7.4 二项分布与超几何分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 1.二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项式定理,可得 （2）案例(二项分布可以用下例理解下) 小明投篮命中率是那他投次恰好中次的概率是 . 问：他是哪两次中了？ 答：共有可能情况. 问：他每种情况的概率是相等的么？ 答：是的,每次投篮都是独立事件,每种情况都是中2次不中3次,那概率是. 那所求概率. ③ 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 下面对期望进行证明 证明 令由可得 令则 2.超几何分布 ① 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. ② 案例(超几何分布可以用下例理解下) 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解：利用古典概型的公式 那所求概率事件中“”为(个产品抽个,不管有多少个次品),而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽个次品从个次品抽),所以. 这题是超几何分布,“抽个产品有个次品”的可理解为“一次性拿个产品,不放回抽样”的. ③ 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为所以 注：超几何分布的模型是不放回抽样 ④ 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即； 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 考法一 二项分布 角度1.二项分布的期望与方差 【典例1-1】（多选）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，因为，即，可得，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：AD. 【过关检测】 1.设随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题、二项分布的方差 【分析】由对立事件和独立事件的概率公式求出的值，然后利用二项分布的方差公式可求出的值. 【详解】因为随机变量，若， 解得，故. 故选：A. 2.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【详解】设为正面向上的次数，则， 总得分, 由于，， 所以 ，所以D正确. 角度2.二项分布在实际问题中的应用 【典例1-2】高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件， 若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左， ∴理论上，小球落入4号容器的概率. （2）落入4号容器的小球的个数的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 【过关检测】 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． ①；②； ③；④． 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】先记，根据已知条件可得；再根据对称性和二项分布的概率公式可得出X的所有可能取值的概率；最后利用随机变量的均值公式即可求解. 【详解】由题意可知：X的所有可能取值为：1，2，3，4，5， 6；小球在下落过程中共碰撞五次；小球最后落入格子的号码等于小球发生碰撞后向右落下的次数加1. 用表示事件“碰撞后向右落下”，Y表示小球发生碰撞后向右落下的次数. 则，， 由对称性可知：； ； ； 则. 故答案为：②③④ 【典例1-3】重庆实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量． ①求随机变量的概率； ②求的概率分布列以及数学期望． 【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析，. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件，； 因此，该校最终选地理的学生为； （2）①由题意可知，，所以，； ②由于，则， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： ． 【过关检测】 1．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率； （2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望. 【答案】（1）①，②；（2）分布列见解析，. 【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件 ① ②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则， 又且A2，A3互斥， 所以 （2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由（1），， ， ， 所以X的分布列是 X 0 1 2 3 4 P 显然 ，所以的数学期望E(X)=． 2.盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)； (3) Y 2 3 4 5 P ； 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）判断随机变量，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； （3）确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求得期望. 【详解】（1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， 则， 则； （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为​， 因此随机变量， 根据二项分布的期望、方差公式： 得，； （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况， 计算概率得：（前2个均为隐藏款）, （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）, （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款）， （剩余所有情况）， Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望：. 考点二 超几何分布 【典例2】某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)180 (2) 【难度】0.68 【知识点】补全频率分布直方图、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、总体百分位数的估计 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【详解】（1）由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. （2）订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 【过关检测】 1.为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表. （1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？ （2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1）（2）详见解析【解析】（1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4, 由题意可知,. （2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为0,1,2,3,4. 由题意可得； ； ； ； . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的均值. 2.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【难度】0.72 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 考点三 二项分布与超几何分布综合运用 【典例3】五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算. 【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则， 所以两位顾客均享受到免单的概率为； （2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、. ，， ，. 故的分布列为， 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则， 由已知可得，故， 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 【过关检测】 1．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：， ∴，，， ∴X的分布列为： X 1 2 3 P ∴． ， ∴，， ，， ∴Y的分布列为： Y 0 1 2 3 P ∴． （2）， ， ∵， ∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 2．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验： 方法一：一次性随机抽取2件； 方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件. 记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品数为. （1）求两种抽取方式下，的概率分布列； （2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由. 【答案】（1），的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析. 【解析】（1）方法一中随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布， 于是；； ； 因此的频率分布可表示为下表： 0 1 2 方法二中随机变量可取的值为0，1，2，且服从二项分布， 于是；； ； 因此的频率分布可表示为下表： 0 1 2 （2）由（1）知，方法一中的数学期望为， 方法二中的数学期望为， 所以两种方式抽到的不合格品平均数相等. 3.奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 (3),. 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、二项分布的均值、二项分布的方差、超几何分布的分布列 【分析】（1）依题意，运用古典概率公式即可求得其概率； （2）根据题意得到的可能值为0，1，2，3，利用超几何分布概率公式求得相关概率，列出分布列，计算出数学期望即可； （3）由分析可得，随机变量，利用二项分布概率的相关公式即可求得数学期望和方差. 【详解】（1）因这100个脐橙中一级果有40个，则从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率为； （2）按照比例分配的分层随机抽样，所抽取的10个脐橙中，分别是二级果，一级果，特级果的个数依次为3个，4个，3个， 再抽取3个脐橙中特级果的个数的可能值为0，1，2，3， 则；；；. 则X的分布列为： 0 1 2 3 则； （3）依题，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个脐橙，是二级果的个数满足， 于是Y的期望是,Y的方差为. 考点四 随机变量概率最大值 【典例4-1】设随机变量，． (1)求； (2)若，求； (3)当p在变化时，求取得最大值时p的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用二项分布求分布列、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）根据二项分布概率公式求解即可； （2）由二项分布的期望公式结合已知求出p的值，进而代入方差公式计算即可； （3）计算出.设，求导根据函数的单调性得出函数取最大值时p的值. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，，所以． 设，求导得 ． 可知在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 所以当时，取得最大值， 即取得最大值时，p的值为． 【典例4-2】甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 【过关检测】 1.某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【难度】0.63 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 2.聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用二项分布求分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 考点五 独立重复试验的概率问题 【典例5】2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)五局三胜对甲有利，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 【过关检测】 1.漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 【答案】(1) (2)（百元） (3)答案见解析；理由见解析 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）由独立事件的概率公式可求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）根据二项分布的数学期望可求三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）设方案一的人工费开销为，方案二的人工费开销为，由独立事件的概率公式可求它们的分布列，从而可得它们的数学期望，作差后可比较它们的大小. 【详解】（1）设事件为“经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格”， 则. （2）由题设可得经过两道工序，瓷盘合格的概率为， 瓷盘合格的概率为，瓷盘合格的概率为， 设三件瓷盘合格的个数为，则，故， 而， 所以（百元）. （3）设方案一的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， 设方案二的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， ， 当时，，故方案二的人工费开销的数学期望较小； 当时，，故方案一、方案二的人工费开销的数学期望相同； 当时，，故方案一的人工费开销的数学期望较小. 2.在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【难度】0.46 【知识点】二项分布的均值、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 3.现有国际乒联认证的“3星”比赛用球和“2星”训练用球.已知一个球桶中共装有6个乒乓球，其中4个“3星”球，2个“2星”球. (1)现从桶中任取一个球，记录球的星级后放入桶内，连续取球三次，记取到“2星”球的次数为，求的分布列与方差. (2)若从桶中依次取球，每次取一个，取到“3星”球，则放回桶中，取到“2星”球，则不放回桶中，直至将“2星”球全部取出结束取球. ①求第三次取球取到“3星”球的概率； ②记第次取球后结束取球的概率为，求. 【答案】(1) X 0 1 2 3 P ； (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先计算单次取到“2星”球的概率，判断X服从二项分布，再根据二项分布的概率公式计算X取不同值时的概率，得到分布列；利用二项分布的方差公式计算方差； （2）①：第三次取到“3星”球的情况可分为前两次都取到“3星”球、有一次取“2星”球，因为要计算总概率，所以用分类加法计数原理，分别计算每类情况的概率再相加；②：分析第n次取球后结束取球的情况，即前次取到1个“2星”球，第n次取到另一个“2星”球，结合概率的乘法公式以及等比数列求和公式即可求得的表达式. 【详解】（1）由题意可知有放回取球，每次取到取到“2星”球的概率为， 三次取球独立，故，X的取值可能为， ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 的方差为； （2）①由题意知只有前2次取不完2个“2星”球，才会进行第三次取球， 此时分两种情况：当前2次都取到“3星”球（剩余2个“2星”球）， 此时概率为，该情况下第三次取到“3星”球的概率为； 当前2次恰好取到1个“2星”球（剩余1个“2星”球）， 此时概率为，该情况下第三次取到“3星”球的概率为， 故第三次取球取到“3星”球的概率； ②第次取球后结束等价于前次取球恰好取到1个“2星”球， 第n次取到剩下的1个“2星”球，， 设在前次取球中第1个“2星”球是在第k（）次取到， 此时对应的概率为， 则， 设，则， 故， 故， 4.有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出与，利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率； （2）设每组检测次数，则易得，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望； （3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望，若逐一检测，则总成本为，依题意，代值计算即得的取值范围. 【详解】（1）设小组中有酶的人数为X，则． 已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为 ． （2）设每组检测次数，则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； （3）若分组检测，检测次数的期望为． 总成本期望为， 若逐一检测，则总成本为．由节省50%以上得． 代入，，，得， 整理得，因此，，故的取值范围是． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 二项分布与超几何分布 1.二项分布 ① 重伯努利试验 （1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性； （2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验, （3）重伯努利试验具有如下共同特征 第一：同一个伯努利试验重复做次； 第二：各次试验的结果相互独立； ② 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 由二项式定理,可得 （2）案例(二项分布可以用下例理解下) 小明投篮命中率是那他投次恰好中次的概率是 . 问：他是哪两次中了？ 答：共有可能情况. 问：他每种情况的概率是相等的么？ 答：是的,每次投篮都是独立事件,每种情况都是中2次不中3次,那概率是. 那所求概率. ③ 二项分布的期望与方差 一般地,如果那么. 下面对期望进行证明 证明 令由可得 令则 2.超几何分布 ① 概念 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. ② 案例(超几何分布可以用下例理解下) 个产品中有个优品个次品,从个产品中抽出个恰好有个次品的概率是 . 解：利用古典概型的公式 那所求概率事件中“”为(个产品抽个,不管有多少个次品),而“个恰好有个次品”意味着“事件的样本点个数”为(3个优品从个优品抽个次品从个次品抽),所以. 这题是超几何分布,“抽个产品有个次品”的可理解为“一次性拿个产品,不放回抽样”的. ③ 超几何分布的期望 设随机变量服从超几何分布,则. 证明 令有 因为所以 注：超几何分布的模型是不放回抽样 ④ 二项分布与超几何分布的关联 (1) 已知个产品中有个次品,分别采取放回和不放回的方式随机抽取的4件产品,次品数为求随机变量的分布列, 若采取放回的方式,则每次抽到次品的概率为且各次抽样的结果相互独立,则服从二项分布,即； 若采取不放回的方式,虽然每次抽到次品的概率为但每次抽取不是同一个试验,各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布,服从超几何分布. (2) 二项分布和超几何分布都是可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律,并且两者的均值相同,对于不放回抽样,当远远小于时,每抽取一次后,对的影响很小,此时超几何分布可以用二项分布近似. 考法一 二项分布 角度1.二项分布的期望与方差 【典例1-1】（多选）已知随机变量满足，且，且，则（   ） A． B． C． D． 【过关检测】 1.设随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 2.连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（   ） A． B． C． D． 角度2.二项分布在实际问题中的应用 【典例1-2】高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列. 【过关检测】 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是 ． ①；②； ③；④． 【典例1-3】重庆实行的“新高考方案：”模式，其中统考科目：“”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“”指首先在在物理、历史门科目中选择一门；“”指再从思想政治、地理、化学、生物门科目中选择门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量． ①求随机变量的概率； ②求的概率分布列以及数学期望． 【过关检测】 1．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率； （2）求在4次游戏中获奖次数的分布列及数学期望. 2.盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 考点二 超几何分布 【典例2】某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【过关检测】 1.为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表. （1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？ （2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 2.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 考点三 二项分布与超几何分布综合运用 【典例3】五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【过关检测】 1．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大? 2．一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验： 方法一：一次性随机抽取2件； 方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件. 记方法一抽取的不合格产品数为.记方法二抽取的不合格产品数为. （1）求两种抽取方式下，的概率分布列； （2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由. 3.奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个． (1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率； (2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差． 考点四 随机变量概率最大值 【典例4-1】设随机变量，． (1)求； (2)若，求； (3)当p在变化时，求取得最大值时p的值． 【典例4-2】甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【过关检测】 1.某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 2.聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 考点五 独立重复试验的概率问题 【典例5】2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【过关检测】 1.漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 2.在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 3.现有国际乒联认证的“3星”比赛用球和“2星”训练用球.已知一个球桶中共装有6个乒乓球，其中4个“3星”球，2个“2星”球. (1)现从桶中任取一个球，记录球的星级后放入桶内，连续取球三次，记取到“2星”球的次数为，求的分布列与方差. (2)若从桶中依次取球，每次取一个，取到“3星”球，则放回桶中，取到“2星”球，则不放回桶中，直至将“2星”球全部取出结束取球. ①求第三次取球取到“3星”球的概率； ②记第次取球后结束取球的概率为，求. 4.有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）． (1)若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：） 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $