9.1.2 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理 利用如图91-6(1)所示的现代测量工具，可以方便地測出3点之冋的一些距离和角.从而可得到未如的距离与角. 情境与问题 例如，如图9-1-6(2)所示，A, B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一 点C.然后使用测量仪得出AC，BC以及 ACB的大小.你能根据这3个量求出 AB 吗？ 把实际问题抽象成数学模型 2 已知a，b和角C,如何求c? 思考？ 向量法： 同理可证 3 三角形任意一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍. 又余弦定理可以看出，已知三角形两边及其夹角，可以求出该三角形的第三边. 余弦定理 语言表述： 符号语言： 适用范围： 任意三角形 4 例1 在∆ABC中，已知a=3,b=6,C=60°,求c. 解：由余弦定理可知 已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定. 这与我们初中所学的三角形全等的判定定理SAS 一致. 已知三角形的两边及其中一边的对角，这个三角形能唯一确定吗？ 事实上，当角为较长边所对的角时，三角形唯一确定. 余弦定理的应用——已知三角形两边及其夹角，求第三边 思考？ 提示：不能唯一确定。 这与初中所学的SSA不能作为三角形全等的判定定理一致. 5 例2 在∆ABC中，已知a=6,b=4,c= ,求C. 解：由余弦定理可知 已知三角形的3条边时，可求出该三角形的三个角， 而且该三角形也唯一确定. 这与初中所学的三角形全等的判定定理SSS一致. 余弦定理的应用——已知三角形三边求角 6 余弦定理变形 已知三边求任意角 7 答案：(1)7 (2)90º (3)7 (4)45º (5)3 课堂小结 余弦定理 余弦定理变形 余弦定理应用 （1）已知两边及其夹角，求第三边及另两个角。（SAS） （2）已知三边，求三个角。 （3）判断三角形形状。 12 谢谢 13 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理（2） 复习回顾 1、余弦定理 15 复习回顾 2、公式变形 16 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； （2）已知三边，求三个角。 复习回顾 17 余弦定理的应用——判断三角形形状 判断三角形形状的方法： （2）角C为直角： （1）角C为钝角： 勾股定理是余弦定理的特殊形式 三角形ABC为钝角三角形 三角形ABC为直角三角形 （3）角C为锐角： 注意：角C为锐角三角形形状不能确定，需三个角都为锐角 18 例1 一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A、3，4，5 B、2，3，4 C、1，2，3 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A中3，4，5是一组勾股数，所以这三边组成的是直角三角形显然不满足。 最大边对应的角为钝角，满足条件。 最大边对应的角为锐角，不满足条件。 C中由1，2，3这组数为边长够不成三角形。显然不满足。 构成三角形的条件： 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。。 （大边对大角，小边对小角，大角对大边，小角对小边） 19 提升训练 例2 在∆ABC中，已知acosA=bcosB是判断这个三角形的形状. 解：由余弦定理可知 故∆ABC是等腰三角形或直角三角形. 法一 余弦定理的应用——判断三角形形状 余弦定理 角化边 21 法二：利用正弦定理 例2 在∆ABC中，已知acosA=bcosB是判断这个三角形的形状. 所以 2RsinAcosA=2RsinBcosB, 即2sinAcosA=2sinBcosB, 从而sin2A=sin2B, 从而A=B 或 A+B= 故∆ABC是等腰三角形或直角三角形. 余弦定理的应用——判断三角形形状 正弦定理 边化角 因此2A=2B或 2A+2B=π 22 判断三角形形状方法： 23 2、在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状. 解：方法一:因为b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C. 所以利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin B·sin C·cos B·cos C. 因为sin Bsin C≠0,所以sin B·sin C=cos Bcos C. 所以cos(B+C)=0.所以cos A=0. 提升训练 2、在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状. 方法二:已知等式可化为 b2-b2cos2C+c2-c2·cos2B=2bccos Bcos C, 由余弦定理可得 所以b2+c2=a2,所以△ABC为直角三角形. 提升训练 25 余弦定理的应用——证明三角形中的恒等式 例5 求证：a=bcosC+ccosB. 证明：如图所示 因此 又由图可知 所以 a2=bacosC+cacosB, 即 a=bcosC+ccosB. 思考？ a=bcosC+ccosB能否用向量的几何意义解释？ 同理可得 b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA. 三角形的射影定理 利用这个结论可以快速解决有关的选择题和填空题。 26 提升训练 例4 如图所示平行四边形ABCD中，已知B+D=180°,AB=2,BC= AD= ,求四边形ABCD面积. 解：连接点A，C，如图所示. 在∆ABC与∆ADC中分别使用余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosB, AC2=AD2+CD2-2AD×CDcosD. 又因为B+D=180°，所以cosD=cos(180°-B)=-cosB, 因此 解得cosB=0,因此cosD=0,则B=D=90° 从而可知四边形的面积为 平面多边形问题转化为三角形问题。 余弦定理的应用 28 正、余弦定理的应用——三角形面积问题 例5 在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asin (1)求角A的大小; (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积. 29 例6.已知 ∆ABC 中, ，求∆ABC面积的最大值 正、余弦定理的应用——三角形面积最值问题 变式. 锐角 ∆ABC 中, ，求∆ABC面积的最大值 30 正、余弦定理的应用——三角形周长最值问题 例7.已知 ∆ABC 中, ，求∆ABC周长的范围 变式. 锐角 ∆ABC 中, ，求∆ABC周长的范围 31 已知平行四边形ABCD,求证：AC2+BD2=2(AB2+AD2). 证明： 设AD=a,AB=b,∠BAD=α. 在∆ABC中，由余弦定理可知 BD2=a2+b2-2abcosα. 在∆ACD中， AC2=a2+b2-2abcos(π-α). A B C D 两式相加可得 AC2+BD2=2(a2+b2). 即 AC2+BD2=2(AB2+AD2). 补充练习题 32 当堂检测 1.在△ABC中,若a<b<c,且c2<a2+b2,则△ABC为 (　　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 答案:B 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求△ABC面积的最大值. 答案: （2）△ABC面积的最大值为+1. 谢谢 34 【变式练习】 在△ABC中： (1)已知b＝8，c＝3，A＝60°，求a； (2)已知a＝20，b＝29，c＝21，求B； (3)已知a＝3 eq \r(3) ，c＝2，B＝150°，求b； (4)已知a＝2，b＝ eq \r(2) ，c＝ eq \r(3) ＋1，求A. (5)已知在△ABC中，a＝1，b＝ eq \r(7) ，B＝60°，求角C. 例3. 边长为 的三角形中，求最大角与最小角的和 解：不妨设5，7，8所对的角分别为A，B，C 由于5<7<8, ，故C为最大角，A为最小角 ， 由于 ，故 【变式练习】 1. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝( eq \r(3) ＋1)∶( eq \r(3) －1)∶ eq \r(10) ，求最大角. 解：∵ eq \f(a,sinA) ＝ eq \f(b,sinB) ＝ eq \f(c,sinC) ＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝( eq \r(3) +1)∶( eq \r(3) －1)∶ eq \r(10) 设a＝( eq \r(3) ＋1)k，b＝( eq \r(3) －1)k，c＝ eq \r(10) k (k＞0) 则最大角为C cosC＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f((＋1)2＋( eq \r(3) －1)2－ eq \r(10) 2,2×( eq \r(3) ＋1) ( eq \r(3) －1)) ＝－ eq \f(1,2) ∴C＝120°. 2.在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍， 求此三角形的三边长. 解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则 eq \f(x,sinα) ＝ eq \f(x＋2,sin2α) ＝ eq \f(x＋2,2sinαcosα) ，∴cosα＝ eq \f(x＋2,2x) ① 又由余弦定理可得 x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα ② 将①代入②整理得x2－3x－4＝0 解之得x1＝4，x2＝－1（舍） 所以此三角形三边长为4，5，6. 解:在△ABC中,设a=x(x>0),则b=x,c=2x. 显然c最大,故角C最大. 因为 所以C=,即△ABC是直角三角形. 因为0<A<π,所以A=,所以△ABC为直角三角形. b2+c2-b2·-c2· =2bc· 3. 在 ABC中，求证： B=b. 解:(1)由2asin B=b及正弦定理,得sin A=. 因为A是锐角,所以A=. (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36. 又b+c=8,所以bc=. 由三角形面积公式S=bcsin A,得△ABC的面积为. （1）B=. $