专题10分式的加减、乘除复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期

专题10分式的加减、乘除复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.透彻理解分式加减、乘除的运算法则，明确运算核心逻辑； 2.熟练掌握同分母、异分母分式的加减运算，规范通分、约分步骤； 3.掌握分式乘除、乘方的运算方法，能准确处理符号与因式分解； 4.规避运算中的常见易错点，保证运算结果化为最简分式； 5.能结合基础例题，灵活运用运算法则解决简单计算问题。 核心题型◆归纳 题型1同、异分母分式加减法 题型2整式与分式加减 题型3已知分式恒等式、确定分子或分母 题型4分式加减混合运算 题型5分式加减的实际应用 题型6分式乘除法 题型7分式乘方 题型8含乘方的分式乘除混合运算 题型9分式化简求值 题型10分式最值 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点01分式的加减运算 1.分式加减的本质：“同分母相加减，分母不变，分子相加减”；异分母需先通分，转化为同分母分式后再运算，最终结果化为最简分式。 2.同分母分式加减法则 文字描述：若分式的分母相同，直接将分子相加减，分母保持不变. 公式： = (B≠0) 注意：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，避免符号出错；加减后需检查分子、分母是否有公因式，及时约分。 2.异分母分式加减法则 文字描述：先找最简公分母 → 通分（将异分母分式化为同分母分式） → 按同分母分式加减法则运算。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 关键：最简公分母的确定（与分式通分一致） 系数：各分母系数的最小公倍数； 字母：所有出现的字母，取最高次幂； 多项式：先因式分解，再取整体公共因式。 知识点02分式的乘除运算 1.分式乘除运算核心：“转化为乘法运算”，先对分子、分母因式分解；再约去公因式，最后计算乘积。 2.分式的乘法法则 文字描述：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母， 公式：×==.(B≠0,D≠0) 技巧：相乘前，先将分子、分母分别因式分解，再约去分子与分母的公因式，简化运算。 3. 分式的除法法则 文字描述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除以一个数等于乘它的倒数）. 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 注意：除式颠倒后，符号也要随之颠倒；若除式是整式，可将其看作分母为1的分式再运算。 4.分式的乘方 文字描述：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再将结果相除， 公式：=. (B≠0, n为正整数） 注意：乘方时，分子、分母要同时乘方。 知识点03分式混合运算注意事项 （1）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的； （2）关于符号：遵循“同号得正，异号得负”，多个负号相乘/相除，奇负偶正； （3）关于结果：运算结束后，必须将结果化为最简分式（分子、分母无公因式）； （4）因式分解：分式乘除、异分母加减前，先对分子、分母因式分解，是简化运算的关键。 知识点04知识点易错提醒 1.加减：异分母分式加减，忘记先通分，直接分子、分母分别加减； 2.通分：找最简公分母时，漏看字母的最高次幂或因式分解后的整体因式； 3.乘除：分式除法忘记将除式颠倒（乘倒数），直接分子除以分子、分母除以分母； 4.约分：未因式分解就盲目约分，或约去分子、分母中的加减项； 5.符号：乘除运算中，颠倒除式时漏变符号；多个负号运算时，判断错误； 6.结果：运算结束后，未将结果化为最简分式，导致扣分。 题型解析◆精准备考 题型1同、异分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】原式根据同分母分式加减法则计算，再对结果因式分解约分，得到最简结果． 【详解】解：． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型2整式与分式加减 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，进行计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 2．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序． （1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可； （2）先通分化为同分母的分式加减解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型3已知分式恒等式、确定分子或分母 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 2．已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设它的另一个因式为 ，则，再利用多项式的乘法法则展开，比较系数即可求解； （2）把等式右边两个分式通分相加，再比较两边分子的系数即可求得A、B的值，从而可求解； （3）由题意设它的另一个因式为（为常数），则，再把右边展开，合并同类项，比较系数即可． 【详解】（1）解：设它的另一个因式为 ， 则 比较两边的系数，得， 解得； （2）解：， ， ， 比较分子的系数得， ∴ ； （3）解：设它的另一个因式为（为常数） 则 ， 比较两边的系数，得，解得， ． 题型4分式加减混合运算 1．若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 2．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 3．计算：（写出必要的计算过程） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算和减法运算，正确运用有理数加减法运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）原式根据有理数减法运算法则进行计算即可； （4）原式根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5分式加减的实际应用 1．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式（分式），通过设距离比较时间，利用速度、路程和时间的关系，得出甲先到达的结论，与速度v无关，设从A地到B地的距离为，根据时间=路程÷速度可以求出甲、乙两人同时从A地到B地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设A到B的距离为，则中点为s． ∵甲的速度为v， ∴甲所用时间． ∵乙先用速度到达中点，再用速度到达B地， ∴乙第一段时间，乙第二段时间， ∴乙总时间． ∵， ∴， ∴甲先到达B地． 故选：B． 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 3．张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【答案】李明先到达乙地． 【分析】本题考查分式的应用及作差法比较大小，关键是运用行程问题中“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出张华和李明从甲地到乙地的总时间，再通过作差法比较时间长短，时间短的先到达目的地． 【详解】解：设甲地到乙地的总路程为． 设张华的步行总时间为，李明的步行总时间为： ∵张华前半程路程为，速度为，后半程路程为，速度为， ∴前半程时间为，后半程时间为， ∴； ∵李明全程平均速度为，总路程为， ∴， ∴， 又∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明先到达乙地． 题型6分式乘除法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 2．计算：______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式分母进行因式分解，再根据分式除法法则将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算和分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方和多项式除以单项式，最后合并同类项即可； （2）先将除法转化为乘法，利用完全平方公式和提取公因式化简，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型7分式乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 2．计算： (1)____________； (2)________________________． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】运用分式乘方法则、积的乘方法则与幂的乘方法则分步计算，先将分式的分子、分母分别乘方，再通过幂的相关运算法则化简得到最终结果． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，分式混合运算法则，进行计算即可； （2）先计算括号内的分式加减运算，再根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8含乘方的分式乘除混合运算 1．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 【答案】B 【分析】先计算分式的乘方，再把所给的等式利用分式的乘除混合运算法则化简，然后结合积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 2．____． 【答案】 【分析】先根据分式的乘方法则计算两个分式的乘方，再将分式除法转化为分式乘法．最后约分得到结果． 【详解】解： ． 3．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型9分式化简求值 1．若当时，分式的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接将代入求值即可． 【详解】解：当时，分式，即选项B符合题意． 2．已知，则分式的值为___________ 【答案】 【分析】根据已知等式得到，将其代入所求分式，约分计算即可得到结果． 【详解】解：，则， 又，即， ∴． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式， 当时，原式． 题型10分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 3．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)当时，函数取得最小值，最小值为 【分析】（1）根据题意利用“基本不等式”进行求解即可； （2）根据题意利用“基本不等式”进行求解； （3）根据题意，利用“基本不等式”以及整体思想进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴函数的最小值是4； （2）解：同（1）得， ∴当时，取得最小值6， 解得或（舍去）， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 当时，函数取得最小值，最小值为， 解得（舍去）或， ∴当时，函数取得最小值，最小值为． 过关检测◆提升 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式通分为同分母分式后，按同分母分式减法法则计算，合并同类项后约分得到结果． 【详解】解： ． 2．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 3．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式分解和代数式求值，关键是通过因式分解应用分式减法公式确定参数值． 将分母 因式分解后，利用分式减法公式分解为 ，从而确定 和 的值，再计算 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 又 ∵ ∴ ， 比较得 ， ∴ ， ， ∴ ， 故选：B. 4．化简（   ） A．1 B．a C． D． 【答案】D 【分析】利用分式除法法则将除法转化为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 5．化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的分式乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算分式乘方，再计算乘法和约分即可． 【详解】解： ， 故选：B． 二、填空题 6．若，则=__________． 【答案】7 【分析】利用完全平方公式将已知条件平方，通过展开并化简求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 7．计算__________． 【答案】 【详解】解： ． 8．计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 9．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 10．某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 三、解答题 11．已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能全部倒完，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律； （1）先通分再计算即可； （2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可． 【详解】（1）解： （2）解：不能全部倒完，理由如下： 第1次倒出的水量是：； 第2次倒出的水量是：； 第3次倒出的水量是：； 第4次倒出的水量是：， 第n次倒出的水量是：； 前n次总共倒出水量是： ∵， ∴容器中的这1升水最终不能全部倒完． 14．先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 【答案】小华的解法不对，她是从第③步开始出错的，见解析 【分析】根据分式的加减法法则进行判断，再利用分式化简求值的正确步骤进行解答即可． 【详解】解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的． 原式 ， 当时，原式． 15．阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元 (4) 【分析】（1）仿照示例，对分式进行变形，可得到结果； （2）对分式变形为，仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，列出人均费用，仿照示例的方法可得到结果； （4）先对式子变形，化为带分式形式，再求最小值，得到结果． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解： ； ∵分式的值为整数，为整数， ∴， ∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴， ， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式的加减、乘除复习讲义（苏科版） 期中复习◆重点 1.透彻理解分式加减、乘除的运算法则，明确运算核心逻辑； 2.熟练掌握同分母、异分母分式的加减运算，规范通分、约分步骤； 3.掌握分式乘除、乘方的运算方法，能准确处理符号与因式分解； 4.规避运算中的常见易错点，保证运算结果化为最简分式； 5.能结合基础例题，灵活运用运算法则解决简单计算问题。 核心题型◆归纳 题型1同、异分母分式加减法 题型2整式与分式加减 题型3已知分式恒等式、确定分子或分母 题型4分式加减混合运算 题型5分式加减的实际应用 题型6分式乘除法 题型7分式乘方 题型8含乘方的分式乘除混合运算 题型9分式化简求值 题型10分式最值 题型11提升测试 重点知识◆梳理 知识点01分式的加减运算 1.分式加减的本质：“同分母相加减，分母不变，分子相加减”；异分母需先通分，转化为同分母分式后再运算，最终结果化为最简分式。 2.同分母分式加减法则 文字描述：若分式的分母相同，直接将分子相加减，分母保持不变. 公式： = (B≠0) 注意：分子相加减时，若分子是多项式，需加括号，避免符号出错；加减后需检查分子、分母是否有公因式，及时约分。 2.异分母分式加减法则 文字描述：先找最简公分母 → 通分（将异分母分式化为同分母分式） → 按同分母分式加减法则运算。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 关键：最简公分母的确定（与分式通分一致） 系数：各分母系数的最小公倍数； 字母：所有出现的字母，取最高次幂； 多项式：先因式分解，再取整体公共因式。 知识点02分式的乘除运算 1.分式乘除运算核心：“转化为乘法运算”，先对分子、分母因式分解；再约去公因式，最后计算乘积。 2.分式的乘法法则 文字描述：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母， 公式：×==.(B≠0,D≠0) 技巧：相乘前，先将分子、分母分别因式分解，再约去分子与分母的公因式，简化运算。 3. 分式的除法法则 文字描述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘（除以一个数等于乘它的倒数）. 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 注意：除式颠倒后，符号也要随之颠倒；若除式是整式，可将其看作分母为1的分式再运算。 4.分式的乘方 文字描述：分式的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再将结果相除， 公式：=. (B≠0, n为正整数） 注意：乘方时，分子、分母要同时乘方。 知识点03分式混合运算注意事项 （1）运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的； （2）关于符号：遵循“同号得正，异号得负”，多个负号相乘/相除，奇负偶正； （3）关于结果：运算结束后，必须将结果化为最简分式（分子、分母无公因式）； （4）因式分解：分式乘除、异分母加减前，先对分子、分母因式分解，是简化运算的关键。 知识点04知识点易错提醒 1.加减：异分母分式加减，忘记先通分，直接分子、分母分别加减； 2.通分：找最简公分母时，漏看字母的最高次幂或因式分解后的整体因式； 3.乘除：分式除法忘记将除式颠倒（乘倒数），直接分子除以分子、分母除以分母； 4.约分：未因式分解就盲目约分，或约去分子、分母中的加减项； 5.符号：乘除运算中，颠倒除式时漏变符号；多个负号运算时，判断错误； 6.结果：运算结束后，未将结果化为最简分式，导致扣分。 题型解析◆精准备考 题型1同、异分母分式加减法 1．计算的结果是（    ） A． B．3 C． D． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．化简： (1)； (2)． 题型2整式与分式加减 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．化简： (1) (2) 题型3已知分式恒等式、确定分子或分母 1．已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 2．已知，则常数，的值分别是：_____． 3．根据题意引入一些尚待确定的系数来表示，通过变形与比较，建立起含待定字母系数的方程（组），并求出相应字母系数的值，从而使问题得到解决的方法，我们称之为待定系数法． 例：m为何值时，多项式有一个因式是． 解：设它的另一个因式为（a为常数）， 则 比较两边的系数，得，解得． (1)已知多项式有一个因式是，求m的值； (2)已知，其中A，B为常数，求的值； (3)已知是的一个因式，分解因式：________． 题型4分式加减混合运算 1．若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 2．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 3．计算：（写出必要的计算过程） (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5分式加减的实际应用 1．甲、乙两人同时从A地出发到B地，如果甲的速度v保持不变，而乙先用v的速度到达中点，再用2v的速度到达B地，则下列结论中正确的是（） A．甲、乙同时到达B地 B．甲先到达B地 C．乙先到达B地 D．谁先到达B地与v有关 2．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 3．张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 题型6分式乘除法 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1)． (2)． 题型7分式乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1)____________； (2)________________________． 3．计算： (1)； (2)． 题型8含乘方的分式乘除混合运算 1．若，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．81 2．____． 3．化简： (1) (2) 题型9分式化简求值 1．若当时，分式的值是（   ） A．4 B． C．3 D． 2．已知，则分式的值为___________ 3．先化简，再求值：，其中． 题型10分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 3．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数、，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有三题不会，请你帮一帮他． (1)函数的最小值是______； (2)对于函数，当______时，有最大值，最大值为______； (3)【能力提升】求函数的最小值，并写出取最小值时的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 3．在八年级上册数学课本第148页，探讨了，根据公式若有，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 4．化简（   ） A．1 B．a C． D． 5．化简等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则=__________． 7．计算__________． 8．计算：___________． 9．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 10．某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 三、解答题 11．已知，其中、为常数，求的值． 12．计算： (1)． (2)． 13．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 14．先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 15．阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $