专题04菱形性质与判定复习讲义(知识梳理+13大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题04菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形的定义、独有性质与判定定理，明确菱形是特殊的平行四边形。 2.掌握菱形边、角、对角线的特殊特点，理清平行四边形、矩形、菱形三者区别。 3.牢记菱形面积两种计算方法，理解对角线互相垂直平分的核心考点。 1.能利用菱形四边相等、对角线垂直平分的性质，完成线段、角度计算。 2.会根据题干条件，灵活选用判定方法，规范完成菱形证明类题型。 3.可结合勾股定理、三角形知识，解决菱形综合计算题与几何压轴小题。 1.规避概念易错点，区分三类特殊平行四边形的独有条件，杜绝混淆失分。 2.熟练规范几何推理书写，掌握菱形高频答题模板，减少步骤扣分。 3.熟悉菱形常考题型，提升选择填空秒杀技巧与解答题综合解题能力。 题型01.由菱形的性质求角度 题型02.由菱形的性质求线段长 题型03.由菱形的性质求面积 题型04.由菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与坐标系综合 题型12.菱形与动点问题 题型13.菱形与最值问题 解答题7题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 · 家族关系：四边形 ⊃ 平行四边形 ⊃ 菱形、矩形 ⊃ 正方形（既是菱形也是矩形） 知识点02:菱形的核心性质（期中必考，分 4 类记，重点标红） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:易错对比：菱形 vs 矩形（最易混，一张表搞定） 对比项 菱形 矩形 特殊化方向 边：邻边相等 角：一个角是直角 边 四边相等 对边相等 对角线 垂直、平分对角 相等、平分 对称轴 2 条（对角线） 2 条（对边中点连线） 一句话区分：菱形对角线垂直，矩形对角线相等 菱形：四边等，对角线垂直平分对角，双对称；判定看邻边等、线垂直或四边等；面积底乘高，或对角线积半；藏着四个直角三角形，勾股定理随便用。 题型01.由菱形的性质求角度 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【跟踪专练2】在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 题型02.由菱形的性质求线段长. 【典例】如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若，则菱形的周长是_______． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型03.由菱形的性质求面积 【典例】如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 题型04.由菱形的性质证明 【典例】如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为________． . 【跟踪专练2】菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 题型05.证明四边形是菱形 【典例】下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 题型06.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【跟踪专练1】已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则___________；当时，设，则的长___________．（用含a的代数式表示）．    题型08.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 【典例】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 题型10.菱形与折叠问题 【典例】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 【跟踪专练1】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 题型11.菱形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． 题型12.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 【跟踪专练1】菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型13.菱形与最值问题 【典例】如图，在菱形中，，，P为对角线上任意一点，Q为边上任意一点，则的最小值为________． 【跟踪专练1】如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，，点P，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）．    A．1 B． C．2 D． 【解答题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 2．已知：如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，求：的大小． 3．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 4．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，，求四边形的面积． 5．如图，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B，D重合），连接，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)若在上取一点F，使得，求的最小值． 6．如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 7．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04菱形性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记菱形的定义、独有性质与判定定理，明确菱形是特殊的平行四边形。 2.掌握菱形边、角、对角线的特殊特点，理清平行四边形、矩形、菱形三者区别。 3.牢记菱形面积两种计算方法，理解对角线互相垂直平分的核心考点。 1.能利用菱形四边相等、对角线垂直平分的性质，完成线段、角度计算。 2.会根据题干条件，灵活选用判定方法，规范完成菱形证明类题型。 3.可结合勾股定理、三角形知识，解决菱形综合计算题与几何压轴小题。 1.规避概念易错点，区分三类特殊平行四边形的独有条件，杜绝混淆失分。 2.熟练规范几何推理书写，掌握菱形高频答题模板，减少步骤扣分。 3.熟悉菱形常考题型，提升选择填空秒杀技巧与解答题综合解题能力。 题型01.由菱形的性质求角度 题型02.由菱形的性质求线段长 题型03.由菱形的性质求面积 题型04.由菱形的性质证明 题型05.证明四边形是菱形 题型06.添条件使四边形是菱形 题型07.由菱形的性质与判定求角度 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 题型09.由菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形与折叠问题 题型11.菱形与坐标系综合 题型12.菱形与动点问题 题型13.菱形与最值问题 解答题7题 知识点01:菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 · 家族关系：四边形 ⊃ 平行四边形 ⊃ 菱形、矩形 ⊃ 正方形（既是菱形也是矩形） 知识点02:菱形的核心性质（期中必考，分 4 类记，重点标红） 项目 文字语言 几何语言 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 面积 底 × 高 或 对角线乘积的一半 S=底×高 S=ACBD 知识点03:菱形的判定（3 种方法，期中证明 / 添条件必考） 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点05:易错对比：菱形 vs 矩形（最易混，一张表搞定） 对比项 菱形 矩形 特殊化方向 边：邻边相等 角：一个角是直角 边 四边相等 对边相等 对角线 垂直、平分对角 相等、平分 对称轴 2 条（对角线） 2 条（对边中点连线） 一句话区分：菱形对角线垂直，矩形对角线相等 菱形：四边等，对角线垂直平分对角，双对称；判定看邻边等、线垂直或四边等；面积底乘高，或对角线积半；藏着四个直角三角形，勾股定理随便用。 题型01.由菱形的性质求角度 【典例】如图，在菱形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质，利用菱形的四条边相等及对边平行，再结合等腰三角形的性质来求解角度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 题型02.由菱形的性质求线段长. 【典例】如图，菱形的对角线相交于点O，点E是的中点．若，则菱形的周长是_______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．熟练掌握菱形的性质，中位线是解题的关键．由题意可得是的中位线，则，根据菱形的周长为，计算求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 点为对角线的中点． 又点是边的中点， 是的中位线． ． 菱形的周长为． 【跟踪专练1】如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质得到，由三角形的内角和为求出的值，得出，由直角三角形的性质得到，即可得到；在直角三角形中，，故与不全等，由三角形的面积公式即可判断． 【详解】解：菱形， 是等边三角形，是等边三角形， ， 分别是的中点， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 是直角三角形， ， 与不全等，故③错误； ， ， ，故④正确； 综上，正确的有3个． 题型03.由菱形的性质求面积 【典例】如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，求出，，进而利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 题型04.由菱形的性质证明 【典例】如图，菱形的一边的中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由菱形对角线相互垂直得到是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出菱形边长即可得到答案． 【详解】解：在菱形中，，则， 在中，点是的中点，则， 菱形的周长为． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，于点，交对角线于点，过点作于点．若，则菱形的面积为________． . 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得平分，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】四边形是菱形， 平分， ， 又 ， ， ， ， 菱形的面积， 故答案为：． 【跟踪专练2】菱形中，分别在和上，且是等边三角形，．则等于（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质推出，，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程，求出方程的解即可求出答案． 【详解】    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴ 由三角形的内角和定理得：， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键是熟练运用这些性质和定理． 题型05.证明四边形是菱形 【典例】下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，方格纸中有一个四边形（、、、均为格点），若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则四边形是____________形． 【答案】菱 【分析】利用勾股定理求出，再根据菱形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：由于每个小正方形的边长均为1， 则， 因此，四边形是菱形． 【跟踪专练2】如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【答案】 菱 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到；根据，可证明四边形是平行四边形，且，由等边对等角得到，则可证明，得到，据此证明，即可得到平行四边形是菱形 ． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ． 题型06.添条件使四边形是菱形 【典例】如图，要使是菱形，需添加的条件是________． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出答案． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：或． 故答案为∶ 或 【跟踪专练1】已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 题型07.由菱形的性质与判定求角度 【典例】如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，可证明四边形是菱形，由等边对等角可得，由菱形的对角相等可得，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【答案】80 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则___________；当时，设，则的长___________．（用含a的代数式表示）．    【答案】 120 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，根据菱形的性质可得，再根据各角的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质可得，进而得出，再证是等边三角形，求出，再证，推出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形中，对角线互相垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形中， ， ； 中，，， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 解得，， 如图，连接，    由菱形的性质得， 在和中， ， ， ，， ， 在中，． 故答案为：120；． 题型08.由菱形的性质与判定求线段长 【典例】如图，交于点E，交于点F，．若，则四边形的周长为______． 【答案】40 【分析】由，，判定四边形是平行四边形，由平行线的性质推出，得到，推出，判定平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 【跟踪专练1】如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【答案】 12 【分析】根据菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，E，F分别是边和的延长线上一点，且，以，为边作，H是的中点．则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质得出，证出是等边三角形，，证明四边形是菱形，得出，，，，再证出，根据勾股定理得出，根据H是的中点，得出． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定、平行四边形的性质、直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 题型09.由菱形的性质与判定求面积 【典例】中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰．测得．则该菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键． 根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，且点恰好落在边上．直线与交于点．连接，，．若，，则四边形的面积为___________． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则，再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到，即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ∴，四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴     ∴ ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 题型10.菱形与折叠问题 【典例】将矩形纸片按如图所示的方式折叠，点B和点D都与点O重合，得到菱形．若，则菱形的边长为_____． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质，推出为含30度角的直角三角形，设，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即菱形的边长为． 【跟踪专练1】如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 题型11.菱形与坐标系综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴． 在中，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C的坐标是，则顶点A，B的坐标分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】过C作，根据勾股定理求出的长度，继而根据菱形的性质求得的长即可求得答案． 【详解】解：过C作于E， ∵顶点C的坐标是， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点B的坐标为即，点的坐标为． 【跟踪专练2】菱形在平面直角坐标系中的位置如图，点的坐标的为，，点是对角线上一个动点．的最小值是______；此时点的坐标为______． 【答案】 【分析】作点关于轴的垂线，可推出垂线的长度即为，则要使取最小值，点、、应在一条直线上，再结合含直角三角形特征、勾股定理即可得解． 【详解】解：作轴， 菱形中，， ， 中，， 则要使取最小值，点、、应在一条直线上， 作轴， 此时即为最小值， 点的坐标为， ， 则菱形中，， ， ， ，， 最小值为， ， ， 又， ， ． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、含直角三角形特征、垂线段最短、勾股定理，解题关键是结合含直角三角形特征找出的最小值． 题型12.菱形与动点问题 【典例】如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为．则的值为______． 【答案】 【分析】连接，通过菱形的周长和面积分别求出边长和，最后由面积和差即可求出的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵菱形的周长为， ∴， ∴， ， ， ， 则． 【跟踪专练1】菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点P每运动8秒回到点A位置， ∵， ∴点P移动到第2022秒时，落在点D，即点． 【跟踪专练2】如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 题型13.菱形与最值问题 【典例】如图，在菱形中，，，P为对角线上任意一点，Q为边上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，菱形的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟知两点之间线段最短的知识． 点C是定点，点P为上一动点，是轴对称最值问题，连接，由菱形的对称性可知，点A和点C关于对称，连接，由垂线段最短可知，当且点共线时，有最小值，证明为等边三角形，则点Q为的中点，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形为菱形， ∴点A和点C关于对称， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当且点共线时，有最小值， ∵，四边形为菱形 ∴，， ∴为等边三角形， 由三线合一可知点Q为的中点， ∵， ∴，， ，即最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 【跟踪专练2】如图，菱形中，，，点P，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）．    A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作点P关于的对称点，连接与的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知时，有最小值，然后求得即可． 【详解】解：如图，菱形中，      ∵， ∴， 过A作于E，则，, ∴ ∵， ∴点到的距离为， ∴的最小值为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、轴对称确定最短路径等知识点，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 【解答题】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【分析】（1）先求出，再分类讨论：①若点在点的左侧，②若点在点的右侧，逐项分析求解即可； （2）先求出，再分类讨论：①以为边，四边形是菱形，②以为边，四边形是菱形，③以为边，四边形是菱形，④以为对角线，四边形是菱形，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①若点在点的左侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得， ②若点在点的右侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 解得， 综上所述，或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或．理由如下： 点，， ，， ， ①如图，以为边，四边形是菱形， ∵， ； ②如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ③如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ④如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 2．已知：如图，点、分别是菱形的边、上的点，且，，求：的大小． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可证是等边三角形，得到，进而可得，即可证明，得到，即得是等边三角形，得到，由利用三角形内角和定理可得，再根据平角的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 是菱形的一条对角线， ， ∴， ， ， ∵ 是等边三角形， 又 ， ． 3．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 4．如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，且，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得出，，由得出，进而即可得证； （2）证明四边形是菱形，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 又， ∴， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 5．如图，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B，D重合），连接，，． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)若在上取一点F，使得，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由菱形的性质可得，则可证明，得到； （2）连接交于点，由等边对等角和三角形内角和定理可证明，过点E作于点G，由菱形的性质和勾股定理可得，，则；由角平分线的性质得到，根据，可得，则，据此可得答案； （3）不妨设点F在点E右侧，过点C作，且使得，连接，则四边形是平行四边形，可得，故当A、E、H三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接交于点， 由（1）得，， ， ∵， ∴ ， ， 如图所示，过点E作于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，不妨设点F在点E右侧，过点C作，且使得，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、E、H三点共线时，有最小值，最小值为线段的长， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．如图，四边形为平行四边形，在边上，将四边形沿过点的直线折叠，点对应点为． (1)若为边的中点，折痕过点，连接，求证：； (2)如图，若四边形为菱形，，折痕交于，点落在上且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查图形翻折的性质，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形中位线定理，特殊角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点． （1）连接交于点，根据折叠的性质得到垂直平分，继而证明是的中位线，从而得证结论． （2）根据四边形是菱形，得到是等边三角形，过点作于点，设，根据特殊角的直角三角形的性质，以及勾股定理得到的长度，进而得到的长度． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， 由折叠可知：垂直平分，    是的中点， ∵点为边的中点， 是的中位线， ， ； （2）解：， ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点，则， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ，解得：， ． 7．【问题背景】如图1，在菱形中，，点为菱形内一动点，且，连接并延长，交于点，连接． 【初步探究】 (1)求的度数． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折，得到，连接．求证：． 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，连接．若，中一个内角为，直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值. 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵，，， ∴解得：（舍） 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $