9.2正弦定理与余弦定理的应用第一课时课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第1课时　解三角形在实际测量中 的应用(一) 第九章　9.2　正弦定理与余弦定理的应用 年份 卷别 题号 分值 核心考点（正 / 余弦定理应用） 2025 新高考 Ⅱ 卷 第 5 题 5 分 余弦定理：已知三边求角 2025 全国甲卷 第 16 题 5 分 正余弦定理 + 面积公式：三角形面积最值 2025 全国乙卷 第 17 题 12 分 正弦定理 + 余弦定理综合：边角互化、求周长 / 面积 2025 北京卷 第 16 题 10 分 正余弦定理 + 三角恒等变换：解三角形、求角 2025 天津卷 第 15 题 5 分 正弦定理：边化角、判断三角形形状 考点衔接 1.三角形的面积公式 2.正弦定理 3.余弦定理 在测量工作中.经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度.因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量. 假设给你米尺和測量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由. 情景与问题 图中角楼的高度问题可以转化为：用米尺与测量角度的仪器来怎样得到不便到达的两点之间的距离？ 思考？ 如何把上述实际问题转化为数学模型， 同学们讨论，设计出合理的测量AB高度的方案。 不能到达底部的高度问题 如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离.在能到 达的地方选定位置C进行测量。用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α ,但是因为点A, B都不便到达，所以∆ABC的3条边都无法用米尺测量. 角楼的高度 （1） 如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D,并使得CD的长m能用米尺测量。用测量角度的仪器测出 ∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ACD=θ，∠ADC=φ. 然后，利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长. （2） 方案一 不能到达底部的高度问题 在 ∆BCD中，因为∠CBD=π-β-γ，所以由正弦定理可得 在 ∆ACD中，因为∠CAD= ，所以由正弦定理可得 在 ∆ABC中，由余弦定理可得 AC，BC，α都已求出，是已知的。从而能求出AB的长。 不能到达底部的高度问题 如图所示，沿着BC方向走一段距离到达D点，用米尺测量出CD的长度为m.用测量角度的仪器测量出∠ACB=α, ∠ADC=β. 在∆ADC中，∠CAD=α-β,由正弦定理得 在 ∆RtABC中可得AB=AC·sinα 方案二 不能到达底部的高度问题 A 高度测量问题有以下两个关注点. (1) 空间向平面的转化. 髙度测量问题往往是空间中的问题.为了方便观察，减小 误差，需要 将空间问题转化为平面问题. (2) 解直角三角形与解斜三角形结合。 全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 选取合理的方案。 (如情景问题的解答，方案2相对优于方案一.) 不能到达底部的高度问题 3. 方位角与方向角 （1）从正北方向顺时针转到目标方向线的最小角叫方位角（取值范围：0°～360°）.如图（1），目标A的方位角为135°. （2）从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的角叫方向角. 如图（2），目标A的方向角为北偏东30°，目标B的方向角为南偏东45°. 补充与测量有关的常用术语 1.基线 : 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 2.铅锤平面：与地面垂直的平面 4. 仰角与俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角叫仰角. 视线在水平线下方时与水平线的夹角叫俯角（如图(1)所示）. 5.坡角与坡度 坡面与水平面的夹角叫坡角， 坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(如图(2))，坡度α＝ (2) (1) 补充与测量有关的常用术语 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 例1 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 练习 15 一、距离问题 例1　(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是 √ 解析　根据题意，可得右图. 在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°. (2)某基地进行实战对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离. 解　方法一　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 在△ADB中，由余弦定理得 方法二　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD为等边三角形． ∵∠ADB＝∠BDC， ∴BD为线段AC的垂直平分线， 三角形中与距离有关的问题的求解策略 (1)测量一个可达点到另一个不可到达点之间的距离，即所求的线段在一个三角形中，直接利用正弦、余弦定理求解. (2)测量两个不可达点之间的距离，即所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当三角形，再利用正弦、余弦定理求解. 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 例2 15m 练习 题型1 距离 题型2 高度 题型3 角度 二、高度问题 例2　(1)如图，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于 √ (2)如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 解　由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD. 因此只需在△ABD中求出AD即可， 在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°， 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图. (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形. (3)求解：运用正弦、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的应用. 三角测量中的数学抽象 典例　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝ ，cos C＝ .求索道AB的长. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)] ＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C 所以索道AB的长为1 040 m. 1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点间的距离为 √ 解析　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°， 实际应用问题 2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为 √ 1 2 3 4 5 解析　由题意知，A＝B＝30°， 所以C＝180°－30°－30°＝120°， 3.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于 √ 1 2 3 4 5 29 解析　方法一　设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m. 1 2 3 4 5 方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°， ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°. 30 1 2 3 4 5 31 4.如图，甲、乙二人同时从点A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30°方向走.当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC等于 1 2 3 4 5 √ 解析　依题意知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC， 即3＝22＋AC2－2×2·AC·cos 60°， AC2－2AC＋1＝0. 解得AC＝1. 即甲走的路程AC等于1 km. 1 2 3 4 5 5.江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距 m. 在△ABC中，由余弦定理得， 1.知识清单： 距离、高度等实际问题的测量方案. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：由已知条件画出图形易出错. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 本课结束 A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里 由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5. ∴AD＝CD＝a km. 由正弦定理＝， 得BD＝CD·＝a·＝a(km). 则BC＝＝a， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝a2＋2－2·a·a·＝a2， ∴AB＝a km. 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 由正弦定理得＝， ∴AB＝BC＝a km， 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. A.100米 B.50 米 C.50 米 D.50(＋1)米 解析　设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h， ∴h－h＝100，即h＝50(＋1). 由＝， 得AD＝＝＝800(＋1)m. 即山的高度为800(＋1)m. 解　在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. ＝×＋×＝. 由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m). A.50 m B.50 m C.25 m D. m 在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50 (m). 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4. A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m A.10 m B.5 m C.5(－1) m D.5(＋1) m 解得x＝5(＋1). ∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m. 由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC ∴tan∠ADB＝＝＝. ∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m. ＝·sin 30°＝(m)， A.2 km B.2 km C. km D.1 km 30(－1) AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cos∠ACB＝(30)2＋602－2×30×60×cos 15°＝1800(2－)， 所以AB＝30(－1)m. 解析　由题意可知AC＝＝60(m)， BC＝＝30(m)，∠ACB＝15°， $