精品解析：2026年辽宁省中考数学一模测试模拟卷

2026年辽宁中考数学一模测试模拟卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年，中国坚定不移扩大高水平对外开放，前7个月我国货物贸易进出口总值达万亿元．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交的边 ， 于点 ， ，连接 ，过点 作，若 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，，将 平移到的位置，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 联合国教科文组织自1995年起，将每年的4月23日定为“世界阅读日”，向大众（尤其是年青人和儿童）》推广阅读和写作．某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解4月份八年级300名学生读书的情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是17 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是2 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为 ；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将 沿 翻折得到 ，连接 交 于点 ， 为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．若，， 的面积为，则 的面积为（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的不等式的解集为_______． 12. 如图，在正方形 中， 为边上一点， 交对角线 于点 ，连接 ，若，则的度数为_______． 13. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问：几何日相逢？”译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢．设甲从出发到相遇用时 日，乙从出发到相遇用时日，则可列方程组为_______． 14. 为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 15. 如图，在中，， ， ，以 为边在 的右侧作矩形 ，且．点 从点 出发沿 向终点 运动，点 从点 出发沿 向终点 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，且，连接，．当时，的长为_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算或求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 18. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，连接 ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 的面积． 20. 在当今快速发展的时代，科技的力量不断重塑着各个领域的运作方式，无人驾驶的机械简称“无人机”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的设备，在航拍、农业、植保、灾难救援、监控测绘等领域都有应用．无人机搭载的高清摄像头和先进的图像识别系统，使其能够捕捉到高速公路上的每一个细节，为高速公路的管理与维护带来了诸多显著好处．为加强交通秩序管理，整治超速现象，某地区交通部门在重点路段采用雷达测速抓拍，如图，一架监测无人机位于道路正上方的点C处，其到道路的垂直距离 为，有一辆货车沿 方向行驶，无人机第一次抓拍时，货车处于点B的位置，此时测得货车的俯角为；无人机第二次抓拍时，货车行驶至点D的位置，测得俯角为．两次监测的时间间隔为．若该路段限速，超速未超过时，采取警告措施，超过，则需要缴纳罚款，请通过计算说明该司机是否需要缴纳罚款．（图中所有点在同一平面内，参考数据：） 21. 如图， 、 为 的两条直径，点 在 的延长线上， 与 相切，，弦 平分，弦 与 相交于点 ． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. “综合与实践”课上，老师提出如下问题： 如图1，在 中，， ，，求 的长． 【数学思考】 ①如图2，小嘉同学延长 至点D，使得，连接，通过可求 的长； ②如图3，小琪同学作的平分线 ，交 于点D，可得，通过可求 的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【类比分析】 老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在 中，， ，点D，E分别在 ， 上，，试探究 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5， 与 交于点C， ，点E在 上，．，，求 的长． 23. 【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于 ， 两点（点 在点 的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点 ． 【解决问题】 （1）当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年辽宁中考数学一模测试模拟卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若零上记作，则零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：零下记作， 故选：A． 2. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：D． 3. 2025年，中国坚定不移扩大高水平对外开放，前7个月我国货物贸易进出口总值达万亿元．将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：与不是同类项，不能合并，故 A选项错误 故B选项错误； 故C选项正确； 故 D选项错误． 5. 如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交的边 ， 于点 ，，连接 ，过点 作，若 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，因此． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， 且 解得 且. 7. 在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为，，，将 平移到的位置，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的三个顶点的坐标分别为，，，， 各顶点的横坐标增加个单位，再向下平移 个单位长度， 点的坐标为，即， 故选：A． 8. 联合国教科文组织自1995年起，将每年的4月23日定为“世界阅读日”，向大众（尤其是年青人和儿童）》推广阅读和写作．某中学开展了“好书伴我成长”读书活动，为了解4月份八年级300名学生读书的情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示： 册数 0 1 2 3 4 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是17 B. 中位数是2 C. 平均数是2 D. 方差是2 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义、中位数的定义、平均数的定义及方差的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵册数3出现17次，出现次数最多， ∴这组数据的众数是3，故选项A不符合； 把这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个数分别是2、2， ∴这组数据的中位数是，故选项B符合题意； 这组数据的平均数是，故选项C不符合题意； 这组数据的方差是，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查众数的定义、中位数的定义、平均数的定义及方差的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 9. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为 ；供水6小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设箭尺每小时上升，由于刚开始箭尺有一定读数，根据2小时时箭尺的读数-2小时箭尺上升的高度=6小时时箭尺的读数-6小时箭尺上升的高度，即可列出方程． 本题主要考查了列一元一次方程解应用题，据题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】设箭尺每小时上升，则可列方程， 故选：A． 10. 如图，将 沿 翻折得到 ，连接 交 于点 ， 为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接 ．若，， 的面积为，则 的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形翻折的性质，勾股定理解三角形，三角形面积和中线的关系等知识点． 根据图形翻折的性质得到翻折图形面积相等，， 为 的中点，根据勾股定理得到 的长度，继而得到 的面积，根据三角形的中线平分三角形的面积得到 的面积，继而得到 的面积，继续根据三角形中线的性质得到 的面积． 【详解】解：由翻折的性质，得， ，， 为 的中点， 在中，根据勾股定理，得， ， ， 为 的中点， ， ， ， ， 为 的中点， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于x的不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 12. 如图，在正方形 中， 为 边上一点， 交对角线 于点 ，连接 ，若，则的度数为_______． 【答案】##83度 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质得到，，继而证明，根据全等三角形对应角相等得到，根据三角形外角的性质得到，继而得到． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问：几何日相逢？”译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢．设甲从出发到相遇用时 日，乙从出发到相遇用时 日，则可列方程组为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由“乙先出发2日，甲才从长安出发”可得，， 由“甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安，设甲从出发到相遇用时 日，乙从出发到相遇用时 日”可得，， 因此可列方程组为． 14. 为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，根据图像列一元一次方程求解；分别求出小亮和小明的路程解析式，再令二者相同，即可求出两人第一次相遇时出发的时间． 【详解】解：设直线的解析式为： ，将点代入， ， 解得. ∴直线的解析式为. 设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得 ， 解得 ∴直线的解析式为 ， 令 ， 解得， ∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h． 15. 如图，在中，， ，，以 为边在 的右侧作矩形，且．点 从点 出发沿 向终点 运动，点从点 出发沿 向终点 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，且，连接，．当时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，设，则，由勾股定理可得，则，．由平行可判定，计算得，，从而得到．利用一线三直角模型可证明，则，从而得到方程，解得，因此． 【详解】解：如图，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，设，则， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 解得， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算或求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）8 （2）， 【解析】 【分析】（1）分别计算立方根、负整数次幂，绝对值，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通分，变除法为乘法，约分化简，最后将a的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ， 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个 【解析】 【分析】通过设钥匙扣的售价应定为x元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个， 根据题意，得：， 解得：，， ∴这种钥匙扣的售价应定为 30元/个或25元/个． 18. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了 名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1） __________，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； （4）学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】（1）， 条形统计图补全如下： （2） （3）喜欢“篮球”运动的学生约有人 （4） 【解析】 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以 即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）； 【小问2详解】 解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，连接 ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求 的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）8 【解析】 【分析】（1）将点代入、计算即可； （2）过点A作于点D，在中，令 ，求出，将 代入求出，进而求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点D， 在中，令 ，得， ∴， 将 代入得， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ． 20. 在当今快速发展的时代，科技的力量不断重塑着各个领域的运作方式，无人驾驶的机械简称“无人机”，是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的设备，在航拍、农业、植保、灾难救援、监控测绘等领域都有应用．无人机搭载的高清摄像头和先进的图像识别系统，使其能够捕捉到高速公路上的每一个细节，为高速公路的管理与维护带来了诸多显著好处．为加强交通秩序管理，整治超速现象，某地区交通部门在重点路段采用雷达测速抓拍，如图，一架监测无人机位于道路正上方的点C处，其到道路的垂直距离 为，有一辆货车沿 方向行驶，无人机第一次抓拍时，货车处于点B的位置，此时测得货车的俯角为；无人机第二次抓拍时，货车行驶至点D的位置，测得俯角为．两次监测的时间间隔为．若该路段限速，超速未超过时，采取警告措施，超过，则需要缴纳罚款，请通过计算说明该司机是否需要缴纳罚款．（图中所有点在同一平面内，参考数据：） 【答案】 解：如图， 由题意，得， ∴， ， ∴， 在 中，， ， ∴， ， ∵，， ∴该司机需要缴纳罚款． 【解析】 【分析】证明得出，在 中，求出，再求出，计算出货车的速度即可求解． 【详解】略 21. 如图， 、 为 的两条直径，点 在 的延长线上， 与 相切，，弦 平分，弦 与 相交于点 ． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，因此； （2）连接 ，容易判断是等边三角形，则，，由角平分线的性质可得，结合圆周角定理可得，．使用三角函数计算出，，则，最后使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵ 与 相切， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接 ， 由（1）可知，， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 22. “综合与实践”课上，老师提出如下问题： 如图1，在 中，， ，，求 的长． 【数学思考】 ①如图2，小嘉同学延长 至点D，使得，连接 ，通过可求 的长； ②如图3，小琪同学作的平分线 ，交 于点D，可得 ，通过可求 的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【类比分析】 老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在 中， ，，点D，E分别在 ， 上，，试探究 ， ， 之间的数量关系，并证明． 【学以致用】 （3）如图5， 与 交于点C， ，点E在 上，．，，求 的长． 【答案】（1）选择小嘉同学的解题思路： 延长 至点D，使得，连接 ． ∴ ，． ∵，， ∴．∴． ∵ ， ，∴． ∴，即，解得．                            选择小琪同学的解题思路： 作的平分线 ，交 于点D． ∴． ∵，∴． ∴ ． ∵ ，，∴． ∴，即，解得，．              （2）． 证明：如图1，延长 至点M，使得，连接． ∵ ，， ∴，． 又，，∴． ∴． 设，则． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴．                     （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）小嘉同学思路：延长 至点D，使得，连接 ，可证，，继而可得，得，即可解答； 小琪同学思路：作的平分线 ，交 于点D，由 ，，，进而得，即可解答； （2）延长 至点M，使，连接，先证明，得，，则，由，继而可得，即可得结论； （3）过点D作，且，连接， ，设 交于点H．先证，可得，，进而可得，设，则，得，则，同理可得，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）略 （3）如图2，过点D作，且，连接， ，设 交于点H． ∵，，∴． ∵ ，，． ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 设，则． ∵，∴． ∴． ∴． 同理，． ∴． 23. 【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于 ， 两点（点 在点 的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点 ． 【解决问题】 （1）当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入，再令，求出点 与点 得坐标，从而求出 得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点 的坐标为，点 的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线 ，并消去 ，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线 ，并消去 ，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $