精品解析：江苏省连云港市新海初级中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

新海初级中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 温馨提示：本试卷共25题，共6页．请在答题卡规定的区域内答题，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断选项，核心判断依据是分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：A、是整式，不是分式，故此选项不符合题意； B、中是常数，该式是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，故此选项符合题意； D. 的分母是常数，属于整式，不是分式，故此选项不符合题意． 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意； B、，属于因式分解，故B符合题意； C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，属于整式乘法，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 4. 解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形面积两等分，则b的值等于（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直线把矩形面积两等分,一定经过对角线中点，求出点的坐标，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：∵，， 所以A点坐标为，C点坐标为， 则中点坐标为， 因为矩形是中心对称图形，对称中心是对角线中点， 所以直线把矩形面积两等分,一定经过对角线中点， 代入解析式得，，解得，； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和求一次函数解析式，解题关键是明确平分矩形面积一定经过对角线中点，再用待定系数法求解． 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是正确找出等量关系．设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树，由甲班植棵树所用的时间与乙班植棵树所用的时间相等，列方程即可求解． 【详解】解：设乙班每小时植棵树，则甲班每小时植棵树， 根据题意可得：， 故选：D． 7. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④≌；⑤若，则．其中哪些结论是正确（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①②③ D. ②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】证明，不垂直于，可得与不平行．可得不正确；证明≌，可得，，证明，可得正确；证明，可得正确；证明≌，可得正确；如图，过点作于点，设，则，求解，，可得不正确． 【详解】解：在正方形中，，， ∵， ， 四边形为矩形， 在中，， ， 是中点， ， 正方形对角线互相垂直，过点只能有一条垂直于的直线， 不垂直于， 与不平行． 不正确； 四边形是矩形， ，， 平分， ， ， ． 在中，是的中点， ，， ， ， ，而， ≌， ，， ， 即， ． 正确； ≌， ， ， ． 正确； ，，， ≌， 正确； 如图，过点作于点， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 不正确； 则正确的结论有． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 10. 从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 12. 如图，已知是平行四边形的对角线，点在上，且，，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________． 【答案】 6 【解析】 【分析】由三角形中位线的性质可得，，由四边形周长求得，再由勾股定理求得即可． 【详解】解：∵点，，和分别是、、和的中点， ，， ∵四边形的周长为17， ． ． ． ． ． ∵，， ． 14. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，先解含字母参数的分式方程，求出x，再根据分式的分母不能为0和关于x的分式方程的解为非负数，列出不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵， ∴，即， ∵方程的解为非负数，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 15. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 【详解】解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，分两种情形画出图形分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， 设， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，设， 在中，则有：， 解得， ∴， 故答案为：或15． 三、解答题（本大题共9小题，共94分．需写出必要的文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先算括号内的减法，再算加法，化简得到最简结果，然后根据负整数指数幂的运算法则计算出的值，再将其代入求出结果． 【详解】解：原式， ， 原式． 20. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵AD//BC （两直线平行，内错角相等） 又∵AE//CF （两直线平行，内错角相等） 在与中， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 【解析】 【分析】先根据AD//BC、AE//CF得出等角，再证明，得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解决本题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 21. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹），作菱形，使点、、分别在边、、上； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出菱形的面积． 【答案】（1） 菱形即为所求： （2） 【解析】 【分析】（1）先作的角平分线，交于点，再作的垂直平分线，分别交于点，连接，则四边形即为所求菱形； （2）结合菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形的面积． 22. 材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： （1）观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； （2）已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】（1）1，， （2） 【解析】 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． 【小问2详解】 解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 23. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2） 解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）整数的值为或． 【解析】 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． （1）求证：； （2）若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，和证明即可； （2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标，然后分别以为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：存在， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴，， 设，， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情况： ①当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ②当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ③当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 25. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）解：；证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 过点G作，垂足为点N， ∴， ， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）①2；② 【解析】 【分析】（1）由“十字架”模型可证，进而得解； （2）先证，再利用“十字架”模型构造全等，过点G作，可证，进而得解； （3）①过点D作，先证四边形是平行四边形，得，再分别利用勾股定理表示出，从而建立方程求解即可．②构造平行四边形，可得，可证，可得，再利用逆等线模型，过K作于点K，且，证明，得到，所以，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，据此求解即可． 【详解】解：（1）如图， 根据题意得：垂直平分， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）略 （3）①设， ∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，， ∴垂直平分， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 根据勾股定理，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过K作于点K，且， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， 同理（2）证明， ∴， ∴， 在中， ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海初级中学教育集团2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 （考试时间：100分钟 试卷分值：150分） 温馨提示：本试卷共25题，共6页．请在答题卡规定的区域内答题，在其他位置作答一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线就可以判断，其数学依据是（ ） A. 三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4. 解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2或 5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形面积两等分，则b的值等于（ ） A. 5 B. 2 C. D. 6. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰，某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树，设乙班每小时植棵树，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A. B. C. 5 D. 4 8. 如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连接，，．下列结论：①；②且；③；④≌；⑤若，则．其中哪些结论是正确（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④ C. ①②③ D. ②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 10. 从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 11. 运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 12. 如图，已知是平行四边形的对角线，点在上，且，，则__________． 13. 如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________． 14. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 15. 操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共94分．需写出必要的文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 分解因式： （1）； （2）． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在四边形中，AD//BC，点、在上，AE//CF，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹），作菱形，使点、、分别在边、、上； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出菱形的面积． 22. 材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： （1）观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； （2）已知，其中为整式，请分解因式：． 23. 某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． （1）求证：； （2）若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 25. 四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】 （1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】 （2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】 （3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $