专题2.8 解三角形中面积、周长、边长问题7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.8 解三角形中面积、周长、边长问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形求周长 题型02解三角形求周长的最值（范围） 题型03解三角形求面积 题型04解三角形求面积的最值（范围） 题型05解三角形求边角 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 解三角形求周长 熟练通过正余弦定理求三边或两边一角，再求和；能结合已知条件直接建立周长表达式 基础题，常与面积、最值并列考查，需注意单位统一和结果化简 求周长的最值（范围） 能将周长表示为某个角（或边）的函数；利用三角函数有界性或基本不等式求范围 中等难度，常出现在解答题第二问，需注意自变量范围和取等条件  解三角形求面积 掌握面积公式；能根据已知条件选择合适的两边及其夹角 必考基础，直接代入公式即可，但要准确找出夹角 求面积的最值（范围） 将面积表达为单变量函数（常用边或角）；结合三角函数值域、二次函数或基本不等式求解 高频考点，往往与周长最值并列，需灵活选择变量，注意定义域限制 解三角形求边角 根据已知条件合理选用正余弦定理；熟练进行边角互化；能解出多解并进行检验 核心基础题，贯穿所有题型，是后续最值问题的基础 求边角相关的最值（范围） 将目标式用正余弦定理统一为同角函数；利用三角恒等变换化为单一三角函数求最值 综合题，常与恒等变换结合，需要较强的代数变形能力 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 题型一 解三角形求周长 解｜题｜技｜巧 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，从而得到，求出角A的大小； （2）由正弦定理及得，根据余弦定理列出关于的方程，求出，即可得的周长． 【详解】（1）， ， 即，， 又，． （2），， ， ∴由余弦定理，得， ，即 ，. ∴周长为． 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理可得， 即， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理的推论及可得； （2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得，再根据余弦定理求得，即可得的周长． 【详解】（1）由，根据余弦定理，得， 化简得，即. 所以. 因为，所以. （2）由正弦定理可得. 由三角形的面积公式可得， 所以. 由（1）得，所以. 所以， 所以. 所以的周长为． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）对已知的边的等式应用正弦定理，将边转化为角，结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式展开化简，消去后求解； （2）先由求出，结合三角形面积公式与已知的，先求出边，再结合三角形的面积得到，最后用余弦定理求出，三边相加得到周长. 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 题型二 解三角形求周长的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，点是的中点，且. (1)若，求的值； (2)求的值； (3)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求解即可； （2）由两边平方即可求解； （3）利用余弦定理可得：，结合基本不等式即可求出范围，从而得到周长范围. 【详解】（1）因为在中，点是的中点， 所以，则，， 则； （2）由，可得， 则， 即， 解得：； （3）由，可得：， 由余弦定理可得：，故， 由于，解得：， 所以，当且仅当时等号成立， 又因为 即， 所以， 则周长的取值范围为. 【典例2】（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值. （2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围. 【详解】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得，又∵，∴. （2）由正弦定理，可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即，△ABC周长的取值范围为. 【变式1】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在锐角中，、、分别为角、、的对边，且． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简计算求解； （2）应用两角差正弦公式计算结合正弦值域计算； （3）设，应用正弦定理转化三角形周长，结合三角恒等变换结合值域计算求值. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理可得， 即， 可得， 所以， 又因为，所以，因为为锐角，所以． （2）由（1）得，， 又是锐角三角形，所以，解得， 所以 ， 由，所以，所以， 所以的取值范围是； （3）由题意知：，，且，则， 根据正弦定理得，可得，， 所以的周长 ， 因为，所以当，即时，取得最大值1， 此时，即周长的最大值为． 【变式2】（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 题型三 解三角形求面积 答｜题｜模｜板 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积 【典例1】（25-26高一下·上海普陀·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 【典例2】（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）15 【分析】（1） 应用两角和的正弦值公式，再应用正弦定理计算求解； （2）（ⅰ）应用正弦定理结合诱导公式计算求解边长比；（ⅱ）应用余弦定理结合（ⅰ）的结论得出，再应用面积公式求解. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）（ⅰ）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. （ⅱ）由余弦定理，， 把，，代入， 得， 即，解得， 所以， 所以. 【变式1】（25-26高一上·云南昆明·期末）中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，根据余弦定理求即可； （2）利用余弦定理解得，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为中，， 所以由正弦定理可得， 所以由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由余弦定理得， 则， 即，解得， 所以面积， 即面积为. 【变式2】（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正切公式，求得的值，结合三角形内角的取值范围，求得； （2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式求得的面积． 【详解】（1）因为， 且， 所以，整理得， 即. 所以或. 因为，所以，所以. 所以，所以，. （2）因为，， 所以由余弦定理，得 ，即，，所以. 所以. 所以的面积为. 题型四 解三角形求面积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，已知矩形ABCD中，，，M、N分别是边AD、BC上的动点（不含端点），Q为边AB的中点，且，设． (1)求的值 (2)记面积为，面积为，求的取值范围 (3)记面积为，求的最小值 （提示：） 【答案】(1)64； (2)； (3)． 【分析】（1）根据平面向量线性运算，可得，再结合数量积的运算，即可求解； （2）根据题意，可得，，则，结合双勾函数，利用换元法求解即可； （3）根据题意，可得，，所以，结合正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得，，， 所以. （2）由题意：，， ，，， 令，，， 则． 由双勾函数图像在上单调递减， 则，即． （3）因为，Q为边AB的中点，且，， 所以，， 所以在直角中，， 同理，在直角中，， 所以， 所以， ，， ，，最小值为． 【典例2】（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证； （2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 【变式1】（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 【变式2】（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，得到，得到，结合向量的运算法则和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 所以， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. （2）解：因为为边上，满足， 所以，所以，所以， 所以， 即有， 即， 所以，所以，即， 当且仅当时，即时，取等号， 所以， 即的面积最大值为. 题型五 解三角形求边角 答｜题｜模｜板 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边跟角。 【典例1】（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角的大小； (2)先在中求得，再利用三角恒等变换求得，最后利用正弦定理求得. 【详解】（1）由正弦定理得得， 所以，所以由余弦定理得， 因为，所以． （2）在中，，所以，， 又， 在中，由正弦定理得． 【典例2】（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】（1）由题设，， 由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， 由余弦定理,， 同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意； 当时，. 综上，. 【变式1】（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解． （2）由（1）知，，而， ，得为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 【变式2】（25-26高一下·河南·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先根据余弦定理求得，再结合正弦定理求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理可得， 在中，，则， 即， 又因为为锐角，所以． （2）由余弦定理可知， 即， 化简得，解得（舍去）或，则， 由正弦定理可知，即，得. 题型六 解三角形求边角的和差的最值（范围） 答｜题｜模｜板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 【典例1】（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到关系，代入面积公式求解； （2）设，将表示出来，化简求最值. 【详解】（1）由，， 得， 即， 即， 所以， 故，因为，所以， 故在中，， 因为，所以． （2）不妨设点靠近点，， 设， 则在中，， 在中，， ， 设，则，故， 因为函数在上单调递减， 所以时，，故的最小值为2． 【典例2】（25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合两角和差正弦化简可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算即可求解； （2）利用辅助角公式结合正弦型函数性质计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则， 即， 因为为锐角三角形，所以，得，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 所以，即的周长为； （2）由（1）知，， 因为是锐角三角形，所以，，得， 此时， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 【变式1】（25-26高三上·安徽·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原等式进行展开化简，即可求出. （2）根据三角形面积公式和余弦定理求出三角形边长. （3）根据正弦定理将的表达式列出来，然后根据三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）在中，， . 所以 所以 所以 所以，所以． 因为，所以，所以． （2）因为的面积为， 所以，． 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 所以的周长为． （3）由正弦定理， 得，， 所以． 因为为锐角三角形，且，所以，所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 【变式2】（25-26高三上·广东惠州·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角转化后，利用二倍角的正弦公式化简求出，再由面积公式及余弦定理求出即可得解； （2）由，利用三角恒等变换后，根据角的范围求正弦型函数的值域即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ，，，， 故； 的面积为，，且，， 即，解得， 由余弦定理得，，， 故的周长为； （2）由及三角形内角和定理，得，则， ， 为锐角三角形，，，故， ，故，， 即的取值范围是. 题型七 解三角形求边角比值的最值（范围） 答｜题｜模｜板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 【典例2】（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 【变式1】（25-26高三上·山西运城·期中）记的内角的对边分别是，满足． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求：的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理结合角的范围进行分析讨论即可得解； （2）利用正弦定理边化角，再利用角的范围即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 由余弦定理得：，所以， 由于，所以或 因为； （2）由（1）知，， 又为锐角三角形，所以，，故， 所以，得， ， ， 因为，故：， . 【变式2】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用诱导公式及两角和余弦公式计算得出，再结合角的范围及同角三角函数关系计算求解； （2）应用余弦定理计算求解边长. 【详解】（1）由， 得， 则， 即． 又， 则． （2）根据余弦定理，有， 解得或（负值舍去）． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）的内角所对的边分别为，若，求角． 【答案】 【详解】由及正弦定理知， 整理得， 即． 故由余弦定理可知，又，所以． 3．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1) (2)等边三角形， 【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得，即可求解， （2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得，即可根据三角函数的性质求解的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 整理得， 因为，故， 又，故． （2）已知，则，故， ，即， 则，， 因为．则．故， 所以，是等边三角形． 因此. 4．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 5．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【点睛】 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理计算即可. （2）方法一：先根据余弦定理列出关于的关系式，然后根据基本不等式的性质计算即可；方法二：先根据正弦定理得到，然后根据正弦函数的性质求出结果即可. （3）根据余弦定理结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）由正弦定理可得：，， ，. （2）[方法一]：由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. [方法二]： 设，则，根据正弦定理可知， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 此时周长的最大值为. （3）由余弦定理得：， 即.（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值． 【答案】当时，的面积取得最大值，最大值为 【分析】根据求得和，进而在中利用正弦定理求得和，进而利用三角形面积公式表示出，利用两角和公式化简整理后，利用的范围确定三角形面积的最大值． 【详解】因为，所以，． 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，． 所以 ，． 所以当时，的面积取得最大值，最大值为． 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出的值，结合角为锐角可得出角的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出，根据为锐角三角形可求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，即， 因为为锐角，故，所以， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 4．（25-26高三上·河北邯郸·期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由变形得三边关系,利用余弦定理即可求角； （2）利用差角正弦公式，结合正弦函数的性质求出的范围. 【详解】（1）由，得， 根据余弦定理有， 因为，所以. （2）由（1）可知：，又， ， ， ， ， ， 因此的取值范围为. 5．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为，结合锐角三角形限制求出角； （2）利用正弦定理将，表示为角的函数，结合和锐角三角形限制，将表达为，再根据余弦函数的区间取值范围求得的取值范围. 【详解】（1）在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足： ①, 利用正弦定理，①式化为, 因为，所以, 又因为,所以. （2）因为，,所以, 利用正弦定理可得： 化简可得：, 因为三角形是锐角三角形，所有角都小于,所以, , 得到：, 则, 所以, 所以的取值范围是： 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·福建漳州·月考）在中，角所对的边分别是，且.    (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 2．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出； （2）利用余弦定理将目标转化为，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出. 【详解】（1）由题可得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）解法一：，， 由余弦定理可得：，即. 所以，即. ， 由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以 所以，所以 解法二：由正弦定理可得，，， 则 因为，，所以， 所以， 所以. 3．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解； （2）①由正弦定理得，利用三角形的面积公式，列出方程，求得的值，结合余弦定理，即可求解；②利用正弦定理，求得的值，结合三角函数的基本关系式和倍角公式，分别求得的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理，可得， 又因为， 可得， 所以，即 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：①因为，由正弦定理得， 所以的面积为 又因为的面积为，可得，解得，则， 由余弦定理得，所以； ②由正弦定理，可得， 因为，可得为锐角，所以， 则， ， 又因为，所以. 4．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和定理，展开后求解； （2）先根据向量关系得到角之间的关系，再利用三角函数的两角和公式化简，最后根据角的范围求出其取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 化简得，即，解得； （2）因为， 所以在的延长线上， 如图，故， 所以 . 因为，所以， 解得， 所以的取值范围为. 5．（25-26高三上·山东·月考）在 中，内角所对的边分别是，且满足. (1)求B； (2)若，点是边上一点，且平分∠ABC，求的最大值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，即，即可求得的大小； （2）由余弦定理求得，再由是∠ABC的平分线和，列出方程求得，利用基本不等式和的单调性，即可求解； （3）由正弦定理和三角恒等变换，求得，令，则，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 因为， 可得， 即， 又因为，则，所以可得，即， 因为，则，可得，解得. （2）解：由余弦定理得， 即，即，所以， 因为BD是∠ABC的平分线，所以， 又因为， 可得， 即，所以， 因为，当且仅当时等号成立，所以. 令，则， 令，因为在上单调递增，所以当时，最大，最大值为. （3）解：由正弦定理得 ， 令，则， 所以， 即， 因为，可得，则，可得， 由二次函数的性质得在时单调递减， 所以当时，取得最大值为； 当时，取得最小值为-1， 故的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 解三角形中面积、周长、边长问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形求周长 题型02解三角形求周长的最值（范围） 题型03解三角形求面积 题型04解三角形求面积的最值（范围） 题型05解三角形求边角 题型06解三角形求边角的和差的最值（范围） 题型07解三角形求边角比值的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 解三角形求周长 熟练通过正余弦定理求三边或两边一角，再求和；能结合已知条件直接建立周长表达式 基础题，常与面积、最值并列考查，需注意单位统一和结果化简 求周长的最值（范围） 能将周长表示为某个角（或边）的函数；利用三角函数有界性或基本不等式求范围 中等难度，常出现在解答题第二问，需注意自变量范围和取等条件  解三角形求面积 掌握面积公式；能根据已知条件选择合适的两边及其夹角 必考基础，直接代入公式即可，但要准确找出夹角 求面积的最值（范围） 将面积表达为单变量函数（常用边或角）；结合三角函数值域、二次函数或基本不等式求解 高频考点，往往与周长最值并列，需灵活选择变量，注意定义域限制 解三角形求边角 根据已知条件合理选用正余弦定理；熟练进行边角互化；能解出多解并进行检验 核心基础题，贯穿所有题型，是后续最值问题的基础 求边角相关的最值（范围） 将目标式用正余弦定理统一为同角函数；利用三角恒等变换化为单一三角函数求最值 综合题，常与恒等变换结合，需要较强的代数变形能力 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 题型一 解三角形求周长 解｜题｜技｜巧 求周长问题同求三角形的边长问题。利用面积公式与余弦定理的结合，辅助正弦定理求三角形的边长。其问题的本质为这三者之间的关系，知二求一。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若的外接圆半径，且，求的周长． 【典例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）在中，内角、、所对的边分别为、、，，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，，求的周长． 【变式1】（2026·内蒙古赤峰·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B； (2)若的面积且，求的周长． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 题型二 解三角形求周长的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】（25-26高三上·江苏泰州·期中）在中，点是的中点，且. (1)若，求的值； (2)求的值； (3)求周长的取值范围. 【典例2】（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 【变式1】（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在锐角中，、、分别为角、、的对边，且． (1)求角的大小； (2)求取值范围； (3)若，设角的大小为，的周长为，求的最大值． 【变式2】（2026·四川攀枝花·一模）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 题型三 解三角形求面积 答｜题｜模｜板 通常根据面积公式来求值。利用正余弦定理求边长求角的函数值，然后求得面积 【典例1】（25-26高一下·上海普陀·月考）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【典例2】（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的面积. 【变式1】（25-26高一上·云南昆明·期末）中，. (1)求； (2)若且，求的面积. 【变式2】（2026·湖北宜昌·二模）在中，内角的对边分别是． (1)求的值； (2)若，求的面积． 题型四 解三角形求面积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】（25-26高一下·湖北黄石·月考）如图，已知矩形ABCD中，，，M、N分别是边AD、BC上的动点（不含端点），Q为边AB的中点，且，设． (1)求的值 (2)记面积为，面积为，求的取值范围 (3)记面积为，求的最小值 （提示：） 【典例2】（25-26高三下·河南周口·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【变式1】（25-26高三上·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【变式2】（2026·广东梅州·一模）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若为边上一点，满足，且，求的面积最大值. 题型五 解三角形求边角 答｜题｜模｜板 利用正余弦定理，以及面积公式求三角形的边跟角。 【典例1】（2026·陕西咸阳·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求角； (2)若点在上，，，求． 【典例2】（2026高一下·全国·专题练习）记是内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求. 【变式1】（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【变式2】（25-26高一下·河南·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的值． 题型六 解三角形求边角的和差的最值（范围） 答｜题｜模｜板 1、利用正弦定理进行边化角，将边换成三角函数的代数式。 2、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化成一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 3、注意角的取值范围，根据题目的限制条件，如锐角三角形等求出角的范围，从而求三角函数的范围。 【典例1】（2026·河北承德·一模）已知内角所对的边分别为，且满足，，面积，动点在边上，不重合且． (1)求角； (2)求的最小值． 【典例2】（25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 【变式1】（25-26高三上·安徽·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求的取值范围． 【变式2】（25-26高三上·广东惠州·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 题型七 解三角形求边角比值的最值（范围） 答｜题｜模｜板 若遇到边长齐次式求比值的范围问题，可考虑应用正弦定理，将边的比值化成三角函数比值问题求最值问题。对三角函数比值求最值的问题可采用的方法： 1、统一角度，利用三角恒等变换若能将式子最后简化称一个三角函数的形式，则可以根据三角函数有界性来判断最值。 2、统一角度后若能通过齐次式化成有关正切的式子，则可以利用换元思想，将式子变成普通的分式求最值。 【典例1】（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【典例2】（25-26高三上·湖北黄石·期末）锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【变式1】（25-26高三上·山西运城·期中）记的内角的对边分别是，满足． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，求：的取值范围． 【变式2】（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1. （25-26高一下·全国·课堂例题）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，，求． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）的内角所对的边分别为，若，求角． 3．（2026·贵州安顺·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 4．（2026·浙江嘉兴·二模）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 5．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·广西贵港·月考）中，. (1)求A； (2)若，求周长的最大值； (3)若，求面积的最大值. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在扇形中，圆心角等于60°，半径为2，在弧上有一动点（不与点，重合），过点引平行于的直线和交于点，设，求面积的最大值及此时的值． 3．（25-26高二上·山东青岛·期中）记锐角的内角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求B； (2)若，求的取值范围． 4．（25-26高三上·河北邯郸·期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，. (1)求角； (2)求的取值范围. 5．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高三上·福建漳州·月考）在中，角所对的边分别是，且.    (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 2．（2026·山西临汾·一模）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B； (2)当时，的面积为S，周长为L，求的取值范围. 3．（2026·天津滨海新区·一模）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求： ①边长的值；②的值． 4．（2026·甘肃·一模）如图，中，角的对边分别为. (1)求； (2)若，求的取值范围. 5．（25-26高三上·山东·月考）在 中，内角所对的边分别是，且满足. (1)求B； (2)若，点是边上一点，且平分∠ABC，求的最大值； (3)求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $