新疆维吾尔自治区克拉玛依市独山子第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

独山子第二中学2024-2025学年第二学期期中考试

高一数学试卷

（卷面分值：150分，考试时长：120分钟，考试时间：2025年4月18日）

命题人：蔡瑞韬审题人：蔡瑞韬

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. ，，，则实数（    ）

A.  B. 3 C.  D. -3

2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（   ）

A. 2π B. 4π C. 2 D. 1

3. i为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 在中，D为边上的一个三等分点，靠近，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. ，，则与夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在中，于点D，，上有个不重合的点：，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

8. 一个锐角三角形的三边长同时增加相同的长度，得到的边长作为新三角形的边长，则新的三角形形状为

（    ）

A. 有可能为钝角三角形 B. 还是锐角三角形

C. 有可能为直角三角形 D. 新三边长有可能不能构成三角形

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数，，i为虚数单位，在复平面内对应的点为(为原点)，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D. 可能为虚数

10. 已知为1的立方根，，则x除了可以为1外，还可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 下列关于空间几何体的说法正确的有（    ）

A. 正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则

B. 一个四面体最多有3个面为直角三角形

C. 各个面都是三角形的多面体最多有4个面

D. 为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知和为相互垂直的单位向量，则_____．

13. 在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边长为2和，且三个顶点都在坐标轴上，直角顶点与坐标原点重合，斜边除了端点外在第一象限，则在对应的斜二测坐标系下，的直观图的周长为_____．

14. 在中，，，，点D在边上，且，，则_____，______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知i为虚数单位，复数满足：，其中．

（1）若为实数，试问当取什么值时，复数为实数；

（2）若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上：

（3）若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数．

16. 已知，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．

（1）求A；

（2）若为锐角三角形，求B的取值范围；

（3）在（2）的条件下，已知，求的取值范围．

17. 已知，．

（1）求与共线同向的单位向量：

（2）若，求；

（3）若为单位向量，，，，经过平移，可以平移到同一平面内，且三个向量两两之间的夹角相等，求．

18. 平面四边形为凸四边形，即任意内角都小于180°．

（1）若在四边形中，和的外接圆半径相等，求证：和相等或互补；

（2）试证明：当时，四边形存在外接圆；

（3）在锐角三角形中，P为线段（不包含端点）上一动点，过P分别作和边的垂线，垂足为M，N．已知，三角形面积为S，，试用，S，m来表示线段长度的最小值．

19. 在中，M为的一个三等分点，靠近C，N为的一个四等分点，靠近A，和交于点P，，．

（1）求与面积的比值；

（2）求线段长度；

（3）求面积的最大值．