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，，， ，， ， ， ． （2）当时，，， ， ． 20. 已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，求： （1）求该圆台的表面积； （2）求该圆台的体积； （3）求该圆台的外接球的表面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 如图所示，梯形为圆台一主视图，为梯形的高， 设上下底面半径分别为，上下底面和侧面表面积分别为. 设圆台的高为，母线长为， 由母线与底面所成角为，得， 母线长. 圆台的表面积，已知， ；；， 故. 【小问2详解】 圆台体积公式， 代入，，，得. 【小问3详解】 设外接球的球心为，半径为. 设圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，则. 设球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为. 由外接球性质，有. 即. 化简得，解得（表示球心在圆台下方） 其到下底面的距离为，则. 故外接球的表面积. 21. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 即. 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 22. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 独山子第二中学2025～2026学年第二学期期中考试 高一数学试卷 2026-04 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级信息填写在答题卡上． 2．将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．考试结束后请妥善保管好试卷，以备考试后上课老师讲评试卷时使用． 3．考试范围：人教A版选择性必修第二册第六章～第八章第四节． 4．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单选题（共8小题，每小题5分） 1. 化简等于（ ）． A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 在中，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，（i为虚数单位），则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 二、多选题（共4小题，每小题6分） 9. 若复数z满足，则（ ）． A. B. 是纯虚数 C. 复数z的虚部为 D. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 10. 已知向量，则（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为5 D. 若，则 11. 某种积木的玩法是用不同形状的积木穿过对应的孔洞，来锻炼儿童的手眼协调能力.一块积木的形状如图所示，该积木由9个棱长为1cm的正方体构成，在边长为5cm的正方形木板上挖出下列四种形状的孔洞（空白部分），则能使该积木从中穿过的为（ ） A. B. C. D. 12. 几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若，，为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 三、填空题（共4小题，每小题5分） 13. 已知是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若，，，，则点P与直线l的位置关系用符号表示为_________. 14. 已知为虚数单位，则______． 15. 已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为______． 16. 若是一组基底，向量 (x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为________． 四、解答题（共66分） 17. 已知是方程（）的一个根. （1）求实数，的值； （2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明. 18. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 如图，在直角梯形中 （1）若求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 20. 已知圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线与底面所成的角为，求： （1）求该圆台的表面积； （2）求该圆台的体积； （3）求该圆台的外接球的表面积． 21. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 22. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $