专题11分式方程 复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题11分式方程 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.熟记分式方程定义，精准区分分式方程与整式方程； 2.熟练掌握分式方程“去分母→解整式方程→验根”的规范步骤； 3.掌握验根方法与增根判断，明确增根的产生原因及处理方式； 4.掌握分式方程应用题的核心解题思路，能精准找到等量关系； 5.熟练掌握“审题→设元→列方程→解方程→验根→答”的规范步骤，重点突破验根与实际意义检验； 6.能识别常见分式方程应用题型（行程、工程、浓度、利润等），掌握对应等量关系模型； 核心题型◆归纳 题型1分式方程的定义 题型2解分式方程（化为一元一次） 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其它实际问题 题型11提升测试 重点知识◆梳 知识点01分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程； 2.分母不含未知数的方程，叫做整式方程。 3.分式方程的判定 （1）含分式；（2）分式的分母含未知数。 重点提醒：判断需看方程原始形式，无需化简；即使化简后为整式方程，原始分母含未知数仍为分式方程。 4.分式方程与整式方程的区别 核心区别：分母是否含未知数，分母为常数，则是整式方程。 知识点02分式方程的解法 1.解题步骤： （1）定最简公分母； （2）去分母转化整式方程（方程两边每一项都要乘最简公分母，不可漏乘常数项）； （3）解整式方程，求出未知数的值； （4）验根：代入最简公分母，不为0则为原方程解，为0则为增根（舍去）； （5）写出最终解. 2.最简公分母确定 （1）看系数：各分母系数的最小公倍数； （2）看字母：所有出现字母的最高次幂； （3）多项式：先因式分解，再取所有因式的最高次幂（整体看作一个因式）。 3.增根 (1)定义：去分母后整式方程的解，代入原方程分母会使分母为0，即为增根； (2)产生原因：去分母时，两边同乘含未知数的整式（最简公分母），其值为0导致方程不等价； (3)重点：增根不是原方程的解，必须舍去；验根不可省略。 知识点03分式方程应用 1.分式方程应用题的核心：“用分式表示数量关系，结合实际场景列方程”。 2.关键两点：① 找到准确的等量关系（解题核心）；② 验根时需同时满足“最简公分母不为0”和“解符合实际意义” 知识点04常见题型及核心等量关系 1.工程问题 公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间（通常将总工作量看作单位“1”）； 常用等量关系：① 甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量；② 合作效率 = 甲的效率 + 乙的效率；③ 不同工作方式的工作量相等。 2.行程问题 公式：路程 = 速度 × 时间（速度 = 路程÷时间，时间 = 路程÷速度） 常用等量关系：① 相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程；② 追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离；③ 往返问题：去程时间 + 返程时间 = 总时间。 3.浓度问题 公式：浓度 = 溶质质量÷溶液质量 × 100%（溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量） 常用等量关系：稀释/浓缩前后，溶质质量不变。 4.利润与折扣问题 公式：利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润÷进价 × 100% 常用等量关系：不同销售方式的利润相等；利润率满足题干给定条件。 知识点05分式方程的应用题解题步骤 1.审题：通读题干，明确题目类型（找出已知量、未知量，梳理数量关系）； 2.设元：设未知数，注明未知数的单位； 3.列方程：根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程（注意等式两边单位统一）； 4.解方程：按照分式方程的解法，去分母、解整式方程，求出未知数的值； 5.验根：① 代入最简公分母，检验是否为增根；② 检验解是否符合实际意义（如时间、速度、工作量不能为负）；（双重检验） 6.作答：根据检验结果，写出符合题意的答案，注明单位。 知识点06解题注意事项 1.设元时，需明确未知数的意义并注明单位，避免设元模糊导致列方程错误； 2.列方程前，务必梳理清楚数量关系，找准等量关系（可借助列表、画图辅助分析）； 3.验根必须进行双重检验，既要排除增根，也要确保解符合实际（如时间、速度、人数不能为负数或0）； 4.解方程时，严格遵循分式方程解法步骤，避免去分母漏乘、符号错误等问题； 5.作答时，答案需贴合题干要求，注明单位，语言简洁规范。 题型解析◆精准备考 题型1分式方程的定义 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 题型2解分式方程（化为一元一次） 1．解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 两边同乘以，得． 2．方程的解为______． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 3．解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为. 题型3根据分式方程解的情况求值 1．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 2．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 3．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 题型4分式方程无解问题 1．已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程的增根会使原分式方程的分母为0，原方程分母为和， ∴增根满足， ∴增根为， 原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 将增根代入方程，得， 解得． 2．若分式无解，则________． 【答案】5 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，根据分式方程无解可知整式方程的解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 方程变形得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 分式方程无解， 原分式方程的增根为（使分母）， 将代入得，解得． 3．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 题型5列分式方程 1．2026清明节，万州中学某班组织部分学生步行2000米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前10分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示出原计划的时间和实际的时间，根据实际比原计划提前10分钟到达的等量关系即可列出方程． 【详解】解：设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则学生队伍的实际行进速度为（米/分）， ∵学生队伍比原计划提前10分钟到达， ∴可列方程． 2．太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【答案】 【分析】设乙品牌每小时可储存电量，根据储存时间相等列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：设乙品牌每小时可储存电量，则甲品牌每小时可储存电量， ​， 解得， 经​检验，是原方程的解且符合实际意义， ∴乙品牌每小时可储存电量． 3．解不等式组及应用： (1)解不等式组： (2)随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】(1) (2)吨 【分析】（1）先求出每个不等式的解，进而找到它们的公共部分即可； （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：， （2）解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 题型6分式方程的行程问题 1．小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程关于行程问题的实际应用．根据两人行驶时间的关系：小明比爸爸多用分钟列方程即可． 【详解】解：根据题意，设自行车速度为，则电动车速度为， ∵总路程为，根据时间路程速度，并将时间单位统一为，即分钟， ∴可列方程为：． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据它们所需时间与规定时间的关系列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为里/天， 由题意可列方程：. 3．某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 【答案】 【分析】设大巴车的平均速度是，根据中巴与大巴的时间差列分式方程求解即可. 【详解】解：设大巴车的平均速度是， 由题意得：， 解得：， ∴中巴车的平均速度为：， 经检验，是分式方程的解， 答：中巴车的平均速度是． 题型7分式方程的工程问题 1．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 2．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【详解】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 3．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 题型8分式方程的经济问题 1．我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据总长度表示出罗布的长度，再根据总收入得到两种布的单价，最后根据“绫布和罗布各出售尺共收入文”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有 尺， 绫布和罗布分别全部出售后均能收入文， 绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文， 又绫布和罗布各出售尺共收入文， 可列方程． 2．某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【分析】先设一根跳绳单价为x元，根据题意表示出一个排球的单价， 再利用“总价÷单价=数量”，结合两种购买的数量相同，列出方程即可． 【详解】设一根跳绳的单价为x元， 由题意得，一个排球的价格为元，花160元购买跳绳的数量为，花400元购买排球的数量为， ∵购买数量相同， ∴可列方程． 3．某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 【答案】(1)甲文具袋每个为元，乙文具袋每个进价为元 (2) 【分析】（）设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个为元，根据题意列出方程即可求解； （）根据题意列出方程，进而解二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：乙文具袋每个进价为元，则甲文具袋每个进价为元； （2）解：根据题意得，， ∴． 题型9分式方程和差倍分问题 1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 2．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则A型机器人每小时搬运物品___________． 【答案】100 【分析】设B型机器人每小时搬运物品，表示出A型机器人每小时的搬运量，根据A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，求解检验后即可得到A型机器人每小时的搬运量． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运物品，则A型机器人每小时搬运物品． 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 则． 即A型机器人每小时搬运物品． 3．某中学为丰富学生的阅读生活，采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，购买名著类图书的总费用为800元，购买科普类图书的总费用为600元，科普类图书的单价比名著类图书的单价低5元．求名著类、科普类两种图书的单价． 【答案】名著类图书的单价为20元，科普类图书的单价为15元 【分析】设名著类图书的单价为元，则科普类图书的单价为元，根据采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设名著类图书的单价为元，则科普类图书的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根， （元）， 答：名著类图书的单价为20元，科普类图书的单价为15元． 题型10分式方程的其它实际问题 1．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地，根据“提前3天完成任务”的等量关系列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩地，则实际每天种植的面积为亩地， 根据题意得，． 2．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【答案】30 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 3．某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量不同的大、小两种货车同时运往外地销售．已知满载时，大货车每辆的运输量比小货车多15吨，且观察到，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨． 【答案】小货车每辆每次运输10吨，大货车每辆每次运输25吨 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设小货车每辆每次运输吨，则大货车每辆每次运输吨，根据运输次数列出方程求解即可． 【详解】解：设小货车每辆每次运输吨，则大货车每辆每次运输吨． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，并符合题意． 答：小货车每辆每次运输10吨，大货车每辆每次运输25吨． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列方程是分式方程的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 2．若分式方程 的解为，则的值为 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的解是否为增根． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 移项整理得：， 检验：当时，，， 是原方程的解， 即． 3．若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】先解分式方程，再根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的解不大于2， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的分母不为， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 4．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 5．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件， ∴ 乙机器人每天做 个零件. ∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等， ∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为， ∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ． 二、填空题 6．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 【答案】（或，，） 【分析】分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造分母含未知数的分式方程即可． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，． 7．分式方程的解为_____． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 经检验：时，， 是该分式方程的解． 8．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据“只有 3个偶数解”确定参数的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为 0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， ， ， 为整数， 的取值为，，，，，， 解分式方程得， 由题意可知， ，即， ， 分式方程有整数解 ，y为整数， 是3的倍数， 在上述取值中只能取，， 经检验，时，；时，， 符合条件的整数解为，， 符合条件的所有整数的和为． 【点睛】在解决含有参数的不等式组的参数问题时，一定要根据已知条件确定边界的取值，可数形结合借助数轴解决，在解含参数的分式方程时要注意分母不为０． 9．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，再根据增根求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 10．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 三、解答题 11．年月日至日宁洱普洱茶节在云南省普洱市宁洱县举办，核心活动包括“说茶论道”，“贡茶鉴宝”，“茶咖文旅融合交流”等．某茶商通过电商平台拓展国际市场，计划用元采购普洱茶，实际采购时的单价较原计划降低，最终比原计划多购买了公斤．那么原计划的采购单价是每公斤多少元？ 【答案】原计划的采购单价是每公斤元 【分析】先设原计划采购单价为未知数，结合总预算分别表示出原计划和实际的采购数量，再根据“实际比原计划多采购公斤”这一条件列出方程，最后通过化简方程求解得出原计划的采购单价． 【详解】解：设原计划采购单价为每公斤元，则实际单价为元， 根据题意，得 整理，得， 即， 解得， 经检验，时分母不为，符合题意， 答：原计划的采购单价是每公斤元． 12．有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月 (2)甲工程队至多施工10个月 【分析】（1）根据题意列出分式方程组求解； （2）根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要个月，乙工程队单独完成此项工程需要个月，根据题意得， ， 解得 经检验，当是方程组的解，并符合题意， 答：甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月； （2）解：甲工程队施工个月，乙工程队施工个月，根据题意得， ， ∴， ∴， 解得， ∴甲工程队至多施工10个月． 13．某校计划购买甲、乙两种乒乓球拍．经市场调查，甲种乒乓球拍的单价是乙种乒乓球拍的1.5倍；用600元单独购买甲种乒乓球拍比单独购买乙种乒乓球拍少10把． (1)求甲、乙两种乒乓球拍的单价； (2)若该校计划购买这两种球拍共50把，且甲种乒乓球拍的数量不少于乙种乒乓球拍的一半，如何购买这两种球拍可使购买费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1)甲种乒乓球拍单价为30元，乙种乒乓球拍单价为20元 (2)购买甲种乒乓球拍17把，乙种乒乓球拍33把时购买费用最少，最少费用为1170元 【分析】（1）设出乙的单价后，根据两种球拍的数量差列方程求解即可； （2）先得到总费用关于甲购买数量的一次函数，再根据甲数量的限制条件确定自变量范围，结合一次函数的增减性即可求出最小费用． 【详解】（1）解：设乙种乒乓球拍单价为元，则甲种乒乓球拍单价为元， 根据题意列方程得 解得 检验：当时，，因此是原方程的解，且符合题意 答：甲种乒乓球拍单价为30元，乙种乒乓球拍单价为20元； （2）解：设购买甲种乒乓球拍把，总费用为元，则购买乙种乒乓球拍把， 可得总费用 化简得 根据题意得 解不等式得 因为为正整数，且，随的增大而增大 所以当时，取得最小值， 此时 答：购买甲种乒乓球拍17把，乙种乒乓球拍33把时购买费用最少，最少费用为1170元． 14．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】(1)； (2)50千克 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； （2）解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 15．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 【答案】(1)大项目有24个，小项目有182个． (2)第十五届有16支参赛队伍． 【分析】（1）设大项目的数量为个根据题意列方程求解即可； （2）设第十四届有支参赛队伍，根据题意列分式方程求解即可，注意要验根． 【详解】（1）解：设大项目的数量为个， 根据题意得， 解得， 则， 答：大项目有24个，小项目有182个． （2）解：设第十四届有支参赛队伍． 根据题意得， 化简得， ， 移项并求解： ， ， ， ， 经检验，是分式方程的根， ， 答：第十五届有16支参赛队伍． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11分式方程 复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.熟记分式方程定义，精准区分分式方程与整式方程； 2.熟练掌握分式方程“去分母→解整式方程→验根”的规范步骤； 3.掌握验根方法与增根判断，明确增根的产生原因及处理方式； 4.掌握分式方程应用题的核心解题思路，能精准找到等量关系； 5.熟练掌握“审题→设元→列方程→解方程→验根→答”的规范步骤，重点突破验根与实际意义检验； 6.能识别常见分式方程应用题型（行程、工程、浓度、利润等），掌握对应等量关系模型； 核心题型◆归纳 题型1分式方程的定义 题型2解分式方程（化为一元一次） 题型3根据分式方程解的情况求值 题型4分式方程无解问题 题型5列分式方程 题型6分式方程的行程问题 题型7分式方程的工程问题 题型8分式方程的经济问题 题型9分式方程和差倍分问题 题型10分式方程的其它实际问题 题型11提升测试 重点知识◆梳 知识点01分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程； 2.分母不含未知数的方程，叫做整式方程。 3.分式方程的判定 （1）含分式；（2）分式的分母含未知数。 重点提醒：判断需看方程原始形式，无需化简；即使化简后为整式方程，原始分母含未知数仍为分式方程。 4.分式方程与整式方程的区别 核心区别：分母是否含未知数，分母为常数，则是整式方程。 知识点02分式方程的解法 1.解题步骤： （1）定最简公分母； （2）去分母转化整式方程（方程两边每一项都要乘最简公分母，不可漏乘常数项）； （3）解整式方程，求出未知数的值； （4）验根：代入最简公分母，不为0则为原方程解，为0则为增根（舍去）； （5）写出最终解. 2.最简公分母确定 （1）看系数：各分母系数的最小公倍数； （2）看字母：所有出现字母的最高次幂； （3）多项式：先因式分解，再取所有因式的最高次幂（整体看作一个因式）。 3.增根 (1)定义：去分母后整式方程的解，代入原方程分母会使分母为0，即为增根； (2)产生原因：去分母时，两边同乘含未知数的整式（最简公分母），其值为0导致方程不等价； (3)重点：增根不是原方程的解，必须舍去；验根不可省略。 知识点03分式方程应用 1.分式方程应用题的核心：“用分式表示数量关系，结合实际场景列方程”。 2.关键两点：① 找到准确的等量关系（解题核心）；② 验根时需同时满足“最简公分母不为0”和“解符合实际意义” 知识点04常见题型及核心等量关系 1.工程问题 公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间（通常将总工作量看作单位“1”）； 常用等量关系：① 甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量；② 合作效率 = 甲的效率 + 乙的效率；③ 不同工作方式的工作量相等。 2.行程问题 公式：路程 = 速度 × 时间（速度 = 路程÷时间，时间 = 路程÷速度） 常用等量关系：① 相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程；② 追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 初始距离；③ 往返问题：去程时间 + 返程时间 = 总时间。 3.浓度问题 公式：浓度 = 溶质质量÷溶液质量 × 100%（溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量） 常用等量关系：稀释/浓缩前后，溶质质量不变。 4.利润与折扣问题 公式：利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润÷进价 × 100% 常用等量关系：不同销售方式的利润相等；利润率满足题干给定条件。 知识点05分式方程的应用题解题步骤 1.审题：通读题干，明确题目类型（找出已知量、未知量，梳理数量关系）； 2.设元：设未知数，注明未知数的单位； 3.列方程：根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程（注意等式两边单位统一）； 4.解方程：按照分式方程的解法，去分母、解整式方程，求出未知数的值； 5.验根：① 代入最简公分母，检验是否为增根；② 检验解是否符合实际意义（如时间、速度、工作量不能为负）；（双重检验） 6.作答：根据检验结果，写出符合题意的答案，注明单位。 知识点06解题注意事项 1.设元时，需明确未知数的意义并注明单位，避免设元模糊导致列方程错误； 2.列方程前，务必梳理清楚数量关系，找准等量关系（可借助列表、画图辅助分析）； 3.验根必须进行双重检验，既要排除增根，也要确保解符合实际（如时间、速度、人数不能为负数或0）； 4.解方程时，严格遵循分式方程解法步骤，避免去分母漏乘、符号错误等问题； 5.作答时，答案需贴合题干要求，注明单位，语言简洁规范。 题型解析◆精准备考 题型1分式方程的定义 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 3．下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 题型2解分式方程（化为一元一次） 1．解方程时，在方程的两边同乘以，得（   ） A． B． C． D． 2．方程的解为______． 3．解方程：． 题型3根据分式方程解的情况求值 1．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且B．且 C．且 D．且 2．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 3．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 题型4分式方程无解问题 1．已知关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．若分式无解，则________． 3．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 题型5列分式方程 1．2026清明节，万州中学某班组织部分学生步行2000米到纪念馆参加活动，要求学生队伍比原计划提前10分钟到达，这样学生队伍的实际行进速度比原计划的行进速度快，问学生队伍原计划的行进速度为多少？设学生队伍原计划的行进速度为米/分，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 2．太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 3．解不等式组及应用： (1)解不等式组： (2)随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 题型6分式方程的行程问题 1．小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A．B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________． 3．某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的美术实践基地写生．一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达基地．已知中巴车平均速度是大巴车平均速度的倍，求中巴车的平均速度是多少． 题型7分式方程的工程问题 1．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A．B． C． D． 2．某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 3．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 题型8分式方程的经济问题 1．我国古代《四元玉鉴》中记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只云绫罗各一尺，共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问绫布、罗布每尺各多少文？设绫布有尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 3．某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲文具袋每个的进价比乙每个进价多元，经了解，用元购进的甲文具袋与用元购进的乙文具袋的数量相等． (1)分别求甲、乙两种文具袋每个的进价是多少元？ (2)若该文具店用元全部购进甲、乙两种文具袋，设购进甲个，乙个．求关于的关系式． 题型9分式方程和差倍分问题 1．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，则A型机器人每小时搬运物品___________． 3．某中学为丰富学生的阅读生活，采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，购买名著类图书的总费用为800元，购买科普类图书的总费用为600元，科普类图书的单价比名著类图书的单价低5元．求名著类、科普类两种图书的单价． 题型10分式方程的其它实际问题 1．某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 3．某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量不同的大、小两种货车同时运往外地销售．已知满载时，大货车每辆的运输量比小货车多15吨，且观察到，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列方程是分式方程的是（   ） A． B．C． D． 2．若分式方程 的解为，则的值为 （    ） A．1 B． C．2 D． 3．若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 5．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________． 7．分式方程的解为_____． 8．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 9．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 10．小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 三、解答题 11．年月日至日宁洱普洱茶节在云南省普洱市宁洱县举办，核心活动包括“说茶论道”，“贡茶鉴宝”，“茶咖文旅融合交流”等．某茶商通过电商平台拓展国际市场，计划用元采购普洱茶，实际采购时的单价较原计划降低，最终比原计划多购买了公斤．那么原计划的采购单价是每公斤多少元？ 12．有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 13．某校计划购买甲、乙两种乒乓球拍．经市场调查，甲种乒乓球拍的单价是乙种乒乓球拍的1.5倍；用600元单独购买甲种乒乓球拍比单独购买乙种乒乓球拍少10把． (1)求甲、乙两种乒乓球拍的单价； (2)若该校计划购买这两种球拍共50把，且甲种乒乓球拍的数量不少于乙种乒乓球拍的一半，如何购买这两种球拍可使购买费用最少，并求出最少费用． 14．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． (1)用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； (2)求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 15．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 学科网（北京）股份有限公司 $