8.4.1 平面课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面 1.在多面体中，顶点、棱、面是基本的组成元素，几何上它们分别表示什么图形？ 顶点表示点，棱表示线段，面表示平面多边形. 复习引入 2.将线段向两端无限延伸，得到的图形是直线.将平面多边形向四周无限延伸，得到的图形是什么？ 平面 3.点无大小之分，直线无粗细、长短之别，类似的，平面有什么特征？ 平面无边界，即无大小，无厚薄. 4.平面无边界，不可能在纸上画出来，一般用平行四边形表示平面. 图1 水平面 图2 竖直平面 图3 斜置平面 一组对边画成水平 一组对边画成竖直 两组对边画成倾斜 画法 表示 思考1 对于水平面、竖直平面、斜置平面，如何画比较有立体感？ 思考2 如何用字母表示平面？ ①用希腊字母表示：如平面平面平面图1中所示. ②平行四边形的四个顶点表示：如平面ABCD.图3中所示. ③平行四边形的对角线表示：如平面AC，平面BD.图3中所示. 5. 为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究 . 这三者之间有许多依存关系，从不同的角度去观察、分析，可以得到平面的一些基本事实. 思考1 我们知道，两点可以确定一条直线.那么，经过两点可以作多少个平面？经过不共线的三点可以作多少个平面？ 经过两点可以作无数个平面，经过不共线的三个点只能作一个平面. 如果直线l与平面有一个公共点P,直线l不一定在平面内；如果直线l与平面有两个公共点，直线l一定在平面内. 思考2 如果直线l与平面有一个公共点P,直线l是否在平面内？如果直线l与平面有两个公共点呢？ 公共点有无数个，且在一条直线上. 思考3 如果两条不重合的直线有公共点，则其公共点只有一个 . 如果两个不重合的平面有公共点，其公共点有多少个？这些公共点的位置关系如何？ 6.通过以上分析可以得到关于平面的三个基本事实，如何完整描述它们？请同学们阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1.如何用集合符号描述点、直线、平面的位置关系？ A∈l 点A在直线l上: 点B在直线l外: 点A在平面内： 点B在平面外： 直线l在平面内： 直线l在平面外： 直线l与平面相交于点P: 平面与平面相交于直线l: Bl A∈ B l l l=P =l 2.三个基本事实分别是什么？基本作用是什么？ 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.即不共线的三点确定一个平面. .C . . 记作:平面ABC 作用:确定一个平面 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在一个平面内. . . 符号表示: A∈l，B∈l，且A∈B∈ ∈ 作用:可以判断直线是否在平面内. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号表示: P∈∈ =l且P∈l 作用:可以判断两平面是否相交. 3.根据基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到哪三个推论？ C . 推论1:一条直线和这条直线外一点确定一个平面. . . 推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面. a b . 推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面. 拓展探究 1.如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线交于一点，那么它们最多可以确定几个平面？ 三个，三个. 27部分. 2.正方体各个面所在平面将空间分成几部分？ 三种. 3.三个平面两两相交有哪几种情形？如何用图形表示？ 想想还有一种呢？ 三线共点. 4.不共面的三条直线两两相交，三线共点吗？ 例1 （多选）下列命题中正确的有（ ）. A.一条直线和一个点可以确定一个平面 B.经过两条相交直线，有且只有一个平面 C.经过两条平行直线，有且只有一个平面 D.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点一定在两个平面的交线上 巩固应用 BCD 例2 如图所示，平面=l，A∈， B ∈，ABl=D， C∈, C ，则平面ABC与平面的交线是（ ）. C A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC 19 例3 如图，在正方体ABCD-中，点M,N,E,F分别是棱CD,AB,D ,A 的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线. 证明： ∵ MNEF=Q, ∴ Q∈直线EF,Q∈直线MN 又EF平面AD,MN 平面ABCD ∴ Q∈平面AD,且Q∈平面ABCD ∵平面AD 平面ABCD=DA ∴ Q∈DA，即D、A、Q、三点共线. 小结 1.点、直线、平面都是不加定义的原始概念，点无大小，直线无粗细和长短，平面无厚薄和边界. 平面可以用平行四边形等平面图形表示. 2.三个基本事实及其推论是后续学习立体几何知识的理论基础，它们各有其功能. 3. 文字语言、图形语言、符号语言是描述空间点、直线、面的位置关系的三种基本语言，可以相互转换，其中符号语言常用集合中的符号表示. 作业 8.4.1 平面 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 $