第九章图形的相似重难点突破2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第九章图形的相似重难点突破 一、单选题 1．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点，分别在边，上，且．若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．2 3．如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，以点为位似中心的与的相似比为．若的长为6，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 5．如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（   ） A． B． C． D．9 6．如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，若雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比，可增强视觉美感．按照这一比例，若雕像的总高度为2米，则雕像下部的高度为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点M在上，，，沿折叠，设点A的对应点为N，延长交的延长线于点P．则的长为（   ） A． B．4 C． D．3.5 10．如图，为等边三角形，点D、E分别在边上，，如果，，则的长度是（    ） A．8 B．12 C．16 D． 二、填空题 11．若，则的值为_____． 12．如图所示，在中，，，，，则的长度为______ 13．已知：如图，，，则________． 14．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 15．如图，在中，，，分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，过点M、N作直线交于点，交于点，再连接．则__________（结果保留根号）． 三、解答题 16．已知线段a、b，且满足． (1)求的值； (2)若线段c是线段a、b的比例中项，且，求c的值． 17．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 18．如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 19．如图，在与中，连接并延长交于G．若，，求证：． 20．如图：，分别交，，于点E，F，G，已知，，，．求，的长． 21．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图1，正方形中，、分别是、上的点，于点 (1)求证：； (2)如图，如果，连接，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第九章图形的相似重难点突破》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A B C C D A D 1．B 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 2．D 【分析】由平行线分线段成比例定理得到，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 4．A 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似比等于对应点到位似中心的距离比． 根据位似比得到，代入求解的长度． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查矩形的相似，掌握相似图形的性质是解题的关键． ，根据中点，得根据矩形与矩形相似，得，代入求解即可． 【详解】解：设， 矩形和矩形，为矩形的边的中点，， ，， 矩形与矩形相似， ，即，解得， ， ． 故选：B． 6．C 【详解】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得 ，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定 和 与 相似． 【点睛】解：， ． ，， ， ． ， ． 又 ， ． 在 和 中， ， ． 在 和 中， ， ． 综上所述，与 相似的三角形有 、、，共 个． 7．C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 8．D 【分析】设雕像的下部的高度为，由黄金分割的定义得，即可求解． 【详解】解：设雕像的下部的高度为， ∵雕像的上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全身的高度比， ∴， 解得：， 即雕像的下部的高度为． 9．A 【分析】记与相交于点，连接，根据折叠得到，证明，设，根据勾股定理求出，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：记与相交于点，连接， 正方形， ， 由折叠的性质得到， ， 在与中， ， ， ， 设， ，， 在中，， 即， 解得， ，， 正方形， ， ， ，即， 解得． 10．D 【分析】先根据等边三角形的性质说明，进而得出，即可证明，可得，再结合已知条件将数值代入求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 11． / 【详解】解：∵， ∴． 12． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 本题可利用平行线分三角形两边成比例的性质，得到对应线段成比例，先求出的长度，再用的长度减去的长度，即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 14．36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 15．/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质是关键．根据等腰三角形的判定与性质，求得，即可证明，设，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 由作图可知，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， （舍去）， ． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由两边同时加2即可得出，从而得解； （2）由题意求出，假设，则，，结合，求出，，再结合比例中项的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， 假设，则， 又∵， ∴， 解得， 则， ∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 18．(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．见解析 【分析】根据三角形内角和定理和得出．根据，得出，证明，得出，则，证明，即可得． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．， 【分析】在中，根据平行线分线段成比例求出，在中，根据平行线分线段成比例求出，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． 21．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． （1）根据平行四边形性质证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）中结论求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证明，得到则，即可得证； （2）先证明，得到，根据得到，证明，得到，由此即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ∴， ， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 又， ， ，即， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $