第二章 相交线与平行线单元测试2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦相交线与平行线核心知识，通过生活情境（如斑马线、自行车几何）、动手操作（作图、折叠）及动态探究（点P运动），考查抽象能力、几何直观与推理意识，适配初中数学单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|对顶角识别、平行线判定依据、距离概念|结合作图情境（如过直线外一点作平行线）考查基础概念，体现数学思维的严谨性| |填空题|6/18|直线位置关系、垂线段最短、角平分线计算|以斑马线（垂线段最短）、折叠问题（空间观念）为载体，渗透数学眼光观察现实世界| |解答题|8/52|平行线证明、动态几何（点P运动）、折叠探究|通过多条件判定平行（如∠P=∠Q证∠1=∠2）、纸带折叠角度计算、点运动分类讨论，发展推理能力与创新意识|

第二章 相交线与平行线（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2、如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 3、如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4、下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 5、如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 6、 如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3， ⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7、 如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆， 若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8、 如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9、如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 10、如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 12、如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 13、如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为 ． 14、一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 15、如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 16、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 三、解答题：本题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 18、如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 19、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 20、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是多少度？ 21、如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 22、如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG． （1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数． 23、将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）求∠EFB ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），求∠EFC″（用含x的代数式表示）． 24、已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析； 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下面四个图形中，与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 2、如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 解：如图， 根据∠1＝∠2可知，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 3、如图，直线c与直线a、b都相交．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 4、下列说法中错误的是（　　） A．同角（或等角）的余角相等 B．在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行 C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段叫作点A到直线l的距离 【答案】D 【详解】解：A、同角（或等角）的余角相等，故A正确； B、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，故B正确； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确； D、过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段的长度叫作点A到直线l的距离，故D错误； 5、如图，，，垂足分别为B、P．下列说法中错误的是（　　） A．线段的长是点P到的距离 B．、、三条线段，最短 C．线段的长是点A到的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】C 【详解】解： A、线段的长是点P到的距离，正确，故A不符合题意； B、由垂线段最短得到，，，因此最短，故B不符合题意； C、线段的长是点A到的距离，故C符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，正确，故D不符合题意． 6、 如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3， ⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 7、 如图是一款小推车的示意图，其中扶手平行于座板，前轮支撑杆平行于推杆， 若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， 8、 如图为化学实验过滤操作的平面示意图，其中烧杯中的液面与漏斗架平行．若， ，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ， ， ，， ， 9、如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过G作， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴． 10、如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、同一平面内，两条不重合的直线的交点有 个． 【答案】0或1 【详解】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有两种，是平行和相交， 即两条不重合的直线的交点有0或1个． 故答案为：0或1． 12、如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小敏站在点处，她觉得沿走过斑马线到达马路边更节省时间，这一想法体现的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【详解】解：根据题意可得：垂直马路方向走斑马线更节省时间，体现了垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 13、如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 14、一个长方形纸片，点E和F分别在和上，如图（1），，沿折叠得到图（2），与交于点G，则的度数是： ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 15、如图，，平分，平分，且比大，则的度数为 度． 【答案】113 【详解】解：作，，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ， ∴ ∵平分，平分， ∴， 由①得：， ∴， ∵比大， ∴， 解得：． 16、如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 三、解答题：本题共8小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线； 解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：如图，即为所求作的平行线； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴与互余； 故答案为：互余. （5）解：线段，，这三条线段大小关系是， 依据是垂线段最短． 18、如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°， ∴AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠P＝∠Q， ∴PB∥CQ， ∴∠PBC＝∠BCQ， ∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ， ∴∠1＝∠2． 19、如图，直线与直线分别相交于B、C两点，直线与直线分别相交于A、F、E、D．如果，，试说明的理由． 【答案】详见解析 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是多少度？ 【答案】42°、138°或10°、10° 【解答】解：如图1， ∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x＝4x﹣30°， 解得x＝10°， 4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°； （2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°， 解得x＝42°， 4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°． 所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 21、如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）50° 【详解】解：（1）∵∠1=∠BDE， ∴AC∥DE ∴∠2=∠ADE 又∵∠2+∠FED=180°， ∴∠ADE+∠FED=180°， ∴AD∥EF （2）∵∠FED=140°，∠2+∠FED=180° ∴∠2=40° 又∵AD∥EF，EF⊥BF， ∴AD⊥BF，即∠BAD=90°， ∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50° 22、如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG． （1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数． 【答案】（1）见试题解答内容（2）25° 【详解】解：（1）∵DC∥FP， ∴∠3＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴DC∥AB； （2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°， ∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP， 又∵∠AGF＝80°， ∴∠AGF＝∠GFP＝80°， ∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°， 又∵FH平分∠EFG， ∴∠GFH∠GFE＝55°， ∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°． 23、将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）求∠EFB ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），求∠EFC″（用含x的代数式表示）． 【答案】 （1）90°x° （2） 【详解】解：（1）如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°， 又∵∠DEF＝∠D'EF， ∴∠D'EF＝∠EFB， 又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB∠EHB， 又∵∠AED'＝x°， ∴∠EHB＝180°﹣x° ∴∠EFB90°x° （2）如图2所示： ∵∠EFB+∠EFC'＝180°， ∴∠EFC'＝180°﹣（90°°）＝90°， 又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''， ∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB ＝90°2（90°°） ， 故答案为． 24、已知，线段分别与、相交于点、． (1)如图①，当，，则______； (2)如图②，当点P在线段上运动时（不包括、两点），，与之间有怎样的数量关系？试证明你的结论； (3)当点P在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，探究，与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析； 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，过P作， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 当点在射线的延长线上运动时，（2）中的结论不成立，新关系为：，证明如下： 设与相交于点，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $