期中复习专题04 复数【7大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题04 复数 题型预览 题型一 复数的实部和虚部 题型二 复数的分类 题型三 复数的四则运算 题型四 共轭复数 题型五 复数的坐标表示 题型六 复数的模 题型七 复数的三角表示 知识清单 一、复数的概念 知识点1.复数的有关概念 1．定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1 ． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 实部 ，b叫做复数z的 虚部 ． 3．复数集 (1)定义：全体复数构成的集合叫做 复数集 ． (2)表示：通常用大写字母 C 表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 【注意】(1)i2＝－1． (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R． 知识点2.复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d ．特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0 ． 知识点4.复数与复平面内点的关系 1．复平面 (1)复平面：建立直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫做 实轴 ，实轴上的点都表示 实数 ． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做 虚轴 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z (a，b) ，这是复数的一种几何意义． 【注意】 1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)． 2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． 知识点4.复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 一一对应 关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．这是复数的另一种几何意义． 知识点5.复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 |z| 或 |a＋bi| ． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝ ． 复数的模的计算 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 复数模的几何意义 (1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形． (2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决． 知识点6.共轭复数 1．定义：一般地，当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 ． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． 二、复数的四则运算 知识点1.复数代数形式的加、减运算法则 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； (2)z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i ． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ z2＋z1 ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． 知识点2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝( c，d )，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝( a＋c，b＋d )与复数 z1＋z2 对应，向量＝(a－c，b－d)与复数 z1－z2 对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 知识点3.复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ z2z1 结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 知识点4.复数除法的运算法则 复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 知识点5.在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝． ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 三、复数的三角表示 知识点1.复数的三角表示式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ) 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的 辐角 ． r(cos θ＋isin θ) 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 【注意】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 知识点2.复数三角形式乘法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝ r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的 模的积 ，积的辐角等于各复数的 辐角的和 ． 知识点3.复数三角形式除法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝ [cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差． 题型突破 题型一 复数的实部和虚部 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D．6 3．（2026·北京朝阳·一模）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 4．（江苏徐州市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C． D．0 题型二 复数的分类 5．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 6．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 8．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 题型三 复数的四则运算 9．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为复数，若（为虚数单位），则______. 10．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D．4 11．（浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题）已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 12．（河南信阳市2026届高中毕业年级第二次质量检测数学试题）复数为纯虚数，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 题型四 共轭复数 13．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 15．（25-26高一下·北京丰台·期中）在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·天津西青·期中）设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 题型五 复数的坐标表示 17．（河南南阳市2026届高三年级下学期二模考试数学试题）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 18．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 19．（25-26高一下·湖北·期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 20．（25-26高一下·山东青岛·月考）（多选）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 题型六 复数的模 21．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 22．（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）设复数z满足，则（   ） A． B．3 C． D．5 23．（25-26高一下·湖南·月考）已知复数满足，则__________. 24．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 26．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 题型七 复数的三角表示 27．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高三下·陕西西安·月考）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 29．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 30．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 强化训练 1．（浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题）若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．2 C． D．0 2．（25-26高一下·宁夏固原·月考）复数，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三下·河北·开学考试）设复数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 8．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）（多选）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 9．（25-26高一下·福建厦门·月考）（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．当时，n的最小值为_____________． 13．（天津市和平区2025-2026学年高三年级第二学期第二次质量调查数学科试卷）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 14．（河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限． 15．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 题型预览 题型一 复数的实部和虚部 题型二 复数的分类 题型三 复数的四则运算 题型四 共轭复数 题型五 复数的坐标表示 题型六 复数的模 题型七 复数的三角表示 知识清单 一、复数的概念 知识点1.复数的有关概念 1．定义：我们把形如 a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，其中i叫做 虚数单位 ，满足i2＝ －1 ． 2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的 实部 ，b叫做复数z的 虚部 ． 3．复数集 (1)定义：全体复数构成的集合叫做 复数集 ． (2)表示：通常用大写字母 C 表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 【注意】(1)i2＝－1． (2)i和实数之间能进行加法、乘法运算． (3)a，b∈R． 知识点2.复数的分类 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3.复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d ．特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0 ． 知识点4.复数与复平面内点的关系 1．复平面 (1)复平面：建立直角坐标系来表示 复数 的平面叫做复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫做 实轴 ，实轴上的点都表示 实数 ． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫做 虚轴 ，除了原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ． 2．复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z (a，b) ，这是复数的一种几何意义． 【注意】 1．复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)． 2．除原点外，虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． 知识点4.复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了 一一对应 关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量．这是复数的另一种几何意义． 知识点5.复数的模 1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作 |z| 或 |a＋bi| ． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝ ． 复数的模的计算 计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 复数模的几何意义 (1)|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形． (2)利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决． 知识点6.共轭复数 1．定义：一般地，当两个复数的实部 相等 ，虚部 互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 共轭虚数 ． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi． 二、复数的四则运算 知识点1.复数代数形式的加、减运算法则 1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； (2)z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i ． 2．对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ z2＋z1 ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ． 知识点2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应的向量分别为，，则＝(a，b)，＝( c，d )，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量＝( a＋c，b＋d )与复数 z1＋z2 对应，向量＝(a－c，b－d)与复数 z1－z2 对应． 因此，复数的加法(减法)可以按照向量的加法(减法)来进行，这就是复数加法(减法)的几何意义． 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值符号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 知识点3.复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ z2z1 结合律 (z1z2)z3＝ z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 知识点4.复数除法的运算法则 复数除法的法则：(a＋bi)÷(c＋di)＝i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 知识点5.在复数范围内解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝． ②当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数)． (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 三、复数的三角表示 知识点1.复数的三角表示式 1．定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成 r(cos θ＋isin θ) 的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的 辐角 ． r(cos θ＋isin θ) 叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． 2．辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z＜2π． 【注意】　任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍．辐角的主值只有一个值，在0≤θ＜2π范围内． 知识点2.复数三角形式乘法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝ r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的 模的积 ，积的辐角等于各复数的 辐角的和 ． 知识点3.复数三角形式除法法则与几何意义 已知z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝ [cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于 被除数的辐角 减去 除数的辐角 所得的差． 题型突破 题型一 复数的实部和虚部 1．（25-26高一下·北京丰台·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】，其中实数 叫做实部,实数 叫做虚部. ，对比可得. 因此复数 的虚部为. 2．（2026·河南周口·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题可知，，所以的虚部为. 3．（2026·北京朝阳·一模）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 4．（江苏徐州市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷）已知复数，则的虚部为（    ） A．-1 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】解题的关键在于先根据i的幂次规律化简，最后根据虚部的定义确定的虚部. 【详解】，故，故，虚部为0. 题型二 复数的分类 5．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若Z为实数，则 B．若Z为虚数，则 C．若Z为纯虚数，则 D．复数Z的虚部为 【答案】AB 【详解】对于A，若Z为实数，则虚部为0，，.故A正确； 对于B，若Z为虚数，则虚部不为0，，，故B正确； 对于C，若Z为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，，则无满足条件的m，故C错误； 对于D，复数Z的虚部为，不带单位i，故D错误. 6．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列复数：①，②，③，④，⑤；其中表示实数的有（填上序号）_____________． 【答案】②③④ 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可. 【详解】①为纯虚数不是实数； ②为无理数是实数； ③为实数； ④为实数； ⑤为一般虚数不是实数． 故答案为：②③④ 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题正确的是（    ） A．复数不是纯虚数 B．若，则复数是纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 【答案】B 【分析】根据复数的基本概念判断. 【详解】对于A，当，，时，复数是纯虚数，A错误； 对于B，当时，复数是纯虚数，B正确； 对于C，是纯虚数，则即，C错误； 对于D，复数，，未注明为实数，D错误. 故选：B. 8．（25-26高三上·上海·月考）设是虚数单位，若是纯虚数，则实数________． 【答案】 【分析】根据已知复数是纯虚数列式计算求解. 【详解】设是虚数单位，若是纯虚数，则实数，且不是0， 则． 故答案为：. 题型三 复数的四则运算 9．（25-26高一下·陕西西安·期中）已知为复数，若（为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设（），则其共轭复数， 得， 故，，即， . 10．（25-26高一下·福建龙岩·期中）已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【详解】，故，故虚部3. 11．（浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题）已知，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，， ，则. 12．（河南信阳市2026届高中毕业年级第二次质量检测数学试题）复数为纯虚数，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】易知复数； 由纯虚数概念可得，解得. 题型四 共轭复数 13．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 14．（23-24高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 15．（25-26高一下·北京丰台·期中）在复平面内，复数对应的点关于实轴对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数对应的点关于实轴对称，则是的共轭复数. 由，得. 16．（25-26高一下·天津西青·期中）设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，故 题型五 复数的坐标表示 17．（河南南阳市2026届高三年级下学期二模考试数学试题）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，复数在复平面内对应的点为，则， 所以，，因此. 18．（广东江门市2026届高考适应性测试数学试题）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离. 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以 所以． 19．（25-26高一下·湖北·期中）已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】借助复数的几何意义计算即可得. 【详解】由题意知，所以，故. 所以实数的取值范围是 20．（25-26高一下·山东青岛·月考）（多选）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 题型六 复数的模 21．（2026·湖北·模拟预测）已知复数z的实部与虚部互为相反数，且，则_______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再由模的结果计算即得. 【详解】由题可设， 则. 因为，所以，所以. 所以或. 22．（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题）设复数z满足，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】，故. 23．（25-26高一下·湖南·月考）已知复数满足，则__________. 【答案】2 【详解】设，且， 所以， 所以，得，所以. 24．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 25．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 26．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案. 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 题型七 复数的三角表示 27．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 28．（25-26高三下·陕西西安·月考）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 29．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 30．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 强化训练 1．（浙江五湖联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考数学试题）若复数是纯虚数，则实数（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 2．（25-26高一下·宁夏固原·月考）复数，则z的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由虚部的定义可知，复数的虚部为. 3．（2026·河北邯郸·二模）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由题意得到，进而得到，利用复数的模公式求解. 【详解】因为复数z在复平面内对应的点的坐标是， 所以，则， 所以， 故选：C 4．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】设复数 ，的实部为，虚部为， 可化为，即， 对等式两边平方得： ， 展开整理后可得 ， 即的实部等于虚部，两个命题可以互相推出，因此是充要条件. 5．（25-26高一下·陕西榆林·月考）“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意知，当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有， 解得，必要性成立， 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 6．（25-26高三下·河北·开学考试）设复数，若，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 则， 由二次函数性质可知，当时，有最小值为， 所以，即的最小值为. 7．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）（多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（   ） A．当时，是实数 B．当且时，是纯虚数 C．复数的模 D．虚数单位满足 【答案】AB 【详解】A. 当时，复数简化为，其中为实数，故是实数，正确. B. 当且时，复数，其中为非零实数，符合纯虚数定义，正确. C. 复数的模定义为，选项中为立方根，错误. D. 虚数单位满足，选项中为，错误. 8．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）（多选）已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； ，若，则，，故B正确； 当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误； ， 所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上， 又，所以的取值范围为，故D正确. 9．（25-26高一下·福建厦门·月考）（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的模 C．若，则或 D．若复数是纯虚数，则 【答案】ABD 【分析】结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D. 【详解】对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确； 对于选项B， ，故正确； 对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误； 对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确. 10．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）设的辐角主值为，则的辐角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，， ，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 11．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 12．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．当时，n的最小值为_____________． 【答案】4 【分析】将复数化为三角形式，利用三角形式的乘方运算以及复数的定义可求出. 【详解】， 则，得，即， 又，故的最小值为4． 故答案为：4 13．（天津市和平区2025-2026学年高三年级第二学期第二次质量调查数学科试卷）已知，为虚数单位，复数为纯虚数，则__________. 【答案】 【详解】因是纯虚数， 可得，解得. 14．（河南许昌市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题）设i是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第______象限． 【答案】四 【详解】由， 其共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第四象限． 15．（25-26高二下·浙江衢州·期中）已知复数，，，是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【分析】根据复数加法运算及可构造方程求得的值，根据复数模长运算可求得结果. 【详解】， ，解得， ， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $