精品解析：2026年山西省阳泉市中考一模数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 2. 从新能源到文创，图标用多元的设计语言精准赋能不同品牌，以创意为笔，为企业打造了兼具记忆点与传播力的视觉名片．以下四个新型企业的品牌图标中的图案部分为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（） A. B. C. D. 无解 6. 榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 某奶茶店统计了一周内不同种类奶茶的平均每日销售量，数据如下表：如果每杯奶茶的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） 奶茶种类 珍珠奶茶 抹茶奶茶 玫瑰奶茶 香蕉奶茶 暖姜奶茶 平均每日销售量/杯 15 24 18 28 10 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（ ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴，点B，C在x轴上且位于y轴两侧．若其边长，，则点D的坐标为______． 13. 山西平遥某工艺厂生产一款传统推光漆器摆件．每件漆器的原料成本和手工加工费共m元．商家先将总成本提高进行标价，节日期间按标价打八折销售．每件漆器的实际售价为______元（用含m的代数式表示）． 14. 小刚解锁手机时，清晰记得锁屏密码的前四位数字，但后两位数字已记不清．已知后两位均为中的数字，且回忆可知：倒数第二位数字只可能是中的一个；最后一位数字只可能是中的一个．小刚随机组合这两位数字尝试解锁，一次就能成功解锁的概率______． 15. 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1） （2） 17. 如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． （1）尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 18. 某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c （1）填空：______，______，______； （2）根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． （3）如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 19. 某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． （1）分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； （2）若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 20. 太原晋阳湖水域面积5.1平方公里、蓄水量达2400万立方米，是华北地区最大的人工湖．周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩．有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图1所示，图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径，点距地面的距离为5米．小颖和同学运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距地面11米高的观测点A处（米）测得摩天轮顶端的仰角即为，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B，观察到支架经过摩天轮圆心O，测得支架与水平面的夹角为，为28米．图中各点均在同一竖直平面内，点C、B、P在同一水平直线上．请你根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米） 21. 阅读与思考 下面是博学小组对“双对称多边形”研究报告的一部分，请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． “双对称多边形” 定义：在平面内，一个凸多边形同时满足两个条件：①存在一个点O，使多边形绕点O旋转后与自身重合；②存在一条直线l，使多边形沿直线l翻折后与自身重合，且直线l经过点O，则称这个多边形为双对称多边形，其中点O为其中心． 如图1，正方形就是一个双对称多边形． 性质：双对称多边形关于点O中心对称，则其具有中心对称图形的所有性质；双对称多边形关于直线l轴对称，则其具有轴对称图形的所有性质． …… 任务： （1）下列正多边形中，一定是双对称多边形的是______（填序号）； A． B． C． D． （2）如图2，已知：线段，直线为线段的垂直平分线，点O为直线l上一点． 尺规作图：以为一边，作出一个顶点均不在直线l上的凸四边形．使四边形是以点O为中心的双对称多边形，保留作图痕迹，不写作法． （3）如图3，四边形中，，，，请借助四边形构造一个双对称多边形，要求在图3中画出你构造的双对称多边形，并求出它的面积． 22. 项目学习 【项目主题】商品销售过程中的数学问题． 【问题情境】山西非遗刀削面，是山西文化的名片，其外滑内筋俱显匠心，承载着乡愁与晋商记忆．某速食品牌企业以山西刀削面为特色，设计生产了一种速食刀削面进行销售．某校综合实践小组的同学想要了解该品牌速食刀削面的销售情况，他们对速食刀削面的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该店这种速食刀削面日销量x（单位：份）的范围是． 信息②：速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系如下表所示． 信息③：如图所示，线段，表示该速食刀削面每份的售价（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系． 日销量 100 150 200 250 每份的成本 10 9.5 9.0 8.5 【问题解决】 （1）任务一：根据收集的信息可知，该速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间是______关系（填“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”）．与日销量x之间的函数关系式为______． （2）任务二：求与日销量之间的函数关系式，并直接写出该速食刀削面当日销售300份时的销售利润． （3）任务三：求当日该速食刀削面销量为多少份时，日销售利润最大． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探究矩形对角线上添加动点后，在轴对称变换中的数学问题．如图，四边形是矩形，，对角线．点是的中点，点是对角线上一点，连接．点是点关于直线的对称点，连接、． （1）特例分析：如图1，当时，连接，判断四边形的形状，说明理由并直接写出四边形的面积； （2）深入探究：如图2，若点落在对角线上，求的长； （3）拓展探究：点在线段上运动的过程中，当是等腰三角形时、请借助备用图分析，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再将各选项与比较大小， 即可得出结果． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ∴ 比大的数是． 2. 从新能源到文创，图标用多元的设计语言精准赋能不同品牌，以创意为笔，为企业打造了兼具记忆点与传播力的视觉名片．以下四个新型企业的品牌图标中的图案部分为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的性质可知A选项为轴对称图形 ． 3. 下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项合并法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误． 4. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 5. 不等式组的解集是（） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到最终结果． 【详解】解： 解 得 解 得 移项整理得 不等式组的解集是． 6. 榫卯结构是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，体现中国传统文化和智慧，榫卯结构中，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫、卯”的实物图，“榫”的主视图和左视图如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“榫”的俯视图的圆内都为虚线，选项B正确． 7. 某奶茶店统计了一周内不同种类奶茶的平均每日销售量，数据如下表：如果每杯奶茶的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） 奶茶种类 珍珠奶茶 抹茶奶茶 玫瑰奶茶 香蕉奶茶 暖姜奶茶 平均每日销售量/杯 15 24 18 28 10 A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵每杯奶茶利润相同，总利润和销售量相关，老板需要优先保证销量最高的奶茶的供应量， ∴老板最关心哪一款奶茶销售量最高， ∵众数反映一组数据中出现次数最多即销量最高的数据，符合老板的需求，平均数，中位数，方差均不能直接体现销量最高的奶茶， ∴老板最关注的销售数据是众数． 8. 如图，四边形内接于，为的直径，，以下说法一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴，故选项正确； ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即和不一定相等， ∴不一定等于，故选项错误； 由已知条件无法得出，故无法得到，故选项错误； ∵不一定是的直径， ∴不一定等于， ∴和不一定互补， ∴无法得出，故选项错误． 9. 在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（ ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算表格中I与t的乘积，可发现二者乘积为定值，由此可确定函数关系． 【详解】解：依次计算表格中每组数据的 ： ， ， ， ， ∴I与t的乘积，可发现二者乘积为定值即， 整理得． 10. 如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据题意先求出，，再利用求解即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， ∴ ． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：__． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴正半轴，点B，C在x轴上且位于y轴两侧．若其边长，，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出，过点D作轴于点E，则，推出即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，，点A在y轴正半轴， ∴，， 过点D作轴于点E，则， ∴， ∴点D的坐标为． 13. 山西平遥某工艺厂生产一款传统推光漆器摆件．每件漆器的原料成本和手工加工费共m元．商家先将总成本提高进行标价，节日期间按标价打八折销售．每件漆器的实际售价为______元（用含m的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据成本提高求出标价，再根据标价的八折求出售价即可． 【详解】解：标价为元，售价为元． 14. 小刚解锁手机时，清晰记得锁屏密码的前四位数字，但后两位数字已记不清．已知后两位均为中的数字，且回忆可知：倒数第二位数字只可能是中的一个；最后一位数字只可能是中的一个．小刚随机组合这两位数字尝试解锁，一次就能成功解锁的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列表，进而根据概率公式可得一次就能成功解锁的概率． 【详解】解：根据题意，可列下表， 1 3 7 2 1,2 3,2 7,2 8 1,8 3,8 7,8 由上表可知：总共有6种情况，其中正确的情况只有一种， ∴根据概率公式可得一次就能成功解锁的概率为． 15. 如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，可得三边为，然后证明，则设，再证明，可设，最后由，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：过点作于点，则 ∵， ∴ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设 由折叠可得，， ∵， ∴ 同理可设， ∵ ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，负整数指数幂和小括号内的运算，再算乘除，最后算加减即可； （2）先将除法运算转换成乘法，然后利用乘法分配律去括号，约分，再根据同分母减法法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，为的直径，直线与相切于点，连接，． （1）尺规作图：过点作射线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解： 即为所求作的射线； （2） 解：，理由如下， 如图所示，连接， 与相切于点， ， 又， ． ， ． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用过直线外一点作垂线的步骤进行作图； （2）连接，根据切线的性质以及垂直的定义得出平行线，然后利用等边对等角和平行线的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲组 90 90 90 6.33 乙组 90 b 87 12 丙组 a 90 90 c （1）填空：______，______，______； （2）根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由． （3）如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论． 【答案】（1）90；89.5；1.67（或） （2）选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可） （3）一致 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数，方差的定义求解即可； （2）对比平均数和方差，再作决策即可； （3）对比平均数和方差，再作决策即可． 【小问1详解】 解：； 将乙组成绩由小到大排列为：，则； ； 【小问2详解】 解：选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可）． 【小问3详解】 解：结果一致， ∵三位候选组员的成绩都是90分， ∴平均分不变仍为90分， 增加一名候选组员后，，，， ∵， ∴， ∴增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果一致． 19. 某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． （1）分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； （2）若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 【答案】（1）请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元 （2）至少有2个组选择智能AI讲解． 【解析】 【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可； （2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元． ， 解得：． 答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元． 【小问2详解】 解：设有个组选择智能AI讲解． ∵此次讲解的总费用不高于1600元， ∴， 解得， 为整数， ． 答：至少有2个组选择智能AI讲解． 20. 太原晋阳湖水域面积5.1平方公里、蓄水量达2400万立方米，是华北地区最大的人工湖．周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩．有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图1所示，图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径，点距地面的距离为5米．小颖和同学运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距地面11米高的观测点A处（米）测得摩天轮顶端的仰角即为，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B，观察到支架经过摩天轮圆心O，测得支架与水平面的夹角为，为28米．图中各点均在同一竖直平面内，点C、B、P在同一水平直线上．请你根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米） 【答案】摩天轮直径约为88米 【解析】 【分析】延长交于点，证明四边形是矩形，得，设摩天轮的半径为米，即（米），在中，得，求出，在中，得，用含x的式子表示出，列方程求解即可． 【详解】解：延长交于点， 根据题意得，，， 四边形是矩形． ． （米）． 在中，， ． 设摩天轮的半径为米，即（米）， 米． ， ． 在中，， ． 米，米， ， ． 解得， （米） 答：摩天轮直径约为88米． 21. 阅读与思考 下面是博学小组对“双对称多边形”研究报告的一部分，请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． “双对称多边形” 定义：在平面内，一个凸多边形同时满足两个条件：①存在一个点O，使多边形绕点O旋转后与自身重合；②存在一条直线l，使多边形沿直线l翻折后与自身重合，且直线l经过点O，则称这个多边形为双对称多边形，其中点O为其中心． 如图1，正方形就是一个双对称多边形． 性质：双对称多边形关于点O中心对称，则其具有中心对称图形的所有性质；双对称多边形关于直线l轴对称，则其具有轴对称图形的所有性质． …… 任务： （1）下列正多边形中，一定是双对称多边形的是______（填序号）； A． B． C． D． （2）如图2，已知：线段，直线为线段的垂直平分线，点O为直线l上一点． 尺规作图：以为一边，作出一个顶点均不在直线l上的凸四边形．使四边形是以点O为中心的双对称多边形，保留作图痕迹，不写作法． （3）如图3，四边形中，，，，请借助四边形构造一个双对称多边形，要求在图3中画出你构造的双对称多边形，并求出它的面积． 【答案】（1）D； （2）如图所示即为所求， （3） 如图，面积为． 【解析】 【分析】（1）根据双对称多边形的定义逐项判断即可； （2）作射线，射线，以O为圆心，为半径画圆分别交射线于点C，射线于点D，连接，，则四边形即为所求； （3）作点B关于的对称点，点C关于的对称点，顺次连接，则多边形为双对称多边形；过点作于点，过点作于点，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由双对称多边形的定义可知，选项D：为双对称多边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 过点作于点，过点作于点F， ， ． ， ． 在中，． 同理． 中，， ． ， 四边形为矩形． ， ． ． 22. 项目学习 【项目主题】商品销售过程中的数学问题． 【问题情境】山西非遗刀削面，是山西文化的名片，其外滑内筋俱显匠心，承载着乡愁与晋商记忆．某速食品牌企业以山西刀削面为特色，设计生产了一种速食刀削面进行销售．某校综合实践小组的同学想要了解该品牌速食刀削面的销售情况，他们对速食刀削面的制作成本和销售情况进行了数据收集与分析． 【信息收集】 信息①：该店这种速食刀削面日销量x（单位：份）的范围是． 信息②：速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系如下表所示． 信息③：如图所示，线段，表示该速食刀削面每份的售价（单位：元）与日销量x（单位：份）之间的关系． 日销量 100 150 200 250 每份的成本 10 9.5 9.0 8.5 【问题解决】 （1）任务一：根据收集的信息可知，该速食刀削面每份的成本（单位：元）与日销量x（单位：份）之间是______关系（填“一次函数”、“反比例函数”、“二次函数”）．与日销量x之间的函数关系式为______． （2）任务二：求与日销量之间的函数关系式，并直接写出该速食刀削面当日销售300份时的销售利润． （3）任务三：求当日该速食刀削面销量为多少份时，日销售利润最大． 【答案】（1）一次函数； （2），速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元 （3）当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据表格数据的变化规律可判断为一次函数关系，用待定系数法即可求解析式； （2）根据图像信息，用待定系数法即可求解析式；再根据利润（售价成本）销售量计算即可； （3）设当日该速食刀削面日销售利润为元，分两种情况根据二次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可知x每增加50，减少，则与x之间是一次函数关系； 设，由题意得经过和， 则，解得， ∴； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，，代入，得． 解得 与之间的函数关系式为． 当时，，， 销售利润为（元）， 则速食刀削面当日销售300份时销售利润为600元． 【小问3详解】 解：设当日该速食刀削面日销售利润为元． 当时， ． ． ，抛物线开口向下，有最大值， 取整数， 当时，有最大值，． 当时，与之间的函数关系式为， ． ． ，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大； 当时，有最大值，． 综上所述，当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 答：当日该速食刀削面销量为500份时，日销售利润最大． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探究矩形对角线上添加动点后，在轴对称变换中的数学问题．如图，四边形是矩形，，对角线．点是的中点，点是对角线上一点，连接．点是点关于直线的对称点，连接、． （1）特例分析：如图1，当时，连接，判断四边形的形状，说明理由并直接写出四边形的面积； （2）深入探究：如图2，若点落在对角线上，求的长； （3）拓展探究：点在线段上运动的过程中，当是等腰三角形时、请借助备用图分析，直接写出的长． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 连接交于点， ∵， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 过点作于点， ∵矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，即，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据折叠的性质，推出，根据中点的定义推出，即可得出四边形是平行四边形，过点作于点，利用勾股定理求出的长，三角函数求出，求出，进而求出的长，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可； （2）根据折叠的性质得到，垂直，在中，利用三角函数进行求解即可； （3）分三种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：，， ∵对称， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由（1）可知：当时，四边形为菱形， 此时，，符合题意， ∴； ②当时，如图，作于点， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ③当时，如图，作， ∵对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 综上：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $