精品解析：上海市曹杨第二中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷

上海市曹杨二中2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名､班级､学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 设，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得. 2. 抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 【详解】因为抛物线方程是， 转化为标准方程得：， 所以抛物线开口方向向上，焦点坐标为, 准线方程为：， 所以焦点到准线的距离等于. 故答案为： 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3. 已知事件与事件相互独立，若，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式来求解即可. 【详解】由独立事件性质， ， , 故答案为： 4. 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由已知中圆锥的底面半径是，高是，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到结论. 详解：圆锥的底面半径是，高是， 圆锥的母线长， 则圆锥侧面积公式，故答案为. 点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题. 5. 曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 所以，， 所以所求切线方程为，即. 6. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由全概率公式可知：从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率 . 7. 在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆上点到两个焦点的距离之和为和两个焦点的距离为，即可求解出短轴长. 【详解】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 8. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令即可将等式右边化为所求式子，然后计算. 【详解】令，则， 所以， 所以. 9. 数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【详解】①第种情况：在第一行， 的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：， 所以，第1种情况总数为． ②第种情况：在第三行， 的位置：种选择，的位置：种选择，剩余数字排列：， 所以，第种情况总数为． 所以，符合要求的排列数为． 10. 已知，数列满足，若对任意正整数，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，令，求得，转化为双曲线上的两点连线的斜率，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】因为，则即为，也即， 令，则，即，表示双曲线的上支， 其中表示双曲线上的两点连线的斜率， 又由双曲线的渐近线方程为， 当时，趋向于双曲线的渐近线的斜率， 所以，所以，即实数的取值范围为. 11. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先研究函数在上的单调性与最小值，再结合函数性质，分和两种情况讨论即可. 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为， 因为，当时；当时， 且时（从下方趋近于0），时， 所以，函数在上的图象大致如图： 因为等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 综上，的最小值为. 12. 设集合，从中随机选取一个元素，记为，则的期望为__________.（结果用数值表示） 【答案】 【解析】 【分析】设的可能取值为随机变量，可得，根据期望的性质结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设的可能取值为随机变量，， 则，且，， 所以. 又因为， 则 ，故的期望为. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 设，下列有关排列组合的计算公式，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，若，则，，即，故C错误； 对于D，因为 ，所以，故D正确. 14. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 15. 设，曲线，曲线，则曲线与的公共点个数至多为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先确定曲线的图象，再分，，，和求曲线与的公共点. 【详解】曲线， 当时，曲线方程为，这是焦点在轴上的双曲线在第一象限的部分（包括端点）， 当时，曲线方程为，这是单位圆在第四象限的部分， 当时，曲线方程为，无图象， 当时，曲线方程为，这是焦点在轴上的双曲线在第三象限的部分， 当时，表示以为顶点的正方形， 当时，表示原点，当时，无图象， 所以当时，曲线与无公共点， 当时，曲线与有两个公共点， 当时，曲线方程为，曲线， 则当原点到直线距离，即时，曲线与曲线相切， 此时曲线与分别在第一、第三和第四象限有一个公共点， 当时，曲线与在第一和第三象限各有一个公共点， 在第四象限有两个公共点，共有四个公共点， 当时，曲线与在第一和第三象限各有一个公共点，在第四象限无公共点， 综上所述，曲线与的公共点个数至多为4个. 16. 设，若函数的定义域内存在区间，满足，则称函数具有“性质M”.下列说法正确的是（ ）. A.具有“性质M”的一次函数存在且仅有有限个 B.具有“性质M”的二次函数存在且仅有有限个 C.设，存在无数个，使函数具有“性质M” D.设，对任意，函数都具有“性质M” 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的性质以及新定义问题，对于每个选项，需要根据函数的性质和“性质M”的定义，判断是否存在满足条件的区间. 【详解】对于A，设一次函数， 当时，函数在上单调递增，若函数具有“性质M”，则，且，解得，的值随，的变化而变化，有无数组解； 当时，函数在上单调递减，若函数具有“性质M”，则，且，解得，的值随，的变化而变化，有无数组解； 具有“性质M”的一次函数存在且有无数个，故A错误； 对于B，设二次函数，对称轴为； 当时，若对称轴在区间左侧，即，则在上单调递增，若函数具有“性质M”，则，且，解得，，有无数解； 同理，若对称轴在区间右侧或在区间内，也可能存在满足条件的区间，具有“性质M”的二次函数存在且有无数个，故B错误； 对于C，，，在上单调递增； 若函数具有“性质M”，则，即方程有两个不同的实数解，等价于函数与的图象有2个不同的交点，图象如图所示： 由图可知，函数与的图象有2个不同的交点，即方程有两个不同的实数解，当时，存在无数个，使函数具有“性质M”，故C正确； 对于D，，，在上单调递增； 若函数具有“性质M”，则，即方程有两个不同的实数解，等价于与的图象有2个不同的交点，图象如图所示： 由图可知，与的图象无交点，即方程无实数解，当，，对任意，函数都不具有“性质M”，故D错误. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 【答案】（1）9（2）或 【解析】 【分析】（1）先根据二项式定理求得通项，进而求得所需的项的个数； （2）根据题意列得等式计算得到参数的值； 【详解】（1）根据二项式定理可得通项为， 要求的幂指数是负数，即，解不等式，解得 因为是整数，且，所以，共有项. （2）由题意可知第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，则， 即，因为，所以，即， 解得或 18. 如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. （1）求证：平面； （2）若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，记为，连接，则//， 因为平面，平面，所以//平面； 连接，由//，得四边形是平行四边形， 所以//. 因为平面，平面， 所以//平面； 因为，平面， 所以平面//平面； 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面//平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 因为分别是､的中点，所以. 所以. 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则， 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. （1）设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； （2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 【答案】（1） ， . （2）或 【解析】 【分析】（1）先确定的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解. 【小问1详解】 可能的取值为， ， ， ， 所以的分布列为 ， . 【小问2详解】 设甲队获胜为事件，比赛恰好进行4局为事件， ， ， 根据题目可知，， 代入条件概率公式可得， 化简可得 ， 令，可得 ，解得或， 所以或. 20. 已知，椭圆的焦距为，离心率为.过点的直线交椭圆于点（在第一象限）. （1）求椭圆的方程； （2）设，点，直线的斜率分别为，求的值； （3）直线交轴于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点，若为中点，且，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）0 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及 的关系即可求解； （2）设直线，与椭圆方程联立，根据两点斜率公式结合韦达定理即可求解； （3）设直线，，根据题意求出的坐标，然后与椭圆联立利用韦达求出点的坐标，利用点在椭圆上可得，最后利用两点斜率公式即可求解. 【小问1详解】 由题意：焦距，得，离心率​​，解得， 由于， 因此椭圆的方程为：  . 【小问2详解】 设直线，，，联立直线与椭圆方程： ​  整理得： ，， 由韦达定理得： ， ，， 因此：  . 【小问3详解】 设直线，，是与轴交点，得 ， 是中点，设，由中点公式得：， ，  与关于轴对称，得 ， 由，得，得 . 在椭圆上，代入椭圆得： ，整理得： ①；  在椭圆上，代入椭圆得： ，整理得：②； 将①代入②，约去公因子得：， 因在第一象限， ， ，故，得​. 直线与椭圆方程联立得， 由韦达定理得点坐标：，， 故 . 21. 对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 【答案】（1） （2） （3） 在 上单调递减. 【解析】 【分析】（1）直接把写成关于的式子，再利用基本不等式求最小值. （2）先把方程化简，再令，转化为函数在上与水平直线的交点个数问题，由导数讨论单调性后确定的范围. （3）先对固定的分别写出函数和，由证明公共最小值点只能是，再由极值点处导数为得到，从而判断的单调性. 【小问1详解】 由题意，，其中. 因为，当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意，. 令，则，原方程化为. 设，则. 所以在上递增，在上递减，在上递增. 又，，. 因为集合是双元素集，所以方程恰有两个不同实数解. 而，当时对应两个实数解，当时只对应一个实数解. 因此方程在上必须恰有一个正根. 由函数的单调性可知，当时，方程在上恰有一个正根； 当时，方程在上至少有两个正根；当时，方程在上恰有一个正根. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意固定的，设，则，. 由且非空，取. 因为，，所以，且. 又，，于是有. 另一方面，. 代入，得. 所以，从而. 因此，即同时是函数和的最小值点. 因为可导，所以在处导数为 . 由，可得. 令，得，所以. 又因为对任意，都有，所以对任意，都有. 故函数在上单调递减. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市曹杨二中2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名､班级､学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 设，则______. 2. 抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 3. 已知事件与事件相互独立，若，则____________. 4. 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 5. 曲线在处的切线方程为______. 6. 三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为.将三批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________. 7. 在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 8. 已知，则__________. 9. 数字按如图形式排列，设第二行中的最大数为，若，则符合要求的排列数为__________．（结果用数值表示） 10. 已知，数列满足，若对任意正整数，不等式恒成立，则的取值范围是__________. 11. 已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 12. 设集合，从中随机选取一个元素，记为，则的期望为__________.（结果用数值表示） 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13. 设，下列有关排列组合的计算公式，错误的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 设，曲线，曲线，则曲线与的公共点个数至多为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 设，若函数的定义域内存在区间，满足，则称函数具有“性质M”.下列说法正确的是（ ）. A.具有“性质M”的一次函数存在且仅有有限个 B.具有“性质M”的二次函数存在且仅有有限个 C.设，存在无数个，使函数具有“性质M” D.设，对任意，函数都具有“性质M” 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. （1）在的二项展开式中，求的幂指数是负数的项的个数； （2）设，若的展开式中第4项､第5项､第6项的系数成等差数列，求的值. 18. 如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. （1）求证：平面； （2）若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. （1）设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； （2）已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 20. 已知，椭圆的焦距为，离心率为.过点的直线交椭圆于点（在第一象限）. （1）求椭圆的方程； （2）设，点，直线的斜率分别为，求的值； （3）直线交轴于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点，若为中点，且，求直线的斜率. 21. 对于一个函数和一个点，定义. （1）设，求函数的最小值； （2）设，若集合是双元素集，求的取值范围； （3）已知及其导函数的定义域均为，函数恒大于0，对于点，点，记集合，对任意，集合，对任意.若对任意，集合､非空，且，试判断的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $