8.3 简单几何体的表面积与体积（5大题型）训练-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

8．3 简单几何体的表面积与体积 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 2 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 2 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 3 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 4 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 5 02 重难点拓展 6 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 1．在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 2．如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 3．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 4．如图，已知是棱长为的正方体，为的中点，为上一点，求三棱锥的体积． 5．（2026·高二·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 6．（2026·高三·黑龙江·期中）已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 7．（2026·高三·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·广东肇庆·期中）将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 9．（2026·高三·湖南·月考）晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 10．（2026·高一·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 11．（2026·高二·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·辽宁·期末）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 13．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·高一·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·高一·全国·期末）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·山东青岛·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高一·福建厦门·月考）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C．圆锥的体积与球的体积之比为 D．若半径为，则圆锥侧面积为 10．（多选题）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高一·福建·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 13．（2026·高一·福建·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 14．（2026·高一·福建·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 15．（2026·高一·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 16．（2026·高一·福建厦门·月考）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm． (1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1) (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．3 简单几何体的表面积与体积 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 2 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 3 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 5 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 7 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 8 02 重难点拓展 11 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积计算 1．在正方体中，E、F、M分别为棱AD、AB、的中点，现从顶点A处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点B、C、D、、、、处各截去一个三棱锥，设剩下的几何体为， (1)几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） (2)若正方体的棱长为2，求几何体的表面积． 【解析】（1）几何体是由6个全等的正方形面和8个全等的三角形面构成， 所以几何体是十四面体，几何体共有24条棱． （2）图形可知几何体的各条棱长均为， 6个全等的正方形面的总面积为； 8个全等的三角形面的总面积为． 所以几何体的表面积． 2．如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为，且．设，，求帐篷的表面积． 【解析】连接．因为，， 所以． 取的中点为Q，连接、PQ， 易得，， ． 设帐篷上部的侧面积为，下部的侧面积为， 所以， ，所以搭建帐篷的表面积为． 3．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积. 【解析】如图所示，画出正三棱台， 其中为正三棱台上、下底面的中心，分别为的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ,, 所以, 所以此三棱台的表面积, 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积求解 4．如图，已知是棱长为的正方体，为的中点，为上一点，求三棱锥的体积． 【解析】由， 因为， 又三棱锥的高为， 所以， 所以． 故答案为：. 5．（2026·高二·上海·期中）如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 6．（2026·高三·黑龙江·期中）已知正四棱台的高为，上下底面边长分别为和． (1)求正四棱台的体积． (2)求正四棱台的表面积． 【解析】（1）正四棱台的体积. （2）正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的侧面积， 故正四棱台的表面积. 题型三：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算 7．（2026·高三·山东菏泽·期末）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥和圆柱的底面半径为 ，高为h， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形， 所以该轴截面是等腰直角三角形，则圆锥的高等于底面半径 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 故选：B. 8．（2026·高二·广东肇庆·期中）将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（   ） A．14π B．21π C．28π D．35π 【答案】D 【解析】由题意，所得几何体上底是半径为2的圆，下底是半径为5的圆，高为4的圆台， 所以母线长，几何体的侧面积为. 故选：D 9．（2026·高三·湖南·月考）晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知区域和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域还原到如图所示圆柱中. 由图可知，，， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：B 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解 10．（2026·高一·安徽宣城·期末）一圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，下列说法不正确的是（    ） A．圆台的母线长是20cm B．圆台的高是cm C．圆台的表面积是 D．圆台的体积是 【答案】D 【解析】依题意，圆台侧面展开图，如图， 设圆台的上底面周长为，由扇环的圆心角为，得， 又，则，同理， 于是圆台的母线cm，高cm， 表面积， 体积，ABC正确，D错误. 故选：D. 11．（2026·高二·四川达州·期中）如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为， 则由题意可得，，， 由题意，1320，得， 所以， 故． 故选：C． 12．（2026·高一·辽宁·期末）一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图， 设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为， 小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为 由题意可得, 因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方， 所以，则， 所以上下两个几何体的体积之比为. 故选：D 题型五：球的表面积与体积及切接球问题 13．（2026·天津红桥·一模）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接 在中，： ， 设外接球的球心为，半径为，则在直线上. 设，则， 在中：解得：， 所以，即. 所以三棱锥外接球的半径为. 14．（2026·高一·河北保定·月考）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 15．（2026·高一·全国·期末）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以三棱锥体积的最大值即三棱锥体积的最大值， 所以当到平面的距离最大，即平面时，体积最大， 设球的半径为，此时有，三棱锥的高， 则，解得， 则球的表面积． 故选：C. 1．（2026·高一·安徽淮北·月考）已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为2，则圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的底面半径为，由于圆锥轴截面为等边三角形， 则外接球半径即为轴截面等边三角形的外接圆半径，即， 由正弦定理可得， 该圆锥的高为， 故该圆锥的体积为. 2．（2026·高一·山东青岛·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以该圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 3．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的顶点为，以母线为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示， 小虫爬行的最短路程为，，又， ，， 设圆锥底面半径为，高为， 则，解得，， 圆锥体积. 4．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】假设球体的半径为，由已知条件球体的体积与其表面积数值相等， 得，解得. 5．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为， 所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图， 则， 则其外接球的半径为, 解得，所以， 6．（2026·高一·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 7．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 8．（2026·高一·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 9．（多选题）（2026·高一·福建厦门·月考）如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥的轴截面为直角三角形 B．圆锥的表面积等于球的表面积的一半 C．圆锥的体积与球的体积之比为 D．若半径为，则圆锥侧面积为 【答案】AC 【解析】设球的半径为，则如图所示：， 由，得：，得， 所以，所以A正确； 圆锥的表面积为，球的表面积为， 所以，所以B错误； 圆锥的体积，球的体积，，C正确； 圆锥的母线长为，底面周长为，所以圆锥侧面积，D错误. 10．（多选题）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 11．（多选题）设A，B，C，D在一个半径为4的球的球面上，为等边三角形且其面积为，则三棱锥的体积可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由题意知为等边三角形且其面积为， 故，即得， 设的外接圆圆心为，设三棱锥的外接球球心为O， 因为平面，当共线且O位于之间时， 设外接圆的半径r，则， 由于平面，平面， 故，而， 故， 所以点D到平面的最大距离为，点D到平面的最小距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，最小体积为． 所以三棱锥的体积可能为或. 故选：AB． 12．（2026·高一·福建·期中）在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 13．（2026·高一·福建·期中）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则________ ；平面图形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形的体积为________ ． 【答案】 【解析】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，平面图形是直角梯形，如图： 其中，，，， 过作交于，则为的中点， 在中，，， 所以， 将直角梯形以所在直线为轴旋转一周所得立体图形为圆台， 其上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，高为， 故此圆台体积为． 故答案为：；． 14．（2026·高一·福建·期中）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解析】（1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 15．（2026·高一·山东淄博·月考）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. (1)求该圆锥的表面积； (2)用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【解析】（1）设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； （2）设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 16．（2026·高一·福建厦门·月考）（1）一平面截一球得到直径为6 cm的圆，球心到这个圆的距离是4 cm，求该球的体积和表面积. （2）在正四棱台中，，求棱台的体积. 【解析】（1）设球心为，截面圆心为，连结，则截面圆，， 在中，， ， ∴球的半径， 因此球的体积，球的表面积为； （2）如图，过作，垂足为， 易知为四棱台的高，因为， 则，， 故，则， 所以所求体积为. 17．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm． (1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1) (2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克） 【解析】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是． （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为， 因此，2500个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶100克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $