2026年中考数学一轮专题复习之二次函数实际问题（图形与图形面积问题）

二次函数实际问题（图形与图形面积问题） 1．如图1是某校跨学科项目学习实践基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，∠AOB=90°，OA=5m，OB=10．如图2，李老师以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，取OB的中点C，连接AC，过点C作OB的垂线交抛物线于点D，将基地划分为三个区域种植不同的蔬菜，测得CD=7.5m． (1)请你利用以上信息求出抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网三角形ABE，请你利用所学知识确定点的位置，使遮阳网覆盖面面积最大，求出点的横坐标． 2．综合与实践 【发现问题】 海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬．小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化． 【提出问题】 设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，那么与之间有什么关系呢？ 【分析问题】 一方面发现临时换衣间的底面周长是，于是另一边长可以用含的代数式表示，于是利用矩形的面积长宽，就可以直接列出面积与的关系式．另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长和面积的相关数据，如表： 长方形地面的一边长 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 长方形地面的面积 0.84 1.14 1.36 1.5 1.56 … 然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图，再由图象猜想与之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式． 【解决问题】 (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达． 3．为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形和一个组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口为（阴影部分均不通风），其中点O为的中点，M在边上滑动，N在边上滑动，是与平行的伸缩横杆．已知窗子的边框米，米，，． (1)求窗子顶端E到底边的距离； (2)为提升换气效率，现要通风口面积尽可能大，请求出伸缩杆的端点M滑动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 4．问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 5．为了培养学生劳动能力，落实五育并举，某学校准备开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地．在综合实践课上，数学兴趣小组利用所学知识来解决这一问题，实践报告如下： 活动课题 设计围篱笆的方案 活动工具 直角三角板、皮尺、篱笆 活动过程 【了解场地】用皮尺测出墙的长为，墙的前面是一片空旷的场地． 【设计图纸】如图，用篱笆围成一个矩形实验田，中间用篱笆隔成三个小矩形，分别作为三个年级的实践基地，在边上给每个小矩形区域各留一个宽的门． 【准备材料】篱笆总长为，三个门不用篱笆． 设，矩形的面积为，请你帮兴趣小组解决以下问题： (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若矩形实验田的面积为，求矩形验田的边长； (3)当长为多少时，实验田的面积最大？最大面积是多少？ 6．综合与实践． 问题情境：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上，现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且． 榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 方案实施：学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系． 请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； (3)学校按照榕榕的方案进行种植发现：无论设计在何处，和区域种植之和始终是定值，请说明理由，并证明． 7．某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为米），其余用长为米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则______米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？最大为多少？ 8．自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 9．【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 10．下面是数学小组的活动报告单： 活动主题 为校园花圃设计方案 活动准备 1．去学校档案馆查阅校园平面图； 2．了解围成花圃的栅栏长度； 3．准备皮尺等测量工具． 设计方案 如图，根据校园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度是），用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏） 设计图： 采集数据 可用栅栏总长为，花圃两侧各留的进出的门宽为． 设栅栏与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息，解决下列问题： (1)求与的函数表达式（不用写出自变量取值范围）； (2)当时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米? 11．如图①，在学校实践基地矩形中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点，在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．根据种植需求规划方案如下： 第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段，分隔出区域，种植牡丹； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过点作的平行线，交抛物线于点，，用篱笆沿，将线段，与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 为方便记录划分数据，在图②中以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求花坛所在抛物线的函数表达式； (2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求与的长． 12．综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． (3)如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 13．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，为杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为15，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图2． （ⅰ）请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 14．问题背景：已知二次函数的一般表达式是，如果a为非0的确定常数，，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当，时，此二次函数为，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究． 探究1 (1)对“b值函数”进行探究后，得到下列结论： ①“b值函数”的图象与x轴一定有两个交点； ②随着b值增大，函数的顶点纵坐标一直增大； ③当b值取相反数时，两函数的顶点关于y轴对称． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． (2)对于“b值函数”，随着b值的变化，函数图象与x轴的交点也在变化．设其与x轴的一交点为，若时，求b的取值范围． 探究2 (3)设“b值函数”的顶点坐标为，请用含b的式子表示m与n的关系． 探究3 (4)如图，某人想用长的栅栏，借用围墙围成一个矩形羊圈，围墙足够长，设矩形的边，面积为，请写出S关于x的函数表达式，判断该函数是不是“b值函数”，并说明该函数的顶点变化规律；当羊圈最大面积是时，求需要用多长的栅栏． 15．【生活情境】 为美化校园环境，学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），设水池2的边的长为（）（），面积为（）． 【问题解决】 (1)当时，则关于的函数关系式为______，关于的函数关系式为______； (2)在（1）的条件下，函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图3，与相交于、两点，在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)当水池1与水池2的面积相差2时，有唯一值，求的值． 16．如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． (1)当点在边上时，用含的代数式表示的长； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与的函数解析式，并写出的取值范围． 17．综合与实践 【问题情境】如图1，虚线所示的宽为、高为的矩形区域是室内客厅墙面的一块空白装饰区，设计师计划在矩形区域上方用装饰线条围出抛物线造型，点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，两点到矩形上侧的边的距离均为，抛物线的顶点恰好落在矩形上侧的边的中点处．以矩形下侧的边所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． 【问题解决】 (1)请在图1中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式． (2)在（1）的条件下，设计师对抛物线下方的墙面区域，设计了以下两种装修方案：方案一：如图2，在矩形下方区域围出两条完全相同的新抛物线造型装饰线条，它们的开口方向与（1）中的抛物线相反，但开口大小（二次项系数的绝对值）相同，这两条抛物线的顶点都在矩形下侧的边上．点分别是抛物线与矩形左右侧边的交点，且在同一条水平线上．方案二：如图3，利用与矩形下侧的边垂直的两条等长装饰线条和，将抛物线下方区域分割为三个装饰区块，其中点均在矩形下侧的边上，且整个装饰图形关于轴对称． ①方案一中，设计师助理认为图2中点到矩形下侧的边的距离与点到矩形上侧的边的距离的比值为，请通过计算验证该说法是否正确． ②方案二中，若到矩形右侧边的水平距离等于点在竖直方向到抛物线的距离的5倍，当两条装饰线条的总长度（）最大时，请直接写出的长度． 18．图1、图2分别是小宇家阁楼装修的效果图和示意图，他要用木条对墙面进行装饰，、为阁楼屋梁，装饰木条、分别与、平行，且均与抛物线窗户有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条、之间搭建支架、、，其中点、在抛物线上，点、分别在木条、上． 信息一：窗户水平宽度为米，竖直高度为米（其中为抛物线顶点）．建立如图2所示的平面直角坐标系，为原点，所在的直线为轴，抛物线的对称轴为轴． 信息二：和关于轴对称，且关系式为，轴，轴，轴． 请解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求木条所在直线的函数表达式； (3)小宇购进了总长为3米的木条，计划用于制作装饰木条、和支架、、，请你通过计算判断3米长的木条是否够用．（木条裁剪过程中的损耗不计） 19．综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 20．在平面直角坐标系中，O为原点，等边的顶点，，点C在第一象限，边与x轴相交于点D．点P为x正半轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转和，分别得到线段和线段，连接，得到． (1)填空：如图1，点C的坐标为______，线段的长为______； (2)设，与重叠部分面积为S． ①如图2，若边与边和分别相交于点E和点F，边与边和分别相交于点H和点G．当与重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 试卷第10页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．(1) (2)点横坐标为5 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，求出直线解析式为，设，则，可得，再由，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴ ， ∵， 当时，的面积最大，则点横坐标为5． 2．(1) (2)当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是 (3)小明的空间可以更大，当长为2.5时，空间的最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：； ，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是； （3）解：能．设长方形的长为，则宽为， 则， ． 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的空间可以更大，当长为2.5m时，空间的最大面积为． 3．(1)窗子顶端E到底边的距离为 (2)点滑动到距离处时，面积最大，为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用： （1）过点作，垂足为，交于点，证明四边形为矩形，得到，解，求出的长，进而求出的长即可； （2）设与之间的距离为，的面积为，分和两种情况，求出函数解析式，利用一次函数和二次函数的性质，求最值，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，交于点，则：， ∵矩形， ∴， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 答：窗子顶端E到底边的距离为； （2）设与之间的距离为，的面积为， 由（1）可知：，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 当时，点在线段上， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积为， ∴当时，有最大值为：； 当时，此时，点在线段上， ∴设交于点， 则：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴当点滑动到距离处时，面积最大，为． 4．(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 5．(1) (2)的边长 (3)当长为时，实验田的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数在几何中的应用，涉及到了矩形的性质，通过篱笆长度建立等式是解决问题的关键，长不能超过墙的长时间易错点． （1）根据题意，篱笆长度，由此可知与的函数解析式，矩形的面积，从而可得与的函数解析式； （2）当时，代入二次函数求自变量的值，结合题意即可； （3）根据二次函数求最值的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴矩形的面积， ∴与，与的函数解析式分别是； （2）解：当时，， 整理得，， 解得：， ∵墙的长为， ∴， ∴， 当时，， ∴矩形实验田的边长； （3）解：∵， 该二次函数开口向下，对称轴是直线， 由题意可知， ∴当时，， 此时， ∴当长为时，实验田的面积最大，最大面积是． 6．(1)坐标系见解析，； (2)1； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意建立坐标系，并求出解析式； （2）设C的横坐标为m，E的横坐标为，进而求出纵坐标，表示出，然后建立方程求解即可； （3）由题意可知，进而建立关系式求解即可． 【详解】（1）解：作出坐标系如下图所示： 设抛物线的解析式为， 由题意知，，， 对称轴为直线，即， ， 则， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ，， 直线解析式为， ，， ，， ， ， 解得或， 与之间的距离为1或3， 在的左侧， 与之间的距离为1； （3）解：延长，交x轴于G，H， 设C的横坐标为m，则E的横坐标为， 由（2）知， ， ， = 7．(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆），且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答； （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， 米， 故答案为：； （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ， 在时，此时（米），取得最大值，最大为平方米， 当为米，围成的菜地面积最大，最大为平方米． 8．(1)抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 9．(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 10．(1) (2)栅栏与墙平行的边的长度为21米 【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙垂直的边，再结合面积公式列函数表达； （2）根据（1）中的函数表达式，令，求出对应的的值，再根据墙的长度是，则，取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为，则与墙垂直的边的长度为， ． （2）解：令， ，解得，， ∵墙的长度是， ． ． 答：栅栏与墙平行的边的长度为21米． 11．(1) (2)的长为4米，的长为2米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、矩形的性质，理解题意，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）在中，，则得到，根据题意，得，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图②， 所在直线是的垂直平分线，且， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 点在抛物线上， 解得： 抛物线的函数表达式为； （2）解：点在抛物线上， 设点的坐标为， ，交轴于点， ， ， 在中，， ， .，根据题意，得， ， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 答：的长为4米，的长为2米． 12．(1)函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)所占的面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意并掌握数形结合是解题的关键． （1）根据题意，判断出顶点的坐标以及点的坐标，采用顶点式表示其函数表达式，利用待定系数法进行计算，得出其函数表达式即可； （2）结合题意，可知点、点关于直线对称，，结合，得出点的坐标为，代入函数表达式进行求解即可； （3）由点横坐标，得点纵坐标，结合，可得点纵坐标，又米，得点纵坐标，代入函数表达式，求出点、点的横坐标，即可得出所占的面积． 【详解】（1）解：∵大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令抛物线对应函数表达式为， ∵点为顶点坐标， ∴故，， ∴，将点， 代入得， 解得， ∴函数表达式为． （2）解：∵， ∴点、点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴所在直线为， ∵， 假设，， ∴点的坐标为， 将该坐标代入， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴，， 故点的坐标为． （3）解：∵点到保温墙的距离为7.5米， ∴点横坐标为， 代入求其纵坐标为， ∵，， ∴点纵坐标为， ∴， 解得或， ∵轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， ∴， ∵， ∵， 得所占的面积为． 13．(1) (2)（ⅰ）见解析，；（ⅱ）液体的最大深度为 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（ⅰ）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 14．(1)③ (2) (3) (4)，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏 【分析】（1）设“b值函数”为，且a为非0的确定常数，结合二次函数的性质逐项分析即可得出结果； （2）先求出“b值函数”与轴的交点坐标为或，再结合题意得出，求解即可； （3）由（1）可得“b值函数”的顶点坐标为，结合题意得出，，由此计算即可得出结果； （4）由矩形的性质可得，求出，结合矩形的面积公式可得，再由二次函数的性质解答即可 【详解】（1）解：设“b值函数”为，且a为非0的确定常数， 令，则， 当时，，此时有两个相等的实数根，则与轴只有一个交点，故①错误； ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵是大于0，还是小于0，是不确定的， ∴增大时，无法确定是增大还是减小，故②错误； 当b值取相反数时，新的顶点为，即， 两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于轴对称，故③正确； （2）解：令，则， 解得：，， ∴“b值函数”与轴的交点坐标为或， ∵对于“b值函数”，与x轴的一交点为，且， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：“b值函数”的顶点坐标为， ∴，， ∴，即； （4）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是“b值函数”， ∵，且， ∴顶点坐标为， ∴当增大时，顶点的横纵坐标均增大， ∵当时，取得最大值为，羊圈最大面积是， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴，该函数是“b值函数”， 当增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是时，需要用的栅栏． 15．(1)， (2)当时，面积差的最大值为 (3)的值为或 【分析】（1）根据题意表示出，，然后利用矩形面积公式分别求解即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相差2列出方程，由都有唯一值，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， ， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为； （3）解：水池1与水池2的面积相差为2，， 或， 整理得，或， 有唯一值， 或， 解得，或． 16．(1) (2)当时，点落在边上 (3) 【分析】本题属于四边形动点问题，计算量较大，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，解题的关键是利用分类讨论思想分别画出图形，利用三角函数进行求解． （1）根据题意得出，再由三角函数确定，，即可求解； （2）依据题意，当点落在上时，，得到，通过求解三角形得到，进而完成求解． （3）需要分三种情况讨论，①当点在上，点在矩形内部或者边上时，全部在矩形内部，求出，即可得到答案；②当点在上，点不在矩形边上时，重叠部分的面积即与面积之差，先求出的值，列出，求解三角形得到，进而得到的面积，最终完成求解；③当点在上，利用三角形的面积公式即可完成求解． 【详解】（1）解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴当点F与点D重合时，， ∴； （2）解：如图所示，当点落在上时， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵点运动速度为每秒个单位长度， ∴点落在边上时，运动了秒． 故当时，点落在边上． （3）解：因，故的最大值为， ①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部， 此时为直角三角形，，， ∵， ∴， ∴等边三角形的高为， ∴面积为， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ②当点在上，点不在矩形边上时， 此时，，， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴等边与矩形重叠部分的面积为， 当时，达到临界值，即时，， ，此时． ③当时，点在上，点不在矩形边上时， 此时，， ∴， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ∴与的函数解析式为 17．(1)，图见详解 (2)①设计师助理的说法不正确，见解析 ② 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数表达式； （2）①确定抛物线的顶点坐标和二次项系数，利用待定系数法求出函数表达式，然后求解即可； ②设，根据函数表达式求出相关距离，然后列出的函数表达式，利用二次函数的图象和性质求出最值即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下： 由题意得，，抛物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：①设计师助理的说法不正确，理由如下： 由题意得，过点的抛物线和过点的抛物线的二次项系数都为， ∵过点的抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴过点的抛物线的函数表达式为 当时，， ∵点到矩形上侧的边的距离为，， ∴设计师助理的说法不正确； ②设， 则到矩形右侧边的水平距离为， 点在竖直方向到抛物线的距离为， ∴， 整理得， ∴当时，的长度最大， 根据对称性可得，，即当时，的长度最大， ∴． 18．(1) (2) (3)够用，见解析 【分析】（1）由题意得，顶点，，再由待定系数法求解即可； （2）设直线表达式为：,与抛物线联立得，，整理得，，根据直线与抛物线有一个交点，则，即可求解； （3）先求出，，则，设装饰木条和支架的总长度为，设，则，则，再求出，然后根据二次函数的性质求解的最大值与比较． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设抛物线表达式为 将代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴设直线表达式为： 与抛物线联立得，， 整理得，， ∵直线与抛物线有一个交点， ∴ 解得， ∴直线表达式为：； （3）解：够用，理由如下： 将代入得， ∴， 将代入得， 解得 ∴ ∴， 设装饰木条和支架的总长度为， 设，则， ∴ 当时，， 解得 ∴， ∵，对称轴为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，， 答：米的木条够用． 19．(1) (2)7 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 20．(1)， (2)①，；② 【分析】（1）利用等边三角形的性质结合坐标与图形的性质求解即可； （2）①利用等边三角形的性质结合解直角三角形求解即可；找到两个临界点，当点与重合和点恰好在上时，据此计算即可求得t的取值范围； ②分三种情况建立关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵等边的顶点，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：①由（1）得，， 又∵， ∴， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为直角三角形， 在中，，且， ∴，即， ∵线段由绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∴， 由（1）可知， ∴； 当点与重合时，与重叠部分不是五边形，此时； 当点恰好在上时，与重叠部分不是五边形，如图， ，， ∴， ∴t的取值范围为； ②当时，如图， 过作于， 同理可得：,轴，， ∴，， ∴， ∴， 当时，重叠部分为五边形，如图， 由①得，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，中，， ∴， 由题意得是等边三角形，且边长为， ∴底边上的高为， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 当时，如图，记与的交点为， ， ∴， ∴当时，S的取值范围为． $