专题01多边形复习讲义(知识梳理+12大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制八年级数学下册

专题01多边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.速记多边形、正多边形、对角线核心概念； 2.吃透内角和、外角和、对角线三大必考公式， 3.拿捏正多边形角度核心规律。 1.精准搞定角度、边数、对角线各类计算； 2.巧用转化与方程思想， 3.灵活破解多边形各类变式题型 1.秒杀选择填空基础考点，稳拿基础分； 2.攻克边数求解、内外角计算高频大题， 3.全面吃透本节必考内容。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成的三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和问题 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.多边形内角和与外角和综合 解答题6题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点04:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 核心重点公式 1.多边形内角和：(n−2)×180∘（n≥3） 2.多边形外角和：固定360∘，与边数无关 3.单个顶点对角线数量：n−3 条 4.多边形对角线总条数： 5.正多边形单个内角：​ 6.正多边形单个外角​ 高频易错点. 1.多边形必须满足：平面内、封闭、线段首尾相连； 2.不要混淆单个顶点对角线条数与总对角线条数； 3.牢记外角和固定不变，不随边数改变。 题型01.多边形的概念与分类 【典例】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【跟踪专练2】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 题型02.多边形截角后的边数问题 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【跟踪专练1】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【跟踪专练2】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 题型03.多边形的周长 【典例】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【跟踪专练1】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 题型04.网格中多边形面积比较 【典例】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【跟踪专练2】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 题型05.多边形对角线条数问题 【典例】过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【跟踪专练2】一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 题型06.对角线分成的三角形个数问题 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【跟踪专练1】过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【跟踪专练2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 题型07.多边形内角和问题 【典例】下列多边形中，内角和等于的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果一个边形的内角和为，那么______． 【跟踪专练2】如图，五边形的每个内角都相等，分别过顶点，作一条射线，交点为，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 题型08.多(少)算一个角问题 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【跟踪专练1】如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【跟踪专练2】已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为__________． 题型09.多边形截角后内角和问题 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【跟踪专练1】如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 题型10.复杂图形的内角和问题 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的度数为___________． 【跟踪专练2】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型11.多边形外角和的实际应用 【典例】如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 【跟踪专练2】如图是由射线，，，，组成的平面图形，，，则的度数为______． 题型12.多边形内角和与外角和综合 【典例】平遥慈相寺是山西重要的古建筑遗存，寺内古塔塔基为正多边形．若正多边形的每个外角都是，则该多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 【跟踪专练2】一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【解答题】 1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 2．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 3．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 4．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 5．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 6．证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01多边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.速记多边形、正多边形、对角线核心概念； 2.吃透内角和、外角和、对角线三大必考公式， 3.拿捏正多边形角度核心规律。 1.精准搞定角度、边数、对角线各类计算； 2.巧用转化与方程思想， 3.灵活破解多边形各类变式题型 1.秒杀选择填空基础考点，稳拿基础分； 2.攻克边数求解、内外角计算高频大题， 3.全面吃透本节必考内容。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形的周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成的三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后内角和问题 题型10.复杂图形的内角和问题 题型11.多边形外角和的实际应用 题型12.多边形内角和与外角和综合 解答题6题 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 知识点04:两大必考定理 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 核心重点公式 1.多边形内角和：(n−2)×180∘（n≥3） 2.多边形外角和：固定360∘，与边数无关 3.单个顶点对角线数量：n−3 条 4.多边形对角线总条数： 5.正多边形单个内角：​ 6.正多边形单个外角​ 高频易错点. 1.多边形必须满足：平面内、封闭、线段首尾相连； 2.不要混淆单个顶点对角线条数与总对角线条数； 3.牢记外角和固定不变，不随边数改变。 题型01.多边形的概念与分类 【典例】下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【详解】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 【跟踪专练1】在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 【跟踪专练2】如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 题型02.多边形截角后的边数问题 【典例】把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 【跟踪专练1】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【跟踪专练2】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 题型03.多边形的周长 【典例】一个正八边形的周长是16cm，则这个正八边形的边长是________cm． 【答案】 【分析】本题需要根据正多边形的周长公式来求解正八边形的边长． 【详解】正八边形有条边，且每条边长度相等． 设正八边形的边长为，根据正多边形周长公式，可得 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的周长，掌握正边形的周长等于边长乘以，利用这一公式建立方程求解正八边形的边长是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，一张长方形纸片剪去一个角后，剩下的纸片是一个梯形，则这个梯形的周长为（   ） A．10 B．22 C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 根据长方形的性质求出相关边长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据长方形的性质得， ，，， 根据勾股定理得， ∴梯形的周长为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 题型04.网格中多边形面积比较 【典例】如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 题型05.多边形对角线条数问题 【典例】过六边形的一个顶点可以引出几条对角线（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边形的一个顶点可以引出条对角线，即可求解． 【详解】解：过六边形的一个顶点可以引出对角线的数量为条． 【跟踪专练1】若边形共有54条对角线，则该多边形内角和为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，最后根据多边形内角和公式可得结论． 【详解】解：由题意得，解得或（舍去）， 则该边形的内角和是：． 【跟踪专练2】一个多边形内角和与外角和的和为，则这个多边形对角线的条数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先利用多边形内角和公式与外角和定理求出多边形的边数，再代入对角线条数公式计算，即可得到结果； 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为固定值， 根据题意列方程得， 化简得：， 解得：， 边形对角线条数公式为， 代入，对角线条数． 题型06.对角线分成的三角形个数问题 【典例】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】B 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，利用n边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成个三角形的规律，列方程求解多边形的边数即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， ∵该多边形被分成4个三角形 ∴， 解得， ∴这个多边形是六边形， 故选：B． 【跟踪专练1】过某个多边形1个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形是__________边形，它的内角和是__________． 【答案】 九 【分析】本题考查的是多边形的边数以及内角和；过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，由此求出边数，再根据内角和公式计算内角和 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得， 解得， 所以这个多边形是九边形． 内角和为． 故答案为：九，． 【跟踪专练2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 题型07.多边形内角和问题 【典例】下列多边形中，内角和等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式 列方程求出边数 ，再结合图形判断即可． 【详解】设该多边形的边数为 ， 多边形内角和为 ， ， 解得 ， 该多边形为六边形， 观察选项可知，A为三角形，B为四边形，C为五边形，D为六边形， 故选：D． 【跟踪专练1】如果一个边形的内角和为，那么______． 【答案】5 【分析】边形内角和． 【详解】解：依题意得： ， 解得：． 【跟踪专练2】如图，五边形的每个内角都相等，分别过顶点，作一条射线，交点为，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形内角和为，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：五边形的内角和为， 又五边形的每个内角都相等， ， ， ，即， 解得． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，与的外角平分线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了四边形的内角和，角平分线的定义，三角形的内角和，解答本题的关键是掌握三角形的内角和定理． 先通过邻补角的定义，四边形的内角和为，得到；再通过角平分线的定义结合三角形内角和为即可求出． 【详解】解：如图， ,， ． 又， ． 与的外角平分线交于点， ，． ． ． 故选：A． 题型08.多(少)算一个角问题 【典例】小明同学在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，得到的结果是，则少算的这个内角的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是多边形的内角和问题，设多边形的边数为，根据多边形内角和公式及少算一个内角的条件，列出不等式求解，再计算内角和与给定结果的差，即得少算的内角度数． 【详解】解：设凸多边形的边数为，且为整数，则内角和为． 由于少算一个内角，得，其任一内角满足． 解不等式， 得． 内角和为， 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是两位学生在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角的度数为____． 【答案】/105度 【分析】本题考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和公式，确定内角和的范围，再通过计算找到符合条件的边数及少加的内角度数． 【详解】解：∵， 又∵少加了一个内角， ∴多边形的边数是：， ∴他们在求九边形的内角和， ∴，少加的内角为， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为，则这个内角的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】按照下列的思路求解即可： 给什么，得什么 由“除一个内角外其余内角的和为”可表示出“去除角”的度数． 求什么，想什么 求“去除角”的度数，关键是确定该多边形边数n的值． 差什么，找什么 由“去除角”的度数大于且小于，可得n的取值范围，进而确定n的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，则其内角和为． 根据题意，得， 解得． 又n为正整数，故． 所以这个内角的度数为． 故答案为：． 另解： 因为多边形的内角和是的倍数，所以我们可以计算的余数，这个余数为，故加上刚好是的倍数，因此这个内角的度数为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、求出n的范围是关键． 题型09.多边形截角后内角和问题 【典例】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，__． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．如图所示，根据正方形的性质可得，再根据多边形的内角和公式可得：，即，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质，可得， 根据题意，可得五边形的内角和为：，即， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如题图，五边形为正五边形，一条直线将它分割成两个多边形，这两个多边形的内角和分别为x、y，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了多边形的内角，分类讨论的思想，如图，一条直线将该五边形分割成两个多边形（含三角形）的情况有5种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断． 【详解】解：图①中，； 图②中，； 图③中，； 图④中，； 图⑤中，． 由上述分析可知，的最大值为． 故答案为：． 题型10.复杂图形的内角和问题 【典例】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型11.多边形外角和的实际应用 【典例】如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 【跟踪专练1】机器人从点A出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第2次行走；再在点处逆时针旋转后向前走到达点，记为第3次行走；……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点A时所走过的路线构成一个多边形，其内角和为_______． 【答案】/1800度 【分析】理解题意，确定每次旋转的角度为所求多边形的外角，先求出多边形边数，再计算内角和即可． 【详解】解：由题意可知，该机器人每次逆时针旋转的角度为所走路线构成的多边形的外角，且每个外角都等于. 任意多边形的外角和为，因此该多边形的边数为： ， 可得该十二边形的内角和为： ． 【跟踪专练2】如图是由射线，，，，组成的平面图形，，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】根据多边形的外角和等于，即可得到的度数，进而得出的度数，再根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 由多边形的外角和等于可知，， ， ， ∴， ， ． 题型12.多边形内角和与外角和综合 【典例】平遥慈相寺是山西重要的古建筑遗存，寺内古塔塔基为正多边形．若正多边形的每个外角都是，则该多边形的内角和的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用多边形外角和为定值先求出正多边形的边数，再代入多边形内角和公式计算即可得到结果.用到的知识点为任意多边形的外角和是，多边形内角和公式为. 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角都是. ∴该正多边形的边数， 又∵多边形的内角和公式为， ∴该多边形的内角和为. 【跟踪专练1】一个多边形的内角和是外角和的两倍，则它是____________边形． 【答案】六 【分析】n边形的外角和为，内角和为，结合题意列出方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得 解得， 故这个多边形是六边形． 【跟踪专练2】一个四边形四个外角之比为，则这个四边形的内角中（   ） A．只有一个锐角 B．有两个锐角 C．有三个锐角 D．有四个锐角 【答案】B 【分析】根据任意四边形外角和为，以及外角的比例求出四个外角的度数，再计算对应内角，判断锐角个数即可． 【详解】解：设四个外角的度数分别为，，，， ∵任意多边形的外角和为， ∴， 解得， ∴四个外角分别为，，，， ∵内角与相邻外角和为， ∴四个内角分别为，，，， ∵锐角是小于的角，此处和为锐角， ∴这个四边形有2个锐角． 【解答题】 1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的定义得到， 即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图，已知六边形的6个内角均为，．试求这个六边形的周长． 【答案】 【分析】如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P，易得都是等边三角形，，即为等边三角形，可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长，分别交直线于M、N，延长相交于点P， ∵六边形的6个内角均为， ∴， ∴都是等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个六边形的周长． 3．阅读与思考 下图是小明和小红的对话内容，请认真阅读并解答下列问题． 我在计算一个凸多边形的内角和时，把所有的内角度数加起来，和是． 不可能吧！我帮你检查一下．你看，你的计算式子中把一个外角也加进来了！ (1)求多加的外角度数及多边形的边数． (2)若剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为______，内角和为______． 【答案】(1)多加的外角度数为，多边形的边数为 (2)；或或 【分析】（1）设多加的外角度数为，多边形的边数为，由多边形内角和公式可得，则，再由建立不等式组求解即可； （2）由于多边形的外角和始终为，则剪完后所形成的新多边形的外角和不变；然后分三种情况求解剪完后所形成的新多边形的内角和． 【详解】（1）解：设多加的外角度数为，多边形的边数为， 由题意得，， ∴ ∵ ∴， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴ ∴多加的外角度数为，多边形的边数为； （2）解：剪去该凸多边形的一个角，剪完后所形成的新多边形的外角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为八边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为七边形，则内角和为； 剪去该凸多边形的一个角，如图：此时新多边形为六边形，则内角和为； 综上：剪完后所形成的新多边形的内角和为或或． 4．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 5．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 6．证明：四边形的外角和为（要求：结合图形，写出已知，求证，并证明）． 【答案】见解析 【分析】根据题意写出已知，求证，并根据四边形内角和定理即可证明； 【详解】已知：四边形中，，，，是四边形的四个外角； 求证：． 证明：如图， ，，，， ， 四边形的内角和为， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $