专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根（含隐零点替换）5大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根 （含隐零点替换）5大题型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 零点存在性及讨论零点个数 题型02 由零点个数求参数范围 题型03 方程的根 题型04 图象交点 题型05 隐零点替换设而不求 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：零点存在性及讨论零点个数 能利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在定理，判断函数在给定区间上零点的存在性及零点个数 压轴高频考点，常出现在解答题后两问，易错点在于忽略定义域、单调区间不连续或端点值符号判断错误 02：由零点个数求参数范围 能根据函数零点个数（如1个、2个、无零点等），通过分析函数图象趋势、极值与边界值，建立关于参数的不等式或方程，求出参数范围 导数综合压轴常见题型，考查数形结合与分类讨论，易错点在于漏掉临界情形或对参数讨论不完整 03：方程的根 能将方程根的问题转化为函数零点问题，利用导数分析函数单调性、极值与端点值，判断根的个数或根据根的情况求参数范围 与题型01、02本质相同，侧重方程表达形式，常结合代数变形，易错点在于转化过程中定义域的变化 04：图象交点 能利用导数分析两个函数图象的单调性、极值、渐近线及交点个数，或将交点问题转化为零点问题，求参数范围 常以小题或解答题形式出现，核心是数形结合，易错点在于忽略渐近线或特殊点处的函数值比较 05：隐零点替换设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值、最值或不等式证明问题 高端解题技巧，导数压轴题常用，考查代数整体代换与设而不求的思想，易错点在于隐零点范围确定及代换方向 知识点1. 核心思想：将方程根的问题转化为函数零点问题 原理：方程 的根 ⇔ 函数 的零点 ⇔ 函数 图像与 轴交点的横坐标。 一般步骤： 0. 构造函数 （通常将方程移项，令一边为0）。 0. 研究 的单调性、极值、最值、端点值/极限值。 0. 根据零点存在性定理及单调性，判断零点个数或位置。 知识点2. 零点存在性定理 内容：若 在 连续，且 ，则 内至少有一个零点。 注意：定理只保证存在，不保证唯一；唯一性需结合单调性。 知识点3. 利用导数确定零点个数的逻辑链 第1步：求导 ，确定 的单调区间。 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）。 第3步：对每个单调区间： 若区间两端点函数值异号 → 有且仅有一个零点。 若同号且非零 → 无零点。 若端点值为0 → 该端点为零点（注意边界是否包含）。 知识点4. 含参函数零点个数讨论（参数分离法 vs 直接讨论） 参数分离（优先考虑）： 将方程变形为 ，则原方程根的个数 ⇔ 水平线 与 图像交点个数。 研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图。 直接讨论（参数不易分离时）： 对参数分类，分析 的极值符号及区间端点符号。 知识点5. 隐零点替换（设而不求） 适用场景：导数 是超越方程，无法显式解出零点 。 操作步骤： 0. 设隐零点 满足 。 0. 利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等）。 0. 将 中的超越部分替换为代数式，从而判断 的符号。 核心技巧：整体代换，避免解出 的具体值。 知识点6. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 知识点7. 零点偏移与极值点偏移（高阶） 极值点偏移：若 ，且 ，则 （左偏或右偏）。 处理方法： 构造对称函数 ，研究其符号。 或利用对数平均不等式（指对混合型）。 与零点关系：极值点偏移问题本质是方程 的两个根的不等关系。 知识点8. 找“零点区间”的常用技巧 试探特殊点： 等，尤其当函数含 或 时。 放缩法：利用 ， 等放缩，证明端点值符号。 极限分析：， 时的行为（如 ， 等）。 题型一 零点存在性及讨论零点个数 解｜题｜技｜巧 先求函数定义域，再求导分析单调区间与极值。利用零点存在定理：若函数在区间端点异号且单调，则存在唯一零点。对于含参函数，需根据参数变化分类讨论极值点与区间端点函数值的符号，从而确定零点个数。常见思路：① 绘制导函数符号表，确定原函数图象走势；② 结合极限（如 、 或间断点附近）判断边界值；③ 极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 【典例2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 【变式1】（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【变式2】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 【变式3】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 题型二 由零点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期中）已知， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 【典例2】（24-25高二下·福建泉州·期中）已知， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 【变式3】（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围． 题型三 方程的根 解｜题｜技｜巧 方程 的根即函数 的零点。方法同题型01，但有时可将方程变形为 ，转化为两个函数图象的交点。注意根的个数、重根、以及根的范围估计。对于高次、指对混合方程，常需借助导数研究单调性，再结合特殊点函数值符号判断。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【变式3】（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 题型四 图象交点 解｜题｜技｜巧 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。常用技巧：① 作差后按零点问题处理；② 若两函数易于分离，分别作图，利用平移、旋转等几何直观，临界状态通常为相切（导数相等且函数值相等）。求参数范围时，可通过联立方程组消元后转化为一元方程根的分布。 【典例1】（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【典例2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【变式1】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·河北承德·月考）函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围. 题型五 隐零点替换设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例1】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【典例2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 【变式1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高二下·河南·期中）设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 4．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 5．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若函数，当时，函数有极值． (1)求的值. (2)方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 期中综合拓展练（测试时间：60分钟） 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 7．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)讨论函数的零点个数． 8．（24-25高二下·江西景德镇·期末）设函数． (1)证明：当时，在区间内存在唯一极小值点； (2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围． 9．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)讨论方程的根的个数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 利用导数研究函数的零点与方程的根 （含隐零点替换）5大题型（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 零点存在性及讨论零点个数 题型02 由零点个数求参数范围 题型03 方程的根 题型04 图象交点 题型05 隐零点替换设而不求 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：零点存在性及讨论零点个数 能利用导数研究函数的单调性、极值与最值，结合零点存在定理，判断函数在给定区间上零点的存在性及零点个数 压轴高频考点，常出现在解答题后两问，易错点在于忽略定义域、单调区间不连续或端点值符号判断错误 02：由零点个数求参数范围 能根据函数零点个数（如1个、2个、无零点等），通过分析函数图象趋势、极值与边界值，建立关于参数的不等式或方程，求出参数范围 导数综合压轴常见题型，考查数形结合与分类讨论，易错点在于漏掉临界情形或对参数讨论不完整 03：方程的根 能将方程根的问题转化为函数零点问题，利用导数分析函数单调性、极值与端点值，判断根的个数或根据根的情况求参数范围 与题型01、02本质相同，侧重方程表达形式，常结合代数变形，易错点在于转化过程中定义域的变化 04：图象交点 能利用导数分析两个函数图象的单调性、极值、渐近线及交点个数，或将交点问题转化为零点问题，求参数范围 常以小题或解答题形式出现，核心是数形结合，易错点在于忽略渐近线或特殊点处的函数值比较 05：隐零点替换设而不求 能在导数零点无法显式表达时，设出隐零点，利用零点满足的方程进行化简、代换，解决极值、最值或不等式证明问题 高端解题技巧，导数压轴题常用，考查代数整体代换与设而不求的思想，易错点在于隐零点范围确定及代换方向 知识点1. 核心思想：将方程根的问题转化为函数零点问题 原理：方程 的根 ⇔ 函数 的零点 ⇔ 函数 图像与 轴交点的横坐标。 一般步骤： 0. 构造函数 （通常将方程移项，令一边为0）。 0. 研究 的单调性、极值、最值、端点值/极限值。 0. 根据零点存在性定理及单调性，判断零点个数或位置。 知识点2. 零点存在性定理 内容：若 在 连续，且 ，则 内至少有一个零点。 注意：定理只保证存在，不保证唯一；唯一性需结合单调性。 知识点3. 利用导数确定零点个数的逻辑链 第1步：求导 ，确定 的单调区间。 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）。 第3步：对每个单调区间： 若区间两端点函数值异号 → 有且仅有一个零点。 若同号且非零 → 无零点。 若端点值为0 → 该端点为零点（注意边界是否包含）。 知识点4. 含参函数零点个数讨论（参数分离法 vs 直接讨论） 参数分离（优先考虑）： 将方程变形为 ，则原方程根的个数 ⇔ 水平线 与 图像交点个数。 研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图。 直接讨论（参数不易分离时）： 对参数分类，分析 的极值符号及区间端点符号。 知识点5. 隐零点替换（设而不求） 适用场景：导数 是超越方程，无法显式解出零点 。 操作步骤： 0. 设隐零点 满足 。 0. 利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等）。 0. 将 中的超越部分替换为代数式，从而判断 的符号。 核心技巧：整体代换，避免解出 的具体值。 知识点6. 常见隐零点模型与代换公式 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 知识点7. 零点偏移与极值点偏移（高阶） 极值点偏移：若 ，且 ，则 （左偏或右偏）。 处理方法： 构造对称函数 ，研究其符号。 或利用对数平均不等式（指对混合型）。 与零点关系：极值点偏移问题本质是方程 的两个根的不等关系。 知识点8. 找“零点区间”的常用技巧 试探特殊点： 等，尤其当函数含 或 时。 放缩法：利用 ， 等放缩，证明端点值符号。 极限分析：， 时的行为（如 ， 等）。 题型一 零点存在性及讨论零点个数 解｜题｜技｜巧 先求函数定义域，再求导分析单调区间与极值。利用零点存在定理：若函数在区间端点异号且单调，则存在唯一零点。对于含参函数，需根据参数变化分类讨论极值点与区间端点函数值的符号，从而确定零点个数。常见思路：① 绘制导函数符号表，确定原函数图象走势；② 结合极限（如 、 或间断点附近）判断边界值；③ 极值点处函数值为零时可能为重根。 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)函数在区间上存在零点，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据切线确定切点，再由切点在函数图象上求参数值； （2）对函数求导，研究函数在区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间即可求参数值. 【详解】（1）因为曲线在处的切线方程为，所以切点为， 所以，得； （2）由（1）得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值，又， 所以在区间上存在一个零点，此时， 因为，， 所以在区间上存在一个零点，此时， 综上，或． 【典例2】（24-25高二下·北京海淀·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，，使得； (3)当时，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【分析】（1）利用导数几何意义可求在点处的切线方程； （2）求导分析函数单调性，发现函数在单调递增，由即可证明； （3）根据（2）函数的单调性确定函数的最小值，再整理分析函数的最小值的正负即可确定函数零点个数. 【详解】（1）当，，则， ， 即曲线在点处的切线方程为. （2）证明：当时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 即当时，，使得， （3）由（2）知， 令，则， 即，， 所以，， 令，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，又， 所以的解为，的解为， 即当时，，此时函数有2个零点， 当时，，此时函数有1个零点， 当时，，此时函数无零点. 【变式1】（24-25高二下·河南洛阳·期中）已知函数，． (1)当时，函数的最小值为，求实数a的值； (2)当时，试确定函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)1个零点，理由见解析 【分析】（1）对函数求导，由，按照的取值分类讨论函数在该区间上的单调性，从而得到最值，计算验证即得的值； （2）由，得方程，显然为此方程的一个实数解．当时，方程可化简为．构造函数，利用导数得到的最小值即可求解. 【详解】（1）由求导得：，因， 当，即时，，则函数在上单调递减， 故，显然不符合题意； 当，即时，，则函数在上单调递增， 故，显然不符合题意； 当，即时，由可得， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 故，由，可得，符合题意. 故实数a的值为. （2）由，可得， 显然是该方程的一个实数解，故是函数的一个零点； 当时，方程可化简为，设函数，则， 由可得，当时，，则函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故函数的最小值为， 即对任意的，恒成立，故方程无实数解，即时，函数不存在零点. 综上，函数有且只有1个零点. 【变式2】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)若有解，求的取值范围． (3)，讨论零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）先判断函数的定义域，在求出的导数，进而对参数进行分类讨论求解单调性即可. （2）利用分离参数法并构造新函数转化为，进而求解参数范围即可. （3）对原函数进行同构，转化为交点问题，进而讨论交点个数，最后讨论零点个数即可. 【详解】（1）由题意得，的定义域为， 因为，所以， 则， 当时，，令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 令，则，解得或， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，解得，得到， 故此时在上单调递增， 当时，解得，令，， 令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）若有解，则有解， 故有解，即有解，则有解即可， 令，则即可，而， 令，，令，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，则. （3）因为， 所以， 令，则，故， 令，则，而， 故在上单调递增，故，即， 若讨论的零点个数， 我们讨论和的交点个数即可， 而，令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 得到的极大值为， 当时，，当时，， 则当或时，和有个交点， 当时，和有个交点， 当时，和没有交点， 综上，则当或时，有个零点， 当时，有个零点， 当时，没有零点. 【变式3】（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 题型二 由零点个数求参数范围 解｜题｜技｜巧 将零点个数问题转化为函数图象与 轴交点个数问题。先研究函数不含参时的单调性与极值，再将参数视为影响函数上下平移或形状的因子。常用方法：① 分离参数，化为 ，则原函数零点个数等于直线 与曲线 的交点个数，通过分析 的值域与单调区间确定参数范围；② 直接构造函数，利用导数分析极值符号，通过极值等于零或与零比较列出不等式组。 【典例1】（24-25高二下·福建泉州·期中）已知， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意可知对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域内的单调性，结合题意进行验证，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为. （2）因为，则对任意的恒成立， 参变分离得对任意的恒成立， 令，其中，则， 因为函数在区间上为增函数，此时， 即对任意的恒成立， 所以函数在上为减函数，故， 故实数的取值范围是. （3）因为，可得，解得， 即函数的定义域为，且， ， 令，其中，则， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极大值为， 极小值为，且当时， （i）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递减，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （ii）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （iii）当时，由图可知，存在、且， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，递增区间为， 因为函数在区间、内各有一个零点， 所以，，所以，，即， 当时，；当时，， 此时，函数在区间和上各有一个零点，合乎题意； （iv）当时，在区间上只有一个零点，不合乎题意； （v）当时，则存在、且， 当或时，；当时，. 此时，函数的增区间为、，减区间为， 因为，所以，函数在区间上单调递减， 故当时，，此时函数在区间上无零点，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【典例2】（24-25高二下·福建泉州·期中）已知， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若在区间和内各恰有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由题意可知对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域内的单调性，结合题意进行验证，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为. （2）因为，则对任意的恒成立， 参变分离得对任意的恒成立， 令，其中，则， 因为函数在区间上为增函数，此时， 即对任意的恒成立， 所以函数在上为减函数，故， 故实数的取值范围是. （3）因为，可得，解得， 即函数的定义域为，且， ， 令，其中，则， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的极大值为， 极小值为，且当时， （i）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递减，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （ii）当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则函数在只有一个零点，不合乎题意； （iii）当时，由图可知，存在、且， 当或时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，递增区间为， 因为函数在区间、内各有一个零点， 所以，，所以，，即， 当时，；当时，， 此时，函数在区间和上各有一个零点，合乎题意； （iv）当时，在区间上只有一个零点，不合乎题意； （v）当时，则存在、且， 当或时，；当时，. 此时，函数的增区间为、，减区间为， 因为，所以，函数在区间上单调递减， 故当时，，此时函数在区间上无零点，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【答案】(1)最大值为，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； （2）∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； （3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后令，再对函数求导，即可判断单调性； （2）参变分离得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【详解】（1）若，则，则，， 令，则， 因为，则，所以，即函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 所以在上单调递增. （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，，的取值范围是. 【变式3】（24-25高二下·浙江台州·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）分、两种情况讨论，求出函数的定义域，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）令可得，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，故，． 所以当时，曲线在点处的切线方程． （2）因为，则， 当，定义域为，此时，故， 此时，函数的减区间为，无增区间； 当，定义域为，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. （3）由题设，，故在有两个不同零点， 所以在有两个不同根， 令，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 题型三 方程的根 解｜题｜技｜巧 方程 的根即函数 的零点。方法同题型01，但有时可将方程变形为 ，转化为两个函数图象的交点。注意根的个数、重根、以及根的范围估计。对于高次、指对混合方程，常需借助导数研究单调性，再结合特殊点函数值符号判断。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于x的方程在区间内有根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是； (2). 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号研究函数的单调区间； （2）问题化为与在上有交点，利用导数研究的值域，即可得参数范围. 【详解】（1）依题意，，， 由，得；由，得， 故函数的单调增区间是，单调减区间是； （2）原方程可化为，即，亦即， 若原方程在有实根，则与在上有交点， 因为，所以在上单调递增，又， 且时，且速度远远快于x，所以，所以， 所以要使与在上有交点，则， 综上，当时，关于x的方程在区间内有实根. 【典例2】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 (1)求函数的奇偶性. (2)求函数的最小值. (3)设函数，若关于的方程有4个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1)偶函数 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可得； （2）由基本不等式可得； （3）求导后分析单调性，结合方程根的个数讨论分析可得. 【详解】（1）显然的定义域为，， ，为偶函数. （2），当且仅当时，取等号， ，所以的最小值为. （3），当时，，则在上单调递增， 又因为是偶函数，所以在上单调递减， 若仅一个实数根，则，                                  方程仅有两个不同的实数根，不合题意.                        所以应有两个不同的实数根， 即：方程和共有四个不同的实数根， 每个方程各有2个不同的实数根，所以，， 则，且，所以. 故的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 【变式2】（24-25高二下·青海西宁·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)分析关于的方程的根的个数并说明理由. 【答案】(1)单调递减为和，单调递增为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，讨论导数符号即可得单调区间； （2）分离参数，结合函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 1 - 0 + 0 - 极小值 极大值 所以在和上单调递减；在上单调递增； （2）原方程等价于， ， 时，，时，， 所以x轴和y轴均为的渐近线， ①当时，方程没有根； ②当时，方程有一个根； ③当时，方程有两个根； ④当时，方程有三个根. 【变式3】（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在 和 上单调递增. (2)实数 的取值范围为 . 【分析】（1）利用导数进行研究即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数研究单调性和极限值进而即得. 【详解】（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 . 设 ，则 ，故 . . 分母（当 )，分子中 恒正. 令 ，则，当 时 ，当 时 ； ，且 ( ). 因此，分子 （ )，故 （ ). 从而 （). 综上， 在 和 上均单调递增. （2）由可得, 因 （)，两边除以 ：, 整理为：，即. 设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根. 求导：，分母 （). 分子中：（当 )；当 ， ，当 ， . 所以，当，；当，；当，. 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取极小值，. 又， ； ， . 综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 . 要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同. 当 时，仅一根 ；当 时，无实根. 故实数 的取值范围为 . 题型四 图象交点 解｜题｜技｜巧 两函数 与 的交点个数等价于 的零点个数。常用技巧：① 作差后按零点问题处理；② 若两函数易于分离，分别作图，利用平移、旋转等几何直观，临界状态通常为相切（导数相等且函数值相等）。求参数范围时，可通过联立方程组消元后转化为一元方程根的分布。 【典例1】（24-25高二下·江西·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若过点可作3条直线与的图象相切，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）首先设切点，再求切线方程，根据切线方程过点，转化为关于的方程有3个实数根，通过构造函数，利用导数分析函数的性质，从而根据函数有3个零点，求参数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 令，得或， 则当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且， 所以的极大值为，极小值为0． （2）设过点的直线与的图象切于点，切线斜率， 则该切线的方程为， 把代入方程并整理得， 由过点可作3条直线与的图象相切， 则关于的方程有3个不同实根， 设， 则， 令，得或， 所以， 所以或且， 所以的取值范围是． 【典例2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【详解】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 【变式1】已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）利用导数求得的极值. （2）由分离，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）时，， 令解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）由分离得， 令， 令， 所以在上单调递减，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减，， 当时，，由此画出的大致图象如下图所示， 要使曲线与曲线有唯一的交点， 则的取值范围是. 【点睛】方法点睛：求解函数极值的步骤： （1）确定的定义域； （2）计算导数； （3）求出的根； （4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间，进而求得的极值. 【变式2】（24-25高二下·河北承德·月考）函数，其图象在点处的切线方程为. (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切点坐标和切线的斜率列方程组，解方程组求得，的值，由此求得函数的解析式.； （2）令两个函数解析式相等并化简，将问题转化为的图象与轴有三个不同的交点，利用导数求出的单调区间和极值，根据极大值大于零和极小值小于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且， 所以，解得，， 所以． （2）由（1）知，可得， ， 则由题意可得有三个不相等的实根， 即的图象与轴有三个不同的交点， ， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 要使的图象与的图象有三个不同交点， 则有：，解得， 所以实数的取值范围为. 题型五 隐零点替换设而不求 解｜题｜技｜巧 当导函数零点无法用初等形式显式解出时，设该零点为 ，满足 。利用该等式进行代换（例如将 或 表示为其他形式），从而简化原函数表达式（如 ）。常用于证明与极值点有关的不等式或求参数的取值范围。操作步骤：① 求导，设隐零点 ；② 由 得到代换关系；③ 将目标式用 表示，并利用代换消去超越项，得到关于 的简单函数；④ 根据 的范围（通过零点存在定理确定大致区间）求值域或证明不等式。 【典例1】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的最小值为，无最大值. (2) 【分析】（1）对求导，令导数为得.根据导数正负判断单调性，时递减，时递增，所以处取最小值，无最大值. （2）由不等式参变分离变形得恒成立，设.借助导数得到最值，进而得到. 【详解】（1）已知，所以. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减. 当时，，，则，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，同时也是最小值. 将代入可得：. 因为当时，，所以函数无最大值. 则的最小值为，无最大值. （2）原不等式等价于 即,在上恒成立， 等价于,在上恒成立， 令 令,则为上的增函数， 又当时, 在存在唯一的零点,即 由 又有在上单调递增， ∴b的取值范围是 【典例2】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)1 【分析】（1）由题可得，据此可得单调性及极值情况； （2）由题可得，令，可得，据此再令，由其单调性及零点存在性定理可得单调性及最值，据此可得答案. 【详解】（1）因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，函数取得极大值，无极小值. （2）因为不等式恒成立， 即恒成立， 由于，则，设， 则， 设，则，所以在上单调递减， 又，， 所以存在，使，即． 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 所以． 又，则，由于恒成立，，且 所以的最小值为1． 【变式1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【详解】（1），因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 【变式2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25高二下·河南·期中）设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】 当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，，当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，，所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数b的取值范围是， 故选：D． 2．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）设函数若函数的图象与直线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，所以函数的大致图象， 如图．    由图可知，当或时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是， 故选：C． 3．（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分析可知原题意等价于在定义域内有两个零点，求导，利用分析单调性和最值，进而分析零点即可. 【详解】令，可得， 构建， 原题意等价于在定义域内有两个零点， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 可知，即， 所以的取值范围为． 故答案为：． 4．（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 【答案】(1)时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性； （2）由导数为零，可找出极值点及单调区间，取并判断符号，根据零点存在定理可得结论. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增，即在上单调递增， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 由（1）知为增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以， 显然，所以， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， 即时，有且只有2个零点． 5．（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若函数，当时，函数有极值． (1)求的值. (2)方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得，，解方程求出即可； （2）利用导数画出的大致图象，令与的图象有三个交点，求出的范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 因为函数有极值，所以，解得， 此时，经检验符合题意， 故. （2）由（1）可知，令，解得或， 当变化时，，的变化情况如表， 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值；当时，有极小值． 则函数的图象如图所示：    由图象知要使关于的方程有三个不等实根，则应满足， 即实数的取值范围是. 期中综合拓展练（测试时间：60分钟） 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案； （2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），， 当，即时，，在上单调递增，没有极值， 当，即时，令，可得，此时函数单调递增， 令，可得，此时函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意， 故a的取值范围为. （2）当时，，， 设， 因为，， 所以在上单调递减， 因为，， 所以在存在唯一零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在上存在唯一极值点，且， 由， ， 令，， 由，；，， 则在上单调递增，在单调递减，即， 故，即，故， 故在和上各有一个零点， 所以时，函数有且仅有两个零点． 7．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数． (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题可得，其中，然后利用导数求得在上的最小值可得答案； （2），注意到时，在上单调递增，然后由零点存在性定理可得零点情况；当时，通过研究函数可得单调性，然后通过讨论与大小关系可判断零点情况. 【详解】（1）由题可得恒成立，因， 则恒成立，即. 令，则. ，. 则在上单调递减，在上单调递增， 则，从而； （2）由题，其中， 则. 当时，恒成立， 在上单调递增. 注意到，，，， 则此时在上只有一个零点； 当时，令，其中， 则， 因，则，则在上单调递减. 注意到，，，则， 使， 则，解得，. 则在上单调递增，在上单调递减. 对于函数， ，则在上单调递减， 其中，故， 若，则， 故，此时， 此时只有一个零点； 当，由得， 由以上分析可得，又在上单调递增， 则， 又，，，，则此时有两个零点； ，由， 由以上分析可得，则， 因，则， ， 令，， 在上单调递增， 注意到，则，则此时没有零点； 综上可得：当或时，只有一个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点 8．（24-25高二下·江西景德镇·期末）设函数． (1)证明：当时，在区间内存在唯一极小值点； (2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）分类讨论，，时，的正负，得出的单调性，即可证明； （2）在上恒成立转化为在上恒成立， 令，分类讨论的范围，结合导数即可求解范围； （3）令，分离参数得，设，求得的值域即可求解的范围． 【详解】（1）证明：当时，，则， ①当时，单调递增， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增，即为的极小值点； ②当时，因为，所以， 所以在单调递增， ③当时，设，则， 因为在单调递增， 所以在单调递增，又，， 所以存在使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，，， 所以存在，使得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 综上所述，当，单调递增， 当，单调递减， 当，单调递增， 所以在区间内存在唯一极小值点． （2）当时，， 所以在上恒成立，转化为在上恒成立， 令，则， 若，则在上恒成立，则在上单调递增， 所以，符合题意； 若，令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，当时，， 所以，使得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． （3）因为，，令，得， 设，则， 令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当，时，，所以在，上单调递增， 当时，取得极小值， 即当时，取得极小值， 又，， 所以，即， 当时，取得极大值， 即当时，取得极大值， 又，， 所以，即， 所以当时，， 所以，又， 所以时，在上存在零点， 故实数． 9．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)讨论方程的根的个数． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可． （2）求出函数的导函数正负进而得出单调性，分，，，数形结合得出交点个数即是方程个数. 【详解】（1）函数的定义域为， 又 当时，在上，，是减函数； 当时，由得：或（舍）， 所以在上，，是减函数， 在上，，是增函数， 当时，在上，是减函数；当时，在上，是减函数，在上，是增函数. （2）的根即是的根，即得的根， 设，与的交点个数即是方程的根的个数， ，令，， 所以单调递增；单调递减； 所以，， 当或，与的交点个数是1个，方程有一个根； 当，与的交点个数是2个，方程有两个根； 当，与的交点个数是0个，方程没有根； 综上，当或，方程有一个根； 当，方程有两个根； 当，方程没有根；    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $