精品解析：2025年山西省阳泉市平定县中考一模数学试卷

平定县2024-2025学年九年级教学质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 1 2. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 3. 我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家．2024年我国茶叶产量为374万吨，比上年增产5.5%，强势卫冕世界第一、则数据374万吨可用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了解该图案的面积是多少，小丽采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是 8. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点，，是边上的点，以点为圆心，长为直径的半圆与相切于点，与相切于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________ 12. 如图，已知是的内接三角形，若，则___________度． 13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号） 14. 如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为___________． 15. 如图，在中，，，D，E分别为线段，上的动点，且，连接，交于点F，若点F为的中点，则线段的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 如图，已知矩形及对角线． （1）过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （③___________）．（填写推理的依据） ， ． ． （④___________）．（填写推理的依据） 18. 正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率． 19. 炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． （1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ （2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 20. 如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图④是小桌板展开后的侧面示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离.（结果精确到，参考数据：） 21. 阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 22. 综合与实践 项目主题：爱心发卡 温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： （1）设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； （2）设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； （3）通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 23. 综合与探究 【问题情境】 在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点． 【特例分析】 （1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平定县2024-2025学年九年级教学质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 计算的结果是（　　） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，要注意运算顺序，先算乘方，再算乘法． 2. 餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由物体上方向下做正投影得到的视图叫做俯视图，据此求解即可． 【详解】解：最上方的圆形桌面在俯视图中体现为一个大圆，因从上往下看时可见，所以用实线表示； 下方的圆形面及四个圆柱形桌腿在俯视图中体现为一个较大的圆和四个小圆，因从上往下看时不可见，所以用虚线表示； 观察四个选项可知，只有D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是掌握俯视图的定义，注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 3. 我国是世界上最大的茶叶种植国，茶园面积最大、增速最快，同时也是世界上茶叶消费量最大的国家．2024年我国茶叶产量为374万吨，比上年增产5.5%，强势卫冕世界第一、则数据374万吨可用科学记数法表示为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数据374万吨可用科学记数法表示为吨； 故选C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的除法，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，立方根以及零指数幂的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键；根据以上知识进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），为了解该图案的面积是多少，小丽采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率；首先设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得：， 所以估计不规则图案的面积大约为． 故选：B． 6. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 7. 冉冉的妈妈在网上销售装饰品．最近一周， 每天销售某种装饰品的个数为：．关于这组数据，冉冉得出如下结果，其中错误的是（ ） A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、平均数、方差、中位数的定义判断即可． 【详解】将这组数据从小到大的顺序排列：10,11,11,11,13,13,15， A．这组数据的众数为11，此选项正确，不符合题意； B．这组数据的平均数为（10+11+11+11+13+13+15）÷7=12，此选项正确，不符合题意； C．这组数据的方差为=，此选项正确，不符合题意； D．这组数据的中位数为11，此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、平均数、方差、中位数，熟练掌握他们的意义和计算方法是解答的关键． 8. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ， 根据折叠可知，， ∴， ， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图，利用勾股定理计算出，根据角平分线的性质得，设，利用面积的和差得到方程，求出得到点坐标，然后把点坐标代入中求出的值． 【详解】解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图， ， ，， ， 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点， ，， ， 设，则， ， ， 解得：， ， 把代入， 得． 故选：B． 10. 如图，在中，，，，点，，是边上的点，以点为圆心，长为直径的半圆与相切于点，与相切于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设半圆的半径为r，根据切线长定理和切线的性质证明四边形是正方形，证明，得到，求得，根据代入数据即可求解． 【详解】解：连接，设半圆的半径为r， ∵是半圆的切线，切点为N，M， ∴，， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，扇形的面积公式，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如图，已知是的内接三角形，若，则___________度． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；连接，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 13. 如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案． 【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠BAC， ∴BC=AC=4， 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键． 14. 如图，在等腰中，，，将沿方向平移，得到，交的中点于点，则点到点的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线分线段成比例，勾股定理；根据平移可得，，根据为的中点，可得，则，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴是的中点，即， ∴， 即是的中点，， 如图，连接，∵，， 则中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D，E分别为线段，上的动点，且，连接，交于点F，若点F为的中点，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可以得到是等边三角形，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M，先证明，再证明，根据相似比得到，再根据勾股定理得到，设，利用直角三角函数进行推算，建立关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，作的中点N，连接，过点E作，垂足为M， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点，点N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴，， ∵，， ∴ ∵， ∴， 化解方程得， ∴，或， ∵，故舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形、全等三角形、相似三角形和一元二次方程，解题的关键是通过相似比和勾股定理建立等式，最终建立一元二次方程． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）39；（2） 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算负整数指数幂，化简算术平方根，乘法，绝对值，再计算加减法； （2）先分解分式的分子和分母，除法化为乘法，再计算分式减法． 【详解】解：（1）解： ． （2）解： ． 17. 如图，已知矩形及对角线． （1）过点作的垂线，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）结合图形猜想，请将下面的证明过程补充完整． 证明：四边形是矩形， ___________，②___________（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （③___________）．（填写推理的依据） ， ． ． （④___________）．（填写推理的依据） 【答案】（1） 解：所作图形如图所示： （2） 证明：四边形是矩形， ，（矩形的对边平行，每个角都是直角）． （两直线平行，内错角相等）． ， ． ． （有两组角对应相等的两个三角形相似）． 【解析】 【分析】本题主要考查垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握垂线的尺规作图、矩形的性质及相似三角形的判定是解题的关键； （1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，在以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半长为半径画弧，然后问题可求解； （2）根据矩形的性质、平行线的性质及相似三角形的判定定理可进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 正值第十四届全国人民代表大会第三次会议召开之际，奋进中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是_____，圆心角的度数为_____度； （2）补全条形统计图； （3）已知奋进中学共有2000名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ （4）若在这次竞赛中有四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表奋进中学参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两人同时参赛的概率． 【答案】（1）50；144 （2） 解：成绩达到优秀等级的人数为， 补全条形统计图如下： （3）800名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图及概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图及概率是解题的关键； （1）根据条形统计图及扇形统计图可进行求解； （2）由（1）可补全条形统计图； （3）根据题意得出成绩优异的学生占比，然后问题可求解； （4）列出表格，然后可求解概率． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 样本容量为， 圆心角的度数为； 故答案为：50；144； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得： （名）； 答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为800名． 【小问4详解】 解：由题意可列表如下： A B C D A / √ √ √ B √ / √ √ C √ √ / √ D √ √ √ / 从四人中抽取两人参加比赛共有12种情况，其中抽中两人的有2种情况，所以恰好抽中的概率为． 19. 炎炎夏日，外观迷你、携带方便的迷你小电扇受到越来越多人的喜爱，某商家计划购进两款迷你小电扇进行销售，已知款迷你小电扇的进价为30元，款迷你小电扇的进价为40元．该商家购进这两种迷你小电扇共100台，用去了3350元． （1）该商家分别购进这两款迷你小电扇多少台？ （2）为了满足市场需求，该商家决定用不超过5200元的资金再购进一批这两款迷你小电扇共150台，问该商家这次至少购进款迷你小电扇多少台？ 【答案】（1）购进A款小电扇65台，款小电扇35台． （2）80 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． (1) 设购进A款小电扇台，则款小电扇台，根据小电扇共100台，用去了3350元列一元一次方程，即可得出结论； (2) 设购进款小电扇台，则购进款小电扇台，根据用不超过元的资金购进，两款小电扇共台，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进A款小电扇台，则款小电扇台， 解得： 答：购进A款小电扇65台，款小电扇35台． 【小问2详解】 解：设购进款小电扇台，则购进款小电扇台． 购进款小电扇至少80台． 20. 如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图④是小桌板展开后的侧面示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离.（结果精确到，参考数据：） 【答案】点到的距离约为. 【解析】 【分析】延长交于点，构造Rt△AOD和Rt△BCD,解直角三角形,求得BD的长. 【详解】解：如解图，延长交于点，由题可知， 设，则， 在中， ， ， 在中， ， ， 解得， ， 答：点到的距离约为. 【点睛】本题考查了锐角三角形的基本关系与应用,中等难度,正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键,主要是失分原因是:（1）不能将题目中的信息和示意图结合起来；（2）不能正确构造出直角三角形；（3）不能利用已知角度和线段解直角三角形确定未知线段的长度. 方法指导：当构造出的图形中有两个直角三角形时，两个直角三角形的公共边是解决问题的突破口.（1）当公共边已知时，可直接利用公共边求其他未知量；（2）当公共边未知时，若公共边能在某个直角三角形中求出，则先求出此公共边；若公共边不能求出，则设公共边的长为x，从而列方程解决问题. 21. 阅读与理解 阅读下列材料，并完成相应任务． 函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想正确． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．． 任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________： 任务二：请完成猜想2的证明； 任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长． 【答案】[任务一]函数思想； [任务二] 证明：设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点， 当时，， ∵点为上的点， ∴， ∴， ∴点在函数上， ∴平移后的表达式为：； [任务三] 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． [任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可； [任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可； [任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值． 【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想； 故答案为：函数思想； [任务二]略 [任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∵平移后的函数与直线交于点， ∴， 解得：， ∴点， ∴． 22. 综合与实践 项目主题：爱心发卡 温暖传递 项目背景：寒假期间，王老师计划制作、两款手工发卡，并将售卖后的全部利润捐赠给福利院．为助力王老师确定最优加工方案，实现利润最大化，从而给予福利院儿童更多帮助，小辉开展了以“探究爱心发卡最佳加工方案”为主题的项目化学习． 驱动任务：探究能获取最大日利润的发卡加工方案． 收集信息： （1）受制作条件限制，王老师每日最多可制作、两款发卡共只， （2）经市场调查，两款手工发卡市场需求旺盛，预期每日制作的发卡均可售罄．扣除各项成本后，具体获利情况如下： 款：当每天加工只时，每只获利元，如果每天多加工只，那么平均每只获利将减少元； 款：每只获利元． 解决问题： （1）设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为______； （2）设每日的销售总利润为元，求关于的函数表达式； （3）通过计算说明使日销售利润最大的加工方案． 【答案】（1） （2） （3）每日加工款只，款只可使日销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数的应用，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据题意列出与的函数关系式即可； （2）根据题意列出关于的函数表达式即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设王老师每天加工款发卡只，每只款发卡获利元，则与的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：方法一：， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大； 方法二：， ， 当时，有最大值， 当时，， 每日加工款只，款只可使日销售利润最大． 23. 综合与探究 【问题情境】 在中，，数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转到，连接，过点作于点． 【特例分析】 （1）如图1，若点与点A重合，判断线段和的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （2）如图2，若点在线段的延长线上，且时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点在线段上，且时，设，请用含的代数式表示线段． 【答案】（1），理由如下： ∵，点与点A重合， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得是等腰直角三角形，进而问题可求解； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后通过证明可进行求解； （3）过点A作，垂足为E，由题意易得，，则有，设，则有，然后通过证明，，根据相似三角形的性质可得，最后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点A作，垂足为E，如图所示： 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $