23.3一次函数与方程(组)、不等式 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组的内在联系，通过“水的循环”情景导入类比转化思想，搭建从一次函数到方程、不等式的学习支架，帮助学生建立知识关联。 其亮点在于以“观察图象—分析关联—归纳规律”探究活动为主线，结合几何直观与模型意识，如用y=2x-1图象推导方程解和不等式解集，通过气球上升等实例强化应用。总结口诀“方程求交点，不等看区间”助力理解，提升学生数形结合能力，也为教师提供结构化教学资源。

第二十三章 一次函数 x /s y /m 数学人教版八年级下册 01 02 03 04 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，掌握用函数图象解决方程、不等式问题的方法. 能主动运用数形结合思想，从函数图象的角度分析方程的解、不等式的解集，建立数与形的双向转化思维. 经历“观察图象——分析关联——归纳规律——解决问题”的探究过程，提升观察、归纳和建模能力，体会数形结合、转化的数学思想. 感受数学知识的整体性与关联性，在解决实际问题的过程中体会数学的应用价值增强学习数学的兴趣与信心. 在自然界中，水蒸发转化成了水汽，水汽在高空中凝结，变成云，达到一定的降雨条件，掉落在地面上，又变成了水. 你知道吗?转化思想是一种重要的数学思想，一次函数在一定条件下，可以化为一元一次方程、一元一次不等式. 一般形式 y＝ax＋b O x y y=ax+b ax+b0的解集 ax+b0的解集 ax+b=0的解 活动一：探究一次函数与一元一次方程的关系 1 如图，一次函数y=2x－1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解吗？ O 0.5 0.5 0.5 1 y=2x-1 x y 一次函数y=2x－1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0. 由此可以得出一元一次方程2x－1=0的解是x=0.5. 2x－1=0的解 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b＝0(a≠0)的形式，所以可以根据函数相关知识解一元一次方程ax+b＝0. 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求自变量x的值； 从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax+b， 求它与x轴的交点的横坐标. O x y y=ax+b ax+b=0的解 活动一：探究一次函数与一元一次方程的关系 活动二：探究一次函数与一元一次不等式的关系 2 O 0.5 0.5 0.5 1 y=2x-1 x y 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5； 2x-1＞0的解集 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？ 活动二：探究一次函数与一元一次不等式的关系 2 O 0.5 0.5 0.5 1 y=2x-1 x y 当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5. 2x-1<0的解集 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？ 活动二：探究一次函数与一元一次不等式的关系 2 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？ O 0.5 0.5 0.5 1 y=2x-1 x y 由此得出不等式2x-1＞0的解集是x＞0.5，2x-1＜0的解集是x＜0.5. 活动二：探究一次函数与一元一次不等式的关系 对于可化为 ax+b＞0或 ax+b＜0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时： 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围； 从函数的图象考虑，相当于已知直线 y=ax+b， 确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0 时对应横坐标的取值范围. O x y y=ax+b ax+b0的解集 ax+b0的解集 活动二：探究一次函数与一元一次不等式的关系 利用图象求以 x 为未知数的一元一次不等式 k1x＋b1＞k2x＋b2 或 k1x＋b1＜k2x＋b2 的解集的方法： 直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2交点的横坐标即为方程k1x＋b1＝k2x＋b2的解；不等式k1x＋b1>k2x＋b2(或k1x＋b1<k2x＋b2)的解集就是直线y1＝k1x＋b1在直线y2＝k2x＋b2上(或下)方部分对应的自变量x 的取值范围. 示例：如图方程k1x＋b1＝k2x＋b2 的解为x＝a； 不等式k1x＋b1>k2x＋b2 的解集为x>a； 不等式k1x＋b1<k2x＋b2 的解集为x<a. 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 3 一次函数y＝2x－1与二元一次方程有什么关系？ 一次函数 y＝2x－1 二元一次方程y＝2x－1 二元一次方程2x－y＝1 用方程的角度看 用函数的角度看 转 化 直线y＝2x－1 方程的解对应点的坐标 点的坐标是方程的解 点的坐标满足函数解析式 满足函数解析式的对应点的坐标 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 由于每个含未知数 x 和 y 的二元一次方程都可以转化为 y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上. 　　以二元一次方程y＝kx＋b (其中k，b为常数，k≠0)的解为坐标的点组成的图形 一次函数 y＝kx＋b的图象 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 4 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 4 y=2x-1 P(1,1) 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从“数”的角度看， 解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值； 从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. y=2x-1 活动三：探究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系 判断用图象法所得到的方程组的解是否准确，可以将得到的解代入方程组中进行检验，如果方程组中的两个方程同时成立，则得到的解是准确的. 例题1 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min. (1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式. (1)气球上升时间x满足0≤x≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15. 例题1 (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 你能用图象的方法 解决这个问题吗? 例题1 (2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象. 这两条直线的交点坐标为(20， 25)，这说明当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m. 例题2 如图直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c 相交于点P(m，3)，则关于x 的不等式x＋2 ≤ ax＋c 的解集为____________. x ≤ 1 因为直线y＝x＋2 经过点P(m，3)， 所以m＋2＝3，解得m＝1. 所以P(1，3). 结合图可知x＋2 ≤ ax＋c 的解集为x ≤ 1. 例题3 -3 A C O x y B 4 (1)求m的值及一次函数y＝kx＋b的解析式； 例题3 -3 A C O x y B 4 例题3 -3 A C O x y B 4 -3 A C O x y B 4 0<x<3 例题3 1.画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程 -2x+8=0及不等式-2x+8>0与-2x+8<0. 解：一次函数y=-2x+8的图象如图所示. 由图象可知，方程-2x+8=0的解为x=4； 不等式-2x+8>0的解集为x<4； 不等式-2x+8<0的解集为x>4. x 2 4 6 8 2 O y 2 4 8 -2 6 y=-2x+8 3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游，在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费，当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同? 解：设租车时间为xh，租用甲公司的车需要费用为y1元，租用乙公司的车需要费用为y2元，依题意得 y1=14x+80，y2=30x 当y1=y2时，即14x+80=30x，解得x=5. 因此，当他家租车5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同. “追及问题大揭秘”——一次函数与方程(组)的运动学探究 任务：1.设计一个生活中的追及场景(如两人赛跑、两车同向行驶等)，设定初始位置与速度. 2.以时间为自变量x，位置为因变量y，分别写出两个物体的位置函数关系式. 3.在同一坐标系中画出两个函数图象，观察交点，并用解方程(组)的方法求出交点坐标. 4.解释交点的实际意义(如何时何地追上)，并分析追及前后位置关系的变化意义. 要求：1.场景合理，参数清晰，说明假设条件. 2.函数关系式正确，图象规范(标注坐标轴、交点). 3.结合图象与代数方法解释追及过程的数学本质. 4.形成A4纸大小的探究报告(含场景、建模、图象、结论). x /s y /m $