21.3.3正方形（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.3.3正方形（第1课时） 八年级　下册 教学目标 重点：正确运用正方形的性质进行简单的计算. 难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系. 1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别，发展抽象能力. 2.能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论 证. 回顾旧知 问题1 矩形和菱形分别是由平行四边形将什么特殊化得到？ 平行四边形 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 矩形 新课学习 有一个直角 矩形 一组邻边相等 平行四边形 正方形 思考：如果将矩形的一组邻边变相等，会得到什么样的四边形？ 有一组邻边相等的矩形叫正方形；因此，正方形是特殊的矩形. 新课学习 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 有一个直角 正方形 思考：如果将菱形的一个角变成直角，会得到什么样的四边形？ 有一个角是直角的菱形叫正方形；因此，正方形是特殊的菱形. 新课学习 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 有一个直角 正方形 思考：如果将平行四边形的一个角变成直角、一组邻边变相等，会得到什么样的四边形？ 有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫正方形；因此，正方形是特殊的平行四边形. 有一个直角 一组邻边相等 新课学习 有一个直角 一组邻边相等 矩形 菱形 一组邻边相等 平行四边形 有一个直角 正方形 有一个直角 一组邻边相等 思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢？ 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形； 新课学习 思考：正方形具有什么性质？ 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形；因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 角 边 对角线 四条边都相等 四个角是直角 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分每一组对焦 正方形 思考：正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 正方形是轴对称图形；有4条对称轴. 例题精讲 例1 如图，已知四边形ABCD是正方形. (1)若AC＝4 cm，则它的边长为 cm，面积为 cm2； (2)图中有几个等腰直角三角形？说明理由. 2 　 8　 (2)解：共有8个等腰直角三角形.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO ＝DO，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°. ∴△AOB，△AOD，△BOC，△COD，△ABC， △ABD，△BCD，△ADC是等腰直角三角形. 变式训练 变式1：求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:△ABO,△BCO,△CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD，AC⊥BD. ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°， AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都 是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 10 变式训练 变式2　如图，在周长为16的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在边AB，BC上，且∠EOF＝90°，连接EF交OB于点M，求证：△BOE≌△COF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO， ∠EBO＝∠FCO＝45°. ∴∠BOC＝∠EOF＝90°. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF. 在△BOE和△COF中， ∴△BOE≌△COF(ASA). 11 巩固练习 变式3.如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF. 求证：DE＝BF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°. ∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵EA⊥AF，∴∠BAE＋∠BAF＝90°. ∴∠DAE＝∠BAF. 在△ADE和△ABF中， ∴△ADE≌△ABF(ASA).∴DE＝BF. 巩固练习 1. 若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为(　C　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　B　) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 C B 3. 如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，以BC为边，在正方形的内部作等边三角形BCE，则∠DBE的度数为 . 15°　 巩固练习 4. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点 连线EF为边的正方形EFGH的周长为 ⁠. 2 　 5. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中， 如果顶点M，N的坐标分别为(－14，9)，(－5，9)， 则顶点A的坐标为 ⁠. (－2，3)　 第4题图 第5题图 运用拓展 6. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. 求证：PA＝EF. 证明：如图，连接PC. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45°，∠BCD＝90°. 在△ABP和△CBP中， ∴△ABP≌△CBP(SAS).∴PA＝PC. ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC＝90°，∠PEC＝90°. ∴四边形PFCE是矩形.∴EF＝PC. ∴PA＝EF. 15 课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的定义和性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 16 布置作业 1.必做题：习题21.3 第6，12(3)题. 2.探究性作业：习题21.3 第15，16题. 17 $