精品解析：河北石家庄外国语学校2025-2026学年下学期七年级期中考试数学试卷

2025-2026学年第二学期七年级期中考试 数学学科试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 4. 下列算式中，运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 若，则 D. 对于直线a，b，c，如果，，那么 6. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则常数○和★的值分别为（ ） A. 8和2 B. 12和2 C. 12和 D. 8和 7. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 8. 用代入法解方程组：，下面的变形正确的是（　　） A. 2y﹣3y+3=1 B. 2y﹣3y﹣3=1 C. 2y﹣3y+1=1 D. 2y﹣3y﹣1=1 9. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 二、填空题：（本题共有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 14. 已知二元一次方程组，则的值为________． 15. 如图是长为，宽为的长方形，如果它的周长为14，面积为10，那么的值为______． 16. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，，则可能的值为_______． 三、解答题：（本大题共有10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． （1）请补全三角形； （2）线段平移过程中扫过的面积为________； （3）过点C作的平行线（点D在格点上） 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 22. 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． （1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A． B． C． D． 【应用】 （2）已知，，请计算的值； 【拓展】 （3）已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 23. 如图，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 24. 观察下列算式：① ② ③ （1）请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； （2）请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 25. 五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ （2）现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 （3）在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 26. 如图（1），将一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． （1）填空：如图（1），________，________． （2）如图（2），现把三角尺绕点C顺时针方向旋转，此时点B恰好落在边上，交于点H，若，求的度数． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点B以每秒的速度沿逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的速度沿顺时针方向旋转得到射线（如图3）．当射线第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为t秒、在旋转过程中，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期七年级期中考试 数学学科试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据任何非零数的0次幂等于1即可解题． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟知科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C 3. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 4. 下列算式中，运算结果为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、， 故选：B． 5. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 若，则 D. 对于直线a，b，c，如果，，那么 【答案】D 【解析】 【分析】运用对顶角性质、平行线性质、平方的性质等知识点，逐个判断选项即可得到正确结论． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题； C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题； D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题． 6. 关于x、y的二元一次方程组的解为，则常数○和★的值分别为（ ） A. 8和2 B. 12和2 C. 12和 D. 8和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解．把解代入方程组中求解即可． 【详解】解：将的代入， 解得：，即★的值为， 将和代入得， 故选：D． 7. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 8. 用代入法解方程组：，下面的变形正确的是（　　） A. 2y﹣3y+3=1 B. 2y﹣3y﹣3=1 C. 2y﹣3y+1=1 D. 2y﹣3y﹣1=1 【答案】A 【解析】 【分析】将②代入①，整理即可得到相应的方程． 【详解】， 把②代入①得：2y−3y+3=1， 故选A． 【点睛】考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． 9. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 10. 下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 11. 我国古典数学文献《增删算法统宗，六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊，如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．由乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍，可得；由如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，可得，进而可列方程组． 【详解】解：∵如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍， ∴； ∵如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 12. 如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（ ） A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积，完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式；根据图形列出算式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意可得，，然后进行化简计算即可解答． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图①得： ， ∴， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 由图②得： ， ∴， ∴， ∴， ∴图②所示的大正方形的面积 ， ∴，（负根舍去），故甲的说法错误； ∴． 故选：B． 二、填空题：（本题共有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算规则，掌握负整数指数幂的转化方法是解题关键． 根据负整数指数幂的运算规则，（其中），直接代入计算． 【详解】解：由负整数指数幂的定义，． 故答案为：． 14. 已知二元一次方程组，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】方程组两方程相加后再在左右两边同除以3，求出所求即可． 【详解】解：， ①+②得：3x-3y=6， 左右同除以3得：x-y=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 15. 如图是长为，宽为的长方形，如果它的周长为14，面积为10，那么的值为______． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据提公因式法进行计算即可． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形的周长为14，面积为10， ∴，， 故，， 则． 16. 如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，，则可能的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，根据的平移过程，一元一次方程的应用，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； 第二种情况：如图，当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ， 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共有10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）4 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方，同底数幂乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （4）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （5）逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 把①代入②，得 解得 把代入①，得 原方程组的解为 【小问2详解】 解： ①，得③ ②+③，得 解得 把代入①，得 解得． 原方程组的解为 19. 如图，在边长为1的方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点． （1）请补全三角形； （2）线段平移过程中扫过的面积为________； （3）过点C作的平行线（点D在格点上） 【答案】（1）见解析 （2）20 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可知向左平移5个单位，再向下平移1个单位得到，据此依次得到点、的对应点、，最后依次连接即可； （2）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算解题； （3）在上取格点，根据点M向右平移2格向下平移1格到达点C，将点B向右平移2格向下平移1格到达点D，连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：∵线段平移过程中扫过的面积即为四边形的面积， ∴． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；19 【解析】 【分析】先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数值，计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 21. 把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线，被直线所截，点为与的交点， 于点，，．试说明：． 解：∵（已知）， （ ① ）， 又∵（已知）， ② ， ∵（ ③ ）， ， 又∵（已知）， ④ （ ⑤ ）， （ ⑥ ） 【答案】①垂直定义； ②；③对顶角相等；④1 ；⑤等量代换；⑥同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】要证，只需证，由已知条件、垂线的定义结合对顶角相等，得，即可求解． 【详解】解：∵（已知）， （垂直定义）， 又∵（已知）， ． ∵（对顶角相等）， ， 又∵（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 22. 【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． （1）上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A． B． C． D． 【应用】 （2）已知，，请计算的值； 【拓展】 （3）已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】（1）A （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【小问1详解】 解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 23. 如图，，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 24. 观察下列算式：① ② ③ （1）请按照以上三个算式的规律写出第④个算式：_____； （2）请按照以上规律写出第个算式_______________，并证明所写式子的正确性． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，完全平方公式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干的过程，即可得出第④个算式； （2）观察题干的过程，以及（1）中的第④个算式为：，则第个算式为：，然后把等式的左边的式子展开合并同类项，得，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，第④个算式为：； 【小问2详解】 解：观察题干的过程以及（1）中的第④个算式为：； 以此类推，得第个算式为：； 证明： ． 25. 五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． （1）求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ （2）现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 （3）在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 【答案】（1）一辆小货车一次满载可运300件，一辆大货车一次满载可运400件 （2）共两种方案，①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 （3）不够 【解析】 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据解析（1）的结果列出方程，然后根据、均为正整数得出答案即可； （3）根据解析（2）的方案求出租车费用，再进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品． 【小问2详解】 解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，， 答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 【小问3详解】 解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下： 方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）； 方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出3600元用于租车，不够用． 26. 如图（1），将一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． （1）填空：如图（1），________，________． （2）如图（2），现把三角尺绕点C顺时针方向旋转，此时点B恰好落在边上，交于点H，若，求的度数． （3）按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点B以每秒的速度沿逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的速度沿顺时针方向旋转得到射线（如图3）．当射线第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为t秒、在旋转过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）， （2） （3）12或48 【解析】 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质求出结果即可； （3）分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为12或48． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $