精品解析：2025年北京市通州区中考数学一模试题

通州区2025年初中学业水平模拟考试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2、请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答， 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览于2024年6月27日至10月13日在北京大运河博物馆举办．展览期间共接待游客153万余人次，客流高峰期间更是创下了单日接待客流量近3万人次．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 2. 数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，数轴上的点表示实数，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴、利用数轴比较大小、利用数轴判断式子的正负性等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 由图可知，，结合有理数的加减法、有理数的乘法及绝对值的几何意义解题． 【详解】根据题意得， ，，，故选项A、B、C均错误； ，故D正确， 故选：D． 4. 如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等，首先根据垂直的定义可知，根据对顶角相等可得，再根据角的和与差可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：D． 5. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是（ ） A. 16 B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程（为常数，），当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根得出，求解即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 6. 北京城市副中心绿心公园步行道上有“二十四节气”，每个节气都有独特的设计和标识，在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡，恰好是“立春”的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，进行计算即可得出答案，熟练掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键． 【详解】解：在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立春”的可能性为， 故选：B． 7. 下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 8. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的度数（ ） A. 随着增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 不变 D. 随着的增大，先增大后减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是定值，不变 故选：C． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，对于分式，要使其有意义，它的分母不等于零，解不等式即可得到答案．熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：如果代数式有意义，则， ， 故答案为：． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 故答案为：． 11. 方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是， 故答案为：． 12. 如图，，都是的切线，切点分别为，若，那么的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，四边形的内角，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 由，都是的切线，可知，，再由四边形的内角和即可解答． 【详解】解：∵，都是的切线， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 点都在反比例函数的图象上，如果，那么的值是_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． 14. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 10 30 23 20 15 2 根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为_____名． 【答案】370 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体．用学生总数乘以样本中家务劳动时长不小于3小时的学生所占比例即可得出答案． 【详解】解：， 即这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数约为370名． 故答案为：370． 15. 小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质和勾股定理是解题的关键；根据全等三角形的性质可得， ，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， ， ， 正方形的面积为25， ， 设，则， ， ， 解得：（舍）， ， ， ， 故答案为：7． 16. 某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A （1）则丁同学的得分是 ； （2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】（1）3 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【小问1详解】 解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、特殊角三角函数值、绝对值、二次根式的性质化简，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组，求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 这个不等式组的解集是． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先把分式进行化简，再利用整体代入求值即可． 【详解】解： ∵ ， 原式 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，中位线的性质． （1）由，得，再结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）先根据直角三角形的性质得，再解直角三角形得，由勾股定理得，证明是的中位线，由，即可得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：是的中点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ． 21. 某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】（1），点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质． （1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标； （2）在同一坐标系中，作出和的图象，根据图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过和两点， ， 解得， 该一次函数的表达式为， 令，得， ； 【小问2详解】 解：在同一坐标系中，作出和的图象如下； 结合图象可得， ∵当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1， ∴． 23. 2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，： b．八年级成绩在这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 77 81.5 八年级 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）； （3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____； （4）估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分． 【答案】（1）78.5 （2）七年级赋予等级的学生更多 （3）八；该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 （4）该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为78分 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． （1）根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，继而依据中位数的定义求解即可； （2）根据两个年级的平均数和中位数判断即可； （3）根据两个年级的中位数判断即可； （4）根据样本估计总体思想和加权平均数计算即可． 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、， 所以八年级的中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：因为七年级的平均数为，中位数为，可判断七年级赋予等级的学生至少有人， 根据频数分布直方图得八年级赋予等级的人数为（人）， 所以在本次抽取的学生中七年级赋予等级的学生更多， 故答案为：七； 【小问3详解】 在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前，理由是： ∵该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， ∴知识问答成绩为80分的学生，在八年级排名更靠前， 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数 【小问4详解】 解：估计七年级名学生成绩的平均数为分，八年级名学生成绩的平均数为分， 所以估计校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分为：（分）． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）证明和，得到，即可得到结论； （2）证明，得到，设，得到，则，由即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ， ． ∵， ． ， ． 【小问2详解】 解：如图， ∵， ， ， 设， ∵是直径， ， ∵， 于点， ， 是的中位线， ， ， ∵是的切线， ， ， ∵， ， ∴半径的长为3． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）①见解析；② （2）①5.0；②22.5 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）①描点并连线即可；②利用待定系数法解答即可； （2）①根据图象，计算当时对应两函数值之差即可；②根据图象，当时对应x的值即为所求． 【小问1详解】 解：①描点并连线如图所示： ②∵与x之间的函数图象是一条直线， ∴与x之间是一次函数的关系， 设与x之间的函数表达式是（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式是； 【小问2详解】 解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为克， 故答案为：5.0； ②随着实验的进行，当时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟． 故答案为：22.5． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． （1）对于，有，求该抛物线的顶点坐标； （2）对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 27. 以为斜边在它的同侧分别作和，其中，交于点． （1）如图1，当平分时，求证：； （2）如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由角平分线的性质得到，由得到，即可证明结论； （2）①按照题意补全图形；②连接、．证明，得到，由及得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图1，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①依据题意补全图形； ②证明：如图3，连接、． ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 是的中点． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定是关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； （2）如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将绕点旋转，得到半径为1和，其中，，通过计算判断是否在或上，即可得出结论；②根据“赋能点”的定义可得直线与或有交点，再根据直线与、的位置关系讨论即可求解； （2）将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，根据“赋能点”的定义可得线段与或有交点，再根据线段与、的位置关系讨论即可求解． 【小问1详解】 解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， ，， 点在上，点在上， 点是的“赋能点”， ，， 点不在上，也不在上， 点不是的“赋能点”， 综上所述，的“赋能点”是． 故答案为：． ②直线与轴交于点，与轴交于点， ， ， 直线上存在点，使点为的“赋能点”， 直线与或有交点， 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 连接、，则有， ， 又， ， ， ， ， 点在直线上， ， ； 当直线与相切于点，与直线交于点，如图， 同理可得，， 点在直线上， ， ； 的取值范围为． 【小问2详解】 解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，， 线段上存在点，使点为的“赋能点”， 线段与或有交点， 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 当线段与只有点一个交点，此时， ， 解得：，； 结合图象得，的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义、旋转的性质、解直角三角形、直线与圆的位置关系、一次函数的性质，理解“赋能点”的定义是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通州区2025年初中学业水平模拟考试 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2、请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答， 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览于2024年6月27日至10月13日在北京大运河博物馆举办．展览期间共接待游客153万余人次，客流高峰期间更是创下了单日接待客流量近3万人次．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点表示实数，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线、交于点，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的值是（ ） A. 16 B. 4 C. D. 1 6. 北京城市副中心绿心公园步行道上有“二十四节气”，每个节气都有独特的设计和标识，在一个不透明的盒子中放了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立春”，3张“立夏”，1张“立秋”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡，恰好是“立春”的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作交的延长线于点，连接，那么的度数（ ） A. 随着的增大而增大 B. 随着的增大而减小 C. 不变 D. 随着的增大，先增大后减小 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是_____． 10. 分解因式：_____． 11. 方程的解为_____． 12. 如图，，都是的切线，切点分别为，若，那么的度数是_____． 13. 点都在反比例函数图象上，如果，那么的值是_____． 14. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将劳动教育纳入学生综合素质评价体系，“五育”并举，全面育人．某中学共有1000名学生，为了解这1000名学生每周参加家务劳动的时长情况，从中随机抽取了100名学生进行访问，统计了他们的家务劳动时长（单位：小时），数据整理如下： 家务劳动时长 学生人数 10 30 23 20 15 2 根据以上数据，估计这1000名学生中家务劳动时长不小于3小时的学生的人数为_____名． 15. 小云在学习了勾股定理后，尝试制作了四个全等直角三角形纸板，并拼出一个新图形如图所示，其中四边形是正方形．如果，四边形的面积为25，那么的长为_____． 16. 某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A （1）则丁同学的得分是 ； （2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 三、解答题（本题共68分，第17、18、19、22、23、25题每小题5分，第20、21、24、26题每小题6分，第27、28题每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 21. 某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数图象经过和两点，与轴交于点． （1）求这个一次函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 23. 2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》．某校组织七、八年级学生开展关于“北京中轴线”研学活动，其中八年级有200名学生，七年级有300名学生，两个年级所有学生都参加了有关“北京中轴线”知识问答，为了解两个年级学生的答题情况，进行了抽样调查，从七、八年级各随机抽取20名学生，对他们本次知识问答的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，： b．八年级成绩在这一组的是：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 七年级 77 81.5 八年级 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中的值； （2）两个年级分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本年级的平均分就可以赋予等级，判断在本次抽取的学生中_____年级赋予等级的学生更多（填“七”或“八”）； （3）在随机抽样的学生中，知识问答成绩为80分的学生，在_____年级排名更靠前，理由是_____； （4）估计该校七、八年级所有学生本次知识问答的平均分． 24. 如图，是外接圆，是的直径，点是的中点，连接，分别与交于点． （1）求证：； （2）过点作的切线交的延长线于点．若，求半径的长． 25. 在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． （1）对于，有，求该抛物线的顶点坐标； （2）对于任意实数，若，都有，求的值． 27. 以为斜边在它同侧分别作和，其中，交于点． （1）如图1，当平分时，求证：； （2）如图2，在上取一点，使得，连接，过点作，分别交、于点、点． ①依据题意补全图形； ②求证：是的中点． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点中，的“赋能点”是_____； ②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围； （2）如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$