专题05正方形性质与判定复习讲义(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题05正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握正方形定义，理清平行四边形 — 矩形 — 菱形 — 正方形层层包含的从属关系，构建特殊四边形完整知识体系。 2.吃透正方形双重属性，融合矩形直角特质与菱形邻边相等、对角线垂直的核心性质，熟记边角、对角线、对称全部考点。 3.系统掌握正方形多路径判定方法，明晰图形之间的转化条件，牢记核心定理与拓展结论，夯实几何基础。 1.灵活运用正方形综合性质，快速完成边长、角度、对角线、周长、面积的运算与推导。 2.结合题干条件灵活变通，熟练完成正方形判定证明，形成严谨的几何推理思维。 3.融会贯通全等、勾股定理、特殊三角形等知识，突破正方形变式题型与综合大题。 1.精准辨析四类特殊四边形易混考点，杜绝定理乱用、概念混淆等基础失分点。 2.规范几何答题步骤与书写格式，适配考试评分标准，减少过程性扣分。 3.吃透正方形高频考题、经典模型与命题规律，强化解题技巧，全面提升应试得分能力。 题型01.正方形判定定理理解 题型02.证明四边形是正方形 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.由正方形性质求角度 题型06.由正方形性质求线段长 题型07.由正方形性质求面积 题型08.正方形折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.由正方形的性质证明 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形性质与判定证明 题型15.正方形与动点问题 解答题6题 知识点01:正方形的定义 1.标准定义：有一组邻边相等，且有一个内角是直角的平行四边形，叫做正方形。 2.两个简化等价定义（做题高频用） 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:四大核心性质（分模块，逐条吃透） 正方形 = 矩形性质 + 菱形性质 + 自身独有性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例) 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:四大判定路径（考试万能思路，层层递进） 判定口诀好记：矩形缺边变正方，菱形缺角变正方， 平行四边双条件，直角等边全占光。 易混对比｜一张分清三类图形 图形 独有特点 平行四边形 对边平行相等，对角相等 矩形 四个直角、对角线相等 菱形 四边相等、对角线垂直 正方形 四边等 + 四角直 + 对角线等且垂直 高频易错点（避坑必看） 1.误区：对角线相等的四边形是正方形 ❌错！矩形对角线也相等，必须再加「垂直 / 邻边相等」 2.误区：对角线互相垂直的四边形是正方形 ❌错！菱形对角线也垂直，必须再加「直角 / 对角线相等」 3.注意：证明题优先看已知条件已知是矩形→就证邻边相等； 已知是菱形→就证有直角 题型01.正方形判定定理理解 【典例】下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【详解】A、根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项命题正确； B、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项命题正确； C、矩形的对角线本来就相等，仅对角线相等无法判定它是正方形，故C选项命题不正确； D、菱形的对角线互相垂直平分，若对角线再相等，则满足正方形的判定条件，所以对角线相等的菱形是正方形，故D选项命题正确． 综上，不正确的是C． 【跟踪专练2】判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形加判定菱形的条件可判定正方形，菱形加判定矩形的条件可判定正方形，据此即可求解；掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：对角线互相垂直的矩形是正方形； 故选：B． 题型02.证明四边形是正方形 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查的是正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．根据正方形的判定定理解答． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形是正方形， 故答案为：是． 【跟踪专练1】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 【详解】解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 【跟踪专练2】已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， 四边形是平行四边形， ∵， 平行四边形是矩形，不能判定为正方形． B、∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，无法判定为正方形． C、， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． D、，， 四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形，无法判定为正方形． 题型03.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等． 即或． 故选：A 【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定定理，掌握正方形的判定条件是解题关键． 结合矩形的角和角平分线，先推导四边形的基础形状，再根据正方形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：已知四边形为矩形，且平分，平分． 故，， 可得，，是等腰直角三角形． 选项：由两边平行可得四边形为平行四边形， 再由可得四边形为菱形， 再由可得四边形为正方形，故选项正确； 选项：，，仅可得到，无法证明四边形为正方形，故选项错误； 选项：根据题意可知，故，无法判定正方形，故选项错误； 选项：，，仅能判断是等腰三角形，不能证明，无法判定正方形，故选项错误． 故选：． 题型04.正方形性质理解 【典例】下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．有一个角是直角 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直，因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选D． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 【答案】/75度 【分析】由正方形的性质及等边三角形的性质，求得，从而由等腰三角形的性质可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握这些性质是关键． 【跟踪专练2】如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 【答案】 与 【详解】解：如图所示， ∴，， ∴长方形的一条边长为：， 另一条边长为：， 故答案为：与 ． 题型05.由正方形性质求角度 【典例】如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 【答案】7 【分析】根据题意得出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，， 在中，． 【跟踪专练1】如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得的度数，由等边对等角和三角形外角的性质可得，，据此求解即可． 【详解】解：∵为正方形对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中 ， ∴（SAS）． ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 题型06.由正方形性质求线段长 【典例】如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 【跟踪专练1】如图，已知四边形是正方形，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，则的长是______． 【答案】3 【分析】证明，得出，，利用三线合一的性质可得出，利用线段垂直平分线的性质得出，在中，利用勾股定理求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由正方形性质得，，然后通过同角的余角相等得，进而证得，根据全等三角形的性质得到，通过勾股定理求出，最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解： 四边形是正方形 ，， ，，， 在和中， 为的中点 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 题型07.由正方形性质求面积 【典例】如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为_______． 【答案】1 【分析】根据题中已知，结合图形，阴影部分是正方形，且边长为1，利用正方形的面积公式即可解答． 【详解】∵四个全等的直角三角形的直角边分别是3和4， ∴阴影部分为正方形，且边长为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、正方形的判定与性质、正方形的面积，得知阴影部分是正方形以及边长是解答的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 【跟踪专练2】如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 【跟踪专练3】.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】先证△CAB≌△DAH（SAS），得∠ADH=90°，则H、D、E三点共线，再证，则BC=FC=FG=BG=2GJ，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ，然后由S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27，求出GJ=，证△FAN≌△EBM（ASA），则S△FAN=S△EBM，最后由S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形BAHI和四边形CADE都是正方形， ∴AC=AD，AB=AH，∠CAD=∠ABI=∠BAH=∠ADE=90°， ∴∠CAB+∠BAD=∠DAH+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAH， 在△CAB和△DAH中， ， ∴△CAB≌△DAH（SAS）， ∴∠ADH=∠ACB=90°， ∵∠ADE=90°， ∴H、D、E三点共线， ∵四边形BCFG和四边形CADE都是正方形，延长BG、FG分别交AD、DE于点K、J， ∴四边形ADJF和四边形BEDK都是矩形，且AF=BE，∠AFN=∠BEM=90°，四边形DKGJ是正方形，四边形CFJE是矩形， ∵S1：S2=1：4， ∴， ∴BC=FC=FG=BG=2GJ， ∵四边形CADE是正方形， ∴∠ADE=90°，AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=GJ， 在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH==2GJ， ∵S四边形BAHE=S△ADH+S梯形ADEB=27， ∴AD•DH+（AD+BE）•DE=×3GJ×2GJ+（3GJ+GJ）×3GJ=27， 解得：GJ=（负值已舍去）， ∵∠ABC+∠EBM=180°-∠ABI=180°-90°=90°，∠ABC+∠CAB=90°， ∴∠CAB=∠EBM，即∠FAN=∠EBM， 在△FAN和△EBM中，， ∴△FAN≌△EBM（ASA）， ∴S△FAN=S△EBM， ∴S△ABC=S四边形BCFN+S△FAN=S四边形BCFN+S△EBM， ∴S四边形MBNJ=S矩形CFJE-S四边形BCFN-S△EBM=S矩形CFJE-S△ABC =FC•CE-AC•BC =2GJ×3GJ-×3GJ×2GJ=3GJ2=3×（）2=9， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形面积、梯形面积与三角形面积的计算等知识，证明△FAN≌△EBM是解题的关键． 题型08.正方形折叠问题 【典例】如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证明，进而得到，由是的三等分点可得或，则可求出的长，在中有勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 由正方形和折叠的性质可得，且， ， ， ， 当点G是靠近点B的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 当点G是靠近点C的三等分点时， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】利用矩形和折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理可得；连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 如图，连接， 当四边形为正方形时，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用等面积法求出点H到的距离即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， 又， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 题型09.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 题型10.由正方形的性质证明 【典例】如图，在正方形中，点在边上，于点，交于点，若，，则的长是_______． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是关键． 根据正方形的性质证明，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③，其中正确的序号是______．(填写所有正确结论的序号) 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点．根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为判断②的正误；利用勾股定理解三角形求正方形的边长和面积可以判断③的正误． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； ②，， ， 由①可知：， ， 在中，， 故结论②正确； ③过点作于点，设，如图所示： 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ， ， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【跟踪专练2】已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得，，再证明，即可得出，从而判断①正确；先证明是等腰直角三角形，则，求出的度数，再结合全等三角形的性质即可判断②正确；由勾股定理可得，证明是直角三角形，再结合勾股定理即可判断③正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形的面积公式即可判断④正确；过点作，交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ⑤过点作，交的延长线于点，如图： ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 题型11.由正方形性质与判定求角度. 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【答案】135 【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACB＝∠BAC＝45° ∴∠2+∠BCP＝45° ∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠BCP＝45° ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP ∴∠BPC＝135° 故答案为：135． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键． 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 题型12.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【答案】 【分析】如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，，即，解得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即，解得，（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【跟踪专练1】如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到地面DE的距离是______m． 【答案】1 【分析】过点作于点G，根据题意，先证明四边形是正方形，然后接着证明得到，计算，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键． 【详解】解：过点作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形，, ∵, ∴四边形是正方形， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①先证明四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a，在中，由勾股定理得，根据三角形三边之间的关系得，由此可对结论①进行判断； ②在中，由勾股定理得，在中，根据三角形三边之间的关系得，则，由此可对结论②正确； ③在中，由勾股定理得：，则，由此可对结论③进行判断； ④根据即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵，，，，， ∴四边形是正方形，且边长为a，四边形是正方形且边长为b，四边形和四边形是矩形，长为b，宽为a， 在中，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边之间的关系得：， ∴， 故结论①正确； ②在中，，， 由勾股定理得：， 在中，根据三角形三边之间的关系得：， ， ， 故结论②正确； ③在中，，， 由勾股定理得：， ， 故结论③不正确； ④由③可知：， 故结论④不正确， 综上所述：正确结论的序号是 ①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，三角形三边之间的关系，熟练掌握正方形的判定和性质，勾股定理及三角形三边之间的关系是解题的关键． 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时利用三角形的中位线的性质求解是关键．连接，，根据三角形的中位线的性质，可以得出四边形为正方形，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：连接，，    ∵点、、、是正方形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， ∴， ∴四边形是正方形 ∵正方形的周长为，， ∴， 在中，由勾股定理，得，， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 题型14.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．    【答案】 【分析】四边形和四边形均为正方形，且是的中点，，如图所示，过点作于，交于，与交于点，可证，，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，且是的中点，， ∴， ∴在中，， 如图所示，过点作于，交于，与交于点，    ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，即为中点， 同理，可证， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    【答案】 【分析】过点P作于F，作于G，判断出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出BF，再列出方程求解得到，然后根据正方形的对角线等于边长的倍计算即可得解． 【详解】如图，过点P作于F，作于G，    ∵， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵正方形的边长为8， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质是解题关键． 【跟踪专练2】.如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题关键． 过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点，先证明四边形是矩形，再证明，继而解得，证明三点同在一条直线上，再证明，中，由勾股定理解得 的长，证明得到，最后由三角形面积公式解答． 【详解】解：过点E作于点H，过点E作，垂足为，交的延长线于点 在正方形中， ， 正方形中， ， 四边形是矩形 在和中， ∴，， 三点同在一条直线上， 四边形是矩形 在与中 ∴ 四边形是正方形 设正方形的边长为 则 ， （舍去） 在与中 ∴ 故选：C． 题型15.正方形与动点问题 【典例】如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 【答案】 【分析】过点做交延长线于点，证得，得到M的坐标，再做轴，即可求得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，从而求得G的坐标． 【详解】解：如图过点作交延长线于点，   ， ，， ， ， ， ，， ， 又，M为正方形的对称中心， ， 作轴，在中，，， 是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 有， ． 【跟踪专练1】如图，边长为2的等边的顶点在原点，点在轴上，正方形的边长为4，点在轴上，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的边按顺时针方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着正方形的边也按顺时针方向运动，点比点迟4秒出发，则点运动2026秒后，的值是______． 【答案】 【分析】先由题中运动规律确定点、点的位置，连接，过点作，过点作，由等边三角形性质、正方形性质、矩形性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：动点以每秒1个单位长度的速度运动，点比点迟4秒出发， 当点运动2026秒后，点的运动路程为个单位长度、点的运动路程为个单位长度， 等边的边长为2，点从点出发在边上按顺时针方向运动；正方形的边长为4，点从点出发在正方形边上也按顺时针方向运动， 由，可知点在2026秒后停在点处、点在2022秒后停在中点处， 连接，过点作，过点作，如图所示： 四边形是矩形， 在中，，则由勾股定理可得， ，， ， ， 在中，由勾股定理可得． 【跟踪专练2】如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．设交于点，作交的延长线于点，由正方形的性质得，，则，由于点，交边于点，得，推导出，进而证明，得，而，则，由，得，可证明，再证明，得，，则，求得即可解答． 【详解】解：设交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，， ， 于点，交边于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：． 【解答题】 1．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）连接交于点O，根据正方形性质得，再根据得，由此可判定四边形是菱形； （2）先由勾股定理求出，则根据得，则，然后根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 2．如图，正方形的边长为12，菱形的三个顶点分别在正方形的边上，且，连接． (1)当时，求的度数； (2)设，用含的代数式表示的面积； (3)判断的面积能否等于4，并说明理由．. 【答案】(1) (2) (3)不能．理由见解析 【分析】（1）由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，而，易证，从而有，等量代换可得，即可解决问题； （2）欲表示的面积，由已知表示的长易求，只需求出边的高即可； （3）不能．求出AE长度与正方形边长比较，推出点E不在正方形的边AB上，不合题意. 【详解】（1）解：四边形是正方形，． 四边形是菱形，． 又，， ． ，， ． （2）解：如图，过点作交的延长线于点，连接． ． ， ． 在和中， ． ，，． （3）解：不能．理由如下： 当的面积等于4时，结合（2）可得，解得，即， ， ， 此时点不在正方形的边上，与题意不符， 的面积不能等于4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②128 【分析】（1）先推导出，然后根据角平分线的定义得到，结合三角形内角和定理，即可解答； （2）①过点A作于G，推导出，得到四边形为矩形，然后根据角平分线性质定理推导出，即可证得结论； ②由①得四边形为正方形，推导出，得到，同理可得，再根据勾股定理，得到，化简得，然后展开式子，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴， ∴； （2）①证明：过点A作于G， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵外角平分线交于点A， ∴， ∴， ∴四边形为正方形 ②解：如图 由①得四边形为正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， 化简，得， ∴． 4．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握对称性，正方形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）对称性得到，，，，，进而推出，得到四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）设，推出，在中，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形．理由如下： ∵于点D， ∴． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∵与关于直线对称， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 又∵， ∴矩形是正方形． （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，． 设，则． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，即． 解得． ∴． ∵， ∴． 5．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 6．如图，在正方形中，，点P在对角线上运动（不与点B，D重合），作与关于直线对称，点F在的延长线上，，连接． (1)当时，求的长． (2)求证：． (3)连接，求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，即可求解； （2）先证明，可得，从而得到，即可求证； （3）由（2）可得，再结合，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴； （3）解：连接， 由（2）得：， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴的最大值为6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，图形的折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05正方形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.精准掌握正方形定义，理清平行四边形 — 矩形 — 菱形 — 正方形层层包含的从属关系，构建特殊四边形完整知识体系。 2.吃透正方形双重属性，融合矩形直角特质与菱形邻边相等、对角线垂直的核心性质，熟记边角、对角线、对称全部考点。 3.系统掌握正方形多路径判定方法，明晰图形之间的转化条件，牢记核心定理与拓展结论，夯实几何基础。 1.灵活运用正方形综合性质，快速完成边长、角度、对角线、周长、面积的运算与推导。 2.结合题干条件灵活变通，熟练完成正方形判定证明，形成严谨的几何推理思维。 3.融会贯通全等、勾股定理、特殊三角形等知识，突破正方形变式题型与综合大题。 1.精准辨析四类特殊四边形易混考点，杜绝定理乱用、概念混淆等基础失分点。 2.规范几何答题步骤与书写格式，适配考试评分标准，减少过程性扣分。 3.吃透正方形高频考题、经典模型与命题规律，强化解题技巧，全面提升应试得分能力。 题型01.正方形判定定理理解 题型02.证明四边形是正方形 题型03.添条件使四边形是正方形 题型04.正方形性质理解 题型05.由正方形性质求角度 题型06.由正方形性质求线段长 题型07.由正方形性质求面积 题型08.正方形折叠问题 题型09.求正方形重叠部分面积 题型10.由正方形的性质证明 题型11.由正方形性质与判定求角度 题型12.由正方形性质与判定求线段长 题型13.由正方形性质与判定求面积 题型14.由正方形性质与判定证明 题型15.正方形与动点问题 解答题6题 知识点01:正方形的定义 1.标准定义：有一组邻边相等，且有一个内角是直角的平行四边形，叫做正方形。 2.两个简化等价定义（做题高频用） 定义 1（从矩形出发）有一组邻边相等的矩形是正方形。 定义 2（从菱形出发）有一个角是直角的菱形是正方形。 一句话概括正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形。 知识点02:四大核心性质（分模块，逐条吃透） 正方形 = 矩形性质 + 菱形性质 + 自身独有性质 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例) 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03:四大判定路径（考试万能思路，层层递进） 判定口诀好记：矩形缺边变正方，菱形缺角变正方， 平行四边双条件，直角等边全占光。 易混对比｜一张分清三类图形 图形 独有特点 平行四边形 对边平行相等，对角相等 矩形 四个直角、对角线相等 菱形 四边相等、对角线垂直 正方形 四边等 + 四角直 + 对角线等且垂直 高频易错点（避坑必看） 1.误区：对角线相等的四边形是正方形 ❌错！矩形对角线也相等，必须再加「垂直 / 邻边相等」 2.误区：对角线互相垂直的四边形是正方形 ❌错！菱形对角线也垂直，必须再加「直角 / 对角线相等」 3.注意：证明题优先看已知条件已知是矩形→就证邻边相等； 已知是菱形→就证有直角 题型01.正方形判定定理理解 【典例】下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【跟踪专练1】下列命题中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【跟踪专练2】判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 题型02.证明四边形是正方形 【典例】如图，已知．小红做了如下操作：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧分别相交于点，连接，则四边形________正方形（填“是”或“不是”）． 【跟踪专练1】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 【跟踪专练2】已知四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（） A．，， B．， C． D． 题型03.添条件使四边形是正方形 【典例】如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ）    A． B． C． D．平分 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，平分，平分，与交于点．点是矩形外一点，连接，，，添加下列条件后，可判定四边形为正方形的是（   ） A．， B．， C． D．， 题型04.正方形性质理解 【典例】下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．有一个角是直角 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【跟踪专练1】如图，在正方形中，以为边在正方形内作等边，则________． 【跟踪专练2】如图是一幅边长为的正方形书法作品，计划在其四周镶一圈宽度均为的花边．现有一张镶边用的长方形花纸，恰好可以完成镶边任务且没有剩余，则这张长方形花纸相邻两边的长可能是___． 题型05.由正方形性质求角度 【典例】如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 【跟踪专练1】如图，为正方形对角线，延长至点E，使，连接，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，对角线相交于点O．E、F分别为上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型06.由正方形性质求线段长 【典例】如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【跟踪专练1】如图，已知四边形是正方形，是边上一点，连接，过点作交的延长线于点，连接，过点作于点，交于点，若，，则的长是______． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 题型07.由正方形性质求面积 【典例】如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为_______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【跟踪专练2】如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ．图中两块阴影部分面积分别记为S1，S2．若S1：S2=1：4，S四边形边BAHE=27，则四边形MBNJ的面积为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 题型08.正方形折叠问题 【典例】如图，正方形中，，为边上一动点（不与，重合）．将沿翻折至，延长交于点，刚好是边的三等分点，则的长为（   ） A． B．3 C．2或3 D．或3 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 题型09.求正方形重叠部分面积 【典例】如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【跟踪专练1】如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【跟踪专练2】已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 题型10.由正方形的性质证明 【典例】如图，在正方形中，点在边上，于点，交于点，若，，则的长是_______． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③，其中正确的序号是______．(填写所有正确结论的序号) 【跟踪专练2】已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型11.由正方形性质与判定求角度. 【典例】如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_____°． 【跟踪专练1】如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【跟踪专练2】将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 题型12.由正方形性质与判定求线段长 【典例】如图，正方形的对角线、交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点．若四边形的面积是5，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到地面DE的距离是______m． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，，且，过点E作于点H，过点F作于点G，，交于点O，连接，，． 设． 给出下面三个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 题型13.由正方形性质与判定求面积 【典例】如图，正方形的周长为，顺次连接正方形各边中点、、、，得到四边形的面积等于__________．    【跟踪专练1】如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【跟踪专练2】如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型14.由正方形性质与判定证明 【典例】如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．    【跟踪专练1】如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    【跟踪专练2】.如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点D落在上，连结．若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型15.正方形与动点问题 【典例】如图，正方形的顶点B的坐标为，为x轴上的一个动点，以为边作正方形，点E在第四象限，点M为正方形对角线的交点，直线交y轴于点G，则点M的坐标为______（用含m的代数式表示）；点G的坐标为______． 【跟踪专练1】如图，边长为2的等边的顶点在原点，点在轴上，正方形的边长为4，点在轴上，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的边按顺时针方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着正方形的边也按顺时针方向运动，点比点迟4秒出发，则点运动2026秒后，的值是______． 【跟踪专练2】如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 2．如图，正方形的边长为12，菱形的三个顶点分别在正方形的边上，且，连接． (1)当时，求的度数； (2)设，用含的代数式表示的面积； (3)判断的面积能否等于4，并说明理由．. 3．如图，中，外角的平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足． (1)求的度数； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的值． 4．如图，在中，，过点A作于点D．线段关于直线的对称线段为，线段关于直线的对称线段为，分别连接，，并延长交于点G． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求的面积． 5．【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 6．如图，在正方形中，，点P在对角线上运动（不与点B，D重合），作与关于直线对称，点F在的延长线上，，连接． (1)当时，求的长． (2)求证：． (3)连接，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $