专题09分式的概念、基本性质复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题09分式的概念、基本性质复习讲义 期中复习◆重点 1.掌握分式核心定义，能准确区分分式与整式； 2.深入理解分式有意义、无意义、分式值为 0 三大必考条件； 3.理解分式基本性质，熟练运用符号变化法则； 4.掌握分式约分、通分的解题步骤，规范化简流程； 5.明确最简分式判定标准，保证运算结果规范。 核心题型◆归纳 题型1分式的判断 题型2分式有意义的条件 题型3分式的求值 题型4求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型5求使分式值为整数时未知数的整数值 题型6判断分式变形是否正确 题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型8将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型9最简分式 题型10最简公分母 题型11通分 题型12分式的规律性问题 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点01分式的概念 1.若A、B均为整式，且分母B含有字母、B≠0，则代数式叫做分式。其中：A为分子，B为分母。 2.核心判定依据：分母含字母且为分式，分母无字母为整式，与分子无关。 知识点02分式的取值条件 设分式为 1.分式有意义：B≠0（分母不为零） 2.分式无意义：B=0（分母等于零） 3.分式值为0：A=0 且 B≠0（分子为零，分母非零，缺一不可） 知识点03分式的基本性质 分式的分子与分母，同时乘或除以同一个不为 0的整式，分式的值保持不变。 =  ，=.(C≠0) 提示：分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点04分式符号变化法则 ==-, = 适用范围：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 知识点05约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，约去分子、分母中公因式的过程叫约分； 2.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去相同公因式； 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，分式运算结果必须化为最简形式。 知识点06通分 1.把多个异分母分式，化为同分母分式的变形过程叫通分。 关键：（1）确定最简公分母； （2）系数：取各分母系数的最小公倍数； （3）字母：选取所有字母，统一保留最高次幂； （4）多项式：先因式分解，再确定整体公共因式。 知识点07易错知识点提醒 1.概念：分式判定只看分母是否含字母，切勿受分子形式干扰； 2.条件：求解分式值为 0 的问题时，必须双重限制，切勿忽略分母不为 0； 3.性质：利用分式性质变形时，所乘、除的整式不能为0； 4.约分：只有乘积形式可约分，加减结构不能直接消项，务必先因式分解； 5.符号：灵活运用符号法则，杜绝随意改动符号导致计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1分式的判断 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】若A，B为整式，且B中含有字母，则是分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：是整式，是整式，是分式，是整式，是分式，是分式 ∴分式共有个． 2．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 3．下列式子，哪些是整式，哪些是分式？ ． 【答案】整式有；分式有． 【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．根据分式的定义、整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：整式有：； 分式有：． 题型2分式有意义的条件 1．使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 2．要使分式有意义，的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义条件分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 3．要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 题型3分式的求值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 2．若，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据完全平方公式可得，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴，即 ∴， ∴ ． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】易得，将分子分母进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型4求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 2．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 3．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 题型5求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 2．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 【答案】20 【分析】设，整理得，由a，b为正整数，得且，即，故．代入到中进行计算，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，设（为正整数）， ∴ ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴最小值为1，最大值为19， ∴两者之和为． 【点睛】本题以整数整除为背景，核心是将整除关系转化为含参数的分式，通过正整数约束确定的取值范围，再列举计算的最值，体现了数论问题中“代数转化参数列举”的典型思路． 3．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法及参数取值问题。本题关键在于正确处理分式方程的变形与去分母，并在解出含参数的解后结合解的限制条件进行讨论，特别注意这一隐含条件，避免代入导致分母为零的情况。先解含有字母参数的分式方程，求出，再根据分式方程的解为正整数，列出关于的方程，解方程求出，再判断时分式方程有无意义，从而求出答案即可． 【详解】解：， 去分母：， 去括号：， 移项合并：， 化系数为1：， ∵分式方程的解为正整数， ∴或3， 解得：或1， ∵当时，，分式无意义， ∴， ∴整数的值为． 题型6判断分式变形是否正确 1．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 3．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键： （1）分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将、都变为原来的倍，即新取值为、，分别代入验证： 选项A代入得：，与原式相等，分式值不变； 选项B代入得：，值改变； 选项C代入得：，值改变； 选项D代入得：，值改变． 2．若分式的值为2，将m，n都扩大3倍，则变化后分式的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．将m和n都扩大 3 倍后，新分式通过提取公因式化简，得到与原分式相同的形式，因此值不变． 【详解】解：原分式，将m和n都扩大3倍后， 新分式为， 故答案为：2． 3．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 题型8将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型9最简分式 1．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 2．化简___________． 【答案】 【分析】先对分子运用平方差公式因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到结果． 【详解】解：． 3．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 【详解】解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 题型10最简公分母 1．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 2．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 3．已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 【答案】， 【分析】此题考查了公因式和最简公分母，求分式的值，首先得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴两个分式分母的公因式，最简公分母为， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 题型11通分 1．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 2．若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 3．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，以及对分母因式分解和处理互为相反因式的变形技巧是解题的关键． （1）确定各分母系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂，得到最简公分母，再将每个分式的分子分母同乘相应因式，使分母统一为最简公分母； （2）先对分母因式分解，确定最简公分母，注意处理与的符号关系，再通分； （3）确定各分母系数的最小公倍数和字母的最高次幂，得到最简公分母，再对每个分式变形． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ． （2）解：最简公分母是， ， ． （3）解：最简公分母是， ， ， ． 题型12分式的规律性问题 1．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 2．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 3．观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查裂项相消法的应用，解题关键是观察等式规律并正确裂项，易错点是裂项时系数或项的对应关系出错，解题思路为：先分析等式规律，再对每一项进行裂项，通过中间项抵消计算结果． 【详解】（1）观察已知等式，规律为：（其中）； 对于，根据规律可得：； 故答案为：，． （2）根据规律，将每一项裂项： 故答案为：． （3）裂项规律：（其中）； 故答案为：． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义判断选项即可，需注意是常数，不是字母． 【详解】解：A、是整式，不符合分式定义； B、是常数，不含有变量，该式是整式，不符合； C、分母是含有字母的整式，符合分式定义； D、分母是常数，该式是整式，不符合． 2．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 4．不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的解集．由题意得到或，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，解得； 对于，解得，无解； 故选：B． 5．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 二、填空题 6．已知，且，则______． 【答案】2 【分析】由得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 8．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简分式、分式的值不为0以及分母的条件．根据题意，分子应为非零常数，分母为含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式． 【详解】解：分式中，分子2为非零常数，因此分式的值不可能为0， 分母是含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式，为最简分式． 故答案为：（答案不唯一）． 9．当时，的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质—通分和约分，由，得，然后整体代入即可求解，掌握分式基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 三、解答题 11．通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，通分的定义：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式的变形叫做分式的通分． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ， ． 12．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的分子分母同时扩大10倍，分式的值不变，据此解答即可； （2）根据分式的分子分母同时扩大20倍，分式的值不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的求值和分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零，代入求值时注意符号计算是解题的关键． （1）将代入分式，分别计算分子与分母的值，再求比值； （2）根据分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解： 将代入分式中， 计算分子的值为， 计算分母的值为 ， 分式的值为，化简得 ． （2）解：分式有意义， 且， 解得且． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将分子、分母因式分解后约分化简，然后将，变形得到整体代入化简后的分式即可. 【详解】解：原式， ∵， ， 原式． 15．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09分式的概念、基本性质复习讲义 期中复习◆重点 1.掌握分式核心定义，能准确区分分式与整式； 2.深入理解分式有意义、无意义、分式值为 0 三大必考条件； 3.理解分式基本性质，熟练运用符号变化法则； 4.掌握分式约分、通分的解题步骤，规范化简流程； 5.明确最简分式判定标准，保证运算结果规范。 核心题型◆归纳 题型1分式的判断 题型2分式有意义的条件 题型3分式的求值 题型4求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型5求使分式值为整数时未知数的整数值 题型6判断分式变形是否正确 题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型8将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型9最简分式 题型10最简公分母 题型11通分 题型12分式的规律性问题 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点01分式的概念 1.若A、B均为整式，且分母B含有字母、B≠0，则代数式叫做分式。其中：A为分子，B为分母。 2.核心判定依据：分母含字母且为分式，分母无字母为整式，与分子无关。 知识点02分式的取值条件 设分式为 1.分式有意义：B≠0（分母不为零） 2.分式无意义：B=0（分母等于零） 3.分式值为0：A=0 且 B≠0（分子为零，分母非零，缺一不可） 知识点03分式的基本性质 分式的分子与分母，同时乘或除以同一个不为 0的整式，分式的值保持不变。 =  ，=.(C≠0) 提示：分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点04分式符号变化法则 ==-, = 适用范围：分子、分母、分式本身三处符号，任意改变两处，分式大小不变。 知识点05约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，约去分子、分母中公因式的过程叫约分； 2.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去相同公因式； 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，分式运算结果必须化为最简形式。 知识点06通分 1.把多个异分母分式，化为同分母分式的变形过程叫通分。 关键：（1）确定最简公分母； （2）系数：取各分母系数的最小公倍数； （3）字母：选取所有字母，统一保留最高次幂； （4）多项式：先因式分解，再确定整体公共因式。 知识点07易错知识点提醒 1.概念：分式判定只看分母是否含字母，切勿受分子形式干扰； 2.条件：求解分式值为 0 的问题时，必须双重限制，切勿忽略分母不为 0； 3.性质：利用分式性质变形时，所乘、除的整式不能为0； 4.约分：只有乘积形式可约分，加减结构不能直接消项，务必先因式分解； 5.符号：灵活运用符号法则，杜绝随意改动符号导致计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1分式的判断 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 3．下列式子，哪些是整式，哪些是分式？ ． 题型2分式有意义的条件 1．使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 2．要使分式有意义，的取值范围是______． 3．要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 题型3分式的求值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是______． 3．已知，求代数式的值． 题型4求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 2．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 3．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 题型5求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 3．若分式方程的解为正整数，求整数的值． 题型6判断分式变形是否正确 1．下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 3．在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值为2，将m，n都扩大3倍，则变化后分式的值为________． 3．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 题型8将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 3．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 题型9最简分式 1．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．化简___________． 3．判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 题型10最简公分母 1．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．分式，，的最简公分母是____________． 3．已知分式，．若是这两个分式分母的公因式，是这两个分式的最简公分母，且，试求这两个分式的值． 题型11通分 1．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则_____． 3．通分： (1)，． (2)，． (3)，，． 题型12分式的规律性问题 1．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 3．观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 3．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解为（   ） A． B． C． D． 5．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 二、填空题 6．已知，且，则______． 7．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 8．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是______． 9．当时，的值是_______． 10．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 三、解答题 11．通分： (1)； (2)； (3)． 12．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 13．已知分式． (1)当时，分式的值为 ． (2)当满足什么条件时，分式有意义？ 14．先化简，再求值：，其中． 15．阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $