精品解析：北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试(一模)数学

通州区2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 2026年4月 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线 与 交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 2025年我国新能源汽车产销量再创新高．据统计，截至2025年底，全国新能源汽车保有量突破4300万辆．若每辆新能源汽车平均每年可减少碳排放量约1.2吨，则全国新能源汽车一年减少的碳排放总量约为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 5. 实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子中装有 个红色小球， 个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线 交于点D，连接 并延长交于点E，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线 分别交x轴，y轴于C，D两点，连结分别交x轴，y轴于点E，F，连结 ．给出下面四个结论： ①若于点M，则； ②可能是等腰直角三角形； ③与面积相等； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ②③ 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：_________． 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 13. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接 ．若，则的度数为_______． 14. 某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 15. 如图，在矩形中， 平分交 于点E，连结，点F为的中点，连接，若，，则的长为______． 16. 某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 三、解答题（本题共68分，第17—19题每题5分；第20题6分；第21—23题每题5分；第24—26题每题6分；第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，点 ，点 分别是 ， 的中点，延长到点 ，使，连接，， ， ， 与交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，，求的长． 21. 北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制 幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为 ；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 22. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数 的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 （1）表中______，______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“ ”或“ ”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 24. 如图，已知 为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接 ， ，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． （1）求证：为圆O的切线； （2）连接 并延长交 于F，若半圆O的直径为10，，求 的长． 25. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系： ，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（ ）； A.匀速变化 B.先快后慢 C.先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为 克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． （3）当 时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当， 时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 27. 已知线段 ，将线段 绕点A逆时针旋转得到线段 ，将线段所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线，其中 ．在射线上取一点C，连结 ，作交线段 于点G． （1）如图1，当时，求证：平分 ； （2）如图2，当时，如图，在 上取一点F，使，连结 交于点M．用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． （1）已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； （2）如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 2026年4月 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 如图，直线 与 交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 3. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：由关于x的方程有两个相等的实数根，可知：， ∴． 4. 2025年我国新能源汽车产销量再创新高．据统计，截至2025年底，全国新能源汽车保有量突破4300万辆．若每辆新能源汽车平均每年可减少碳排放量约1.2吨，则全国新能源汽车一年减少的碳排放总量约为（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】B 【解析】 【分析】先将4300万改写为科学记数法形式，再计算全国新能源汽车一年减少的碳排放总量即可得到答案； 【详解】解：∵ 4300万， ∴全国新能源汽车一年减少的碳排放总量为： （吨）． 5. 实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数轴上的对应点的位置，得出 的取值范围，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， 故选：D ． 6. 在一个不透明的袋子中装有 个红色小球， 个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过列举所有等可能结果，再根据概率公式计算目标事件的概率即可. 【详解】解：根据题意，列举所有等可能结果： 所有等可能结果为：(红，红)，(红，绿)，(绿，红)，(绿，绿)，共 种， ∵其中两次都摸到红色小球的结果有 种， ∴两次都摸到红色小球的概率 . 7. 如图， 内接于，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线 交于点D，连接 并延长交于点E，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得垂直平分 ，则，即可得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得垂直平分 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线 分别交x轴，y轴于C，D两点，连结分别交x轴，y轴于点E，F，连结 ．给出下面四个结论： ①若于点M，则； ②可能是等腰直角三角形； ③与面积相等； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】设点，构建一次函数求出坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断③．判断出不一定是等边三角形，故结论①不一定成立．根据，构建方程求出 即可判断②．如图，作交于，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可判断④． 【详解】解：①设点， 设直线 的解析式为， 则， 解得：， 则直线 的解析式为， 令，则， 令，则，解得：， ， ， ∴与 的面积相等，故③正确； 当是等腰直角三角形时，， 即， ∴， 该式可以成立（如，此时），故可以是等腰直角三角形，②正确． ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴ 是 的中点， ， ， ∴， ， ， ， 不一定等于， 即不一定是等边三角形， 不一定是 ， 不一定是，故①错误； 如图，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论是②③④． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求解反比例函数解析式． 先将点代入反比例函数解析式求出 ，得到反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴ ， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 13. “抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接 ．若，则的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 14. 某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】1900 【解析】 【分析】先计算抽取样本的总户数和样本的生活垃圾总量，再利用样本估计总体计算该小区的生活垃圾总量； 【详解】解：抽取样本的总户数为（户）， 样本中住户当日生活垃圾总量为， 估计该小区1000个住户当日生活垃圾总量为：． 15. 如图，在矩形中， 平分交 于点E，连结，点F为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由于 平分可得出为等腰直角三角形则可算出 ，用勾股定理算出，利用直角三角形斜边上中线的性质可得的长． 【详解】解：∵矩形， ∴， 平分， ， 为等腰直角三角形， ∴， 矩形对边相等， ，， ， 在中， ， 为的中点且为直角三角形， ． 16. 某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 【答案】 ①. 丁 ②. 40 【解析】 【分析】（1）5个任务分给四款软件，每款至少1个任务，因此仅1款软件分配2个任务，其余各分配1个任务，分别计算四种情况的总效率分，比较得最大值对应的软件； （2）将6个任务按不同分拆方式分配给软件，计算每种分拆的总效率分，比较得到最大值． 【详解】解：（1）根据题意，个任务分配给四款软件，每款软件至少处理1个任务， 只有一款软件分配 个任务，其余三款各分配 个任务， 若甲分配 个任务，总效率分为：； 若乙分配 个任务，总效率分为：； 若丙分配 个任务，总效率分为：； 若丁分配 个任务，总效率分为：； ， 为了使总效率分最大，应向丁分配 个任务； （2）分配 个任务给其中一款软件或多款软件，枚举所有可能： 个任务均分配给其中一款软件：全部分配给丁，总效率分最大，最大总效率分是分； 个任务分配给其中两款软件：甲 丁 或甲 丁 或甲丁最大，最大总效率分为均为分； 个任务分配给其中三款软件：甲 丙丁 最大，最大总效率分为分； 个任务分配给四款软件：甲 乙 丙 丁 最大，最大总效率分为分； 综上，甲分配1个任务，丙分配个任务，丁分配 个任务，可获得的总效率分最大，最大总效率分为 分． 三、解答题（本题共68分，第17—19题每题5分；第20题6分；第21—23题每题5分；第24—26题每题6分；第27—28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解，化为最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在中，，点 ，点 分别是 ， 的中点，延长到点 ，使，连接，， ， ， 与交于点 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点 ，点 分别是 ， 的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，进而证明，，则可证明四边形是平行四边形； （2）先利用勾股定理求出 ，再由平行四边形的性质求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴在中，， ∵点 是 的中点， ， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴在中，， ∴． 21. 北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制 幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为 ；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【解析】 【分析】先表示出图 中小长方形的宽和长，再根据图中小正方形的边长列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图 中小长方形的宽为，长为． 横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为 ， 设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为． 根据题意，得：， 解得 ， ． 答：小正方形的边长为． 22. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数 的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 当 时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 23. 根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 （1）表中______，______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“ ”或“ ”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】（1） ， （2） （3） 解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差与稳定性之间的关系，读懂折线统计图是解题的关键． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，即可判断； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴ ； ， 故答案为：9.1，9.1； 【小问2详解】 解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 略 24. 如图，已知 为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接 ， ，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． （1）求证：为圆O的切线； （2）连接 并延长交 于F，若半圆O的直径为10，，求 的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据 是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作 于M，如图2，根据垂径定理和，求出 ，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作 于M，如图2， ∵半圆O的直径为10， 为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得： ， ∴ ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 25. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系： ，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． （1）写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（ ）； A.匀速变化 B.先快后慢 C.先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． （3）当 时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 【答案】（1） ，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； （2） C； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【小问1详解】 解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加 分钟时，剩余质量减少 克， ； （克）与时间（分钟）的函数图象略 【小问2详解】 解： 观察图象可知，在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时， （克）； （克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景下发挥作用的时间更长． 【小问3详解】 解：将点和代入 中得， ，解得， ； 设与的函数关系式为 ， 将点和代入得， ，解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当 分钟时，取最大值，最大值为 克， 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当， 时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；② 或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①代入数据，求得点，，利用两点之间的距离公式求解即可； ②根据题意构造新函数，画出草图，根据二次函数的图象和性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线：经过原点和点， ∴分别代入得：，， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，抛物线：，抛物线：， ∵过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N， ∴当 时，对于抛物线：，对于抛物线：， ∴点，， ∴； ②∵点， ∴点，点， ∴构造新函数：， 当 时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图， 的长随的长的增大而增大，符合题意． 当 时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图， 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则 ，，解得； 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则； 综上， 或或． 27. 已知线段 ，将线段 绕点A逆时针旋转得到线段 ，将线段所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线，其中 ．在射线上取一点C，连结 ，作交线段 于点G． （1）如图1，当时，求证：平分 ； （2）如图2，当时，如图，在 上取一点F，使，连结 交于点M．用等式表示线段 和 之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵将所在的射线绕点B顺时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ 中，， ∵， ∴， ∵将线段 绕点A逆时针旋转得到线段 ， ∴，， ∴中，， ∴， ∴平分 ． （2）证明：延长 到N，使，连接，如图2， 则， ∵， ∴， ∵线段 绕点A逆时针旋转得到线段 ， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质和，得出，则，根据旋转得，则，即可得，即平分 ． （2）延长 到N，使，连接，如图2，则，结合，得出，根据旋转得，证明，得出，，证明，根据平行线分线段成比例得出，结合，得出，则，即可证出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． （1）已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； （2）如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）①或；②或0 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意得到，取点，分两种情况，连接 ，求出，利用勾股定理得到，进而求解即可； ②如图，点B的坐标为，点E在上，由等边三角形得到，，然后根据“平等关系”的定义得到 是等边三角形，证明出，得到，进而求解即可； （2）首先得到是等边三角形，，求出轴，，在右侧作等边，证明出，得到，然后根据三角形三边关系分别求出最小值和最大值即可． 【小问1详解】 解：①∵点A，点B，点O具有“平等关系”， ∴ ∴是等边三角形 如图，取点，当点B在x轴上方时，连接 ∵ ∴ ∴ ∴点B的坐标为 当点B在x轴下方时，同理可得，点B的坐标为 综上所述，点B的坐标为或； ②如图，点B的坐标为，点E在上， ∵是等边三角形 ∴， ∵半径为1的与点，点具有“平等关系”， ∴上存在一点E，直线上存在一点C，满足 ∴ 是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点B的坐标为 ∴轴 ∴点C的坐标为或 ∴或0； 【小问2详解】 解：∵线段与这两个同心圆具有“平等关系”， ∴线段上存在一点M，半径为1的上存在一点H，半径为r的上存在一点N，满足 ∴是等边三角形 ∴ ∵，， ∴轴， ∴线段与半径为1的的最短距离为点和之间的距离 如图，在右侧作等边，当点M坐标为时， ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点N在线段上时，取得最小值1，即r的最小值为1； 如图，在右侧作等边，当点M和点F重合时，   ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点I在线段上时，取得最大值，即r的最大值为； 综上所述，r的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $