专题23.2.2平行四边形判定及性质综合 优等生讲义 (9大考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四 制）数学八年级下册

本讲义聚焦平行四边形性质及判定综合应用，系统梳理定义、对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等核心性质，以及两组对边分别平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等判定方法，构建从基础概念到全等三角形、勾股定理、旋转等综合知识的学习支架。 资料以9大考点分类精讲为特色，结合思维导图梳理知识脉络，融入分类讨论、转化思想等数学思想，如通过等边三角形旋转构造平行四边形培养几何直观（数学眼光），利用全等三角形推理证明提升推理能力（数学思维），用方程建模解决动点问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，巩固提升。

专题23.2.2平行四边形性质及判定综合 优等生讲义 (9大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 课程目标 理解并掌握 平行四边形的定义、性质与判定方法 灵活运用 平行四边形的边、角、对角线性质解决几何问题 熟练运用 全等三角形、勾股定理、旋转等知识综合解题 掌握 与平行四边形相关的动点问题、折叠问题、最值问题 体会 分类讨论、转化思想、方程建模在几何中的应用 ✨ 核心思想：利用平行四边形的对称性、对角线互相平分等性质，结合全等三角形实现边角转化 知识梳理·核心概念与定理 ☆平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ☆平行四边形性质 · 对边平行且相等 · 对角相等，邻角互补 · 对角线互相平分 · 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点 ☆平行四边形判定 · 两组对边分别平行 · 两组对边分别相等 · 一组对边平行且相等 · 两组对角分别相等 · 对角线互相平分 ☆常用辅助线构造 · 连接对角线，利用对角线互相平分 · 过顶点作平行线，构造平行四边形 · 利用中点构造中位线 核心考点·9类题型精讲 【考点1】证明四边形是平行四边形 常用方法： 一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对边分别相等。 常见题型： 等边三角形+旋转构造平行四边形、动点问题求时间、中点+平行线构造。 【例题 1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式 1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当 时，四边形是平行四边形． 【变式 2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【变式 3】（2012·甘肃白银·中考真题）如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【考点2】判断能否构成平行四边形 关键点： 判定定理的充分性判断，注意等腰梯形等反例。 常见题型： 选择题中条件辨析、平移操作依据。 【例题 1】（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【变式 1】（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【变式 2】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式 3】（23-24八年级上·山东东营·月考）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（    ） A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点3】添一个条件成为平行四边形 思路： 从边、角、对角线三个角度补充条件，常结合全等三角形。 常见题型： 动点问题中列方程求时间、对角线比例关系求未知数。 【例题 1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【例题 2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【变式 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式 2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点4】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 方法： 分类讨论，以每一条已知线段为对角线或边，利用平移或中点坐标求解。 常见题型： 坐标系中求点坐标、网格图中找点。 【例题 1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【变式 1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例题 2】（21-22七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【考点5】全等三角形拼平行四边形问题 原理： 两个全等三角形可拼成平行四边形，常结合旋转、平移。 常见题型： 判断拼法个数、利用全等性质求边长或面积。 【例题 1】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【例题 2】（2021·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【变式 1】（2021·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【变式 2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点6】利用平行四边形的判定与性质求解 综合应用： 结合三角形面积、周长、勾股定理、方程思想。 常见题型： 求线段长、面积、最值问题，动点问题。 【例题 1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【变式 1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【例题 2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式 1】（25-26九年级上·上海杨浦·期中）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【变式 2】（25-26九年级上·上海·期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知是“优美三角形”，且，则的“优美值”是 ； 【变式 3】（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【考点7】利用平行四边形性质和判定证明 技巧： 通过证明三角形全等得到边等或角等，再推出平行四边形。 常见题型： 线段相等、角度相等、互相平分证明。 【例题 1】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【变式 1】（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【变式 2】（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【例题 2】（20-21八年级下·上海崇明·期中）已知：如图，在平行四边形中，的平行线分别交、的延长线于点、，交、于点、，求证：．    【变式 1】（17-18八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，平行四边形的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．    (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【变式 2】（21-22八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 【考点8】平行四边形性质和判定的应用 实际应用： 几何综合题中结合勾股、旋转、面积转化。 常见题型： 动点问题、最值问题、存在性问题。 【例题 1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【例题 2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【变式 1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【例题 3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知．为等边三角形，点为平面内一点． (1)如图，点在边上，在图中将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)如图，点为等边边所在直线下方一点，连接，若，，求线段的长； (3)如图，若，直接写出四边形面积的最大值 ． 【变式 1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【变式 2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【考点9】创新及压轴题 特点： 融合旋转、全等、勾股、平行四边形判定，需要综合运用多种思想。 常见题型： 等边三角形旋转构造、面积最值、三点共线问题。 【例题 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【例题 2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【例题 3】（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． (1)如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； (2)将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 【例题 4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【例题 5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 随堂检测·精选练习·方法梳理 · 练习1 平行四边形中高与角度计算（分类讨论） · 练习2 平行四边形内角度计算（利用性质） · 练习3 平行四边形内三角形面积转化（等积变形） · 练习4 折叠+平行四边形存在性问题（含30°角） · 练习5 梯形中折叠+勾股求线段长 【练习 1】（25-26八年级·上海·假期作业）在中，是边上的高，，则的度数为 ． 【练习2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【练习3】45．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【练习4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ． 【练习5】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为 ． 课后巩固·核心作业·知识点梳理 · 作业1 平行四边形对角线取值范围（三角形三边关系） · 作业2 平行四边形中角平分线+等腰三角形求角度 · 作业3 全等三角形证平行四边形 · 作业4 平行四边形面积转化（构造高） · 作业5 平行四边形中垂直平分线求周长 · 作业6 平行四边形内任意点面积关系 · 作业7 对角线取值范围 · 作业8 平行四边形+勾股定理求边长 · 作业9 折叠+等边三角形求AD · 作业10 梯形中构造平行四边形求BD · 作业11 平行四边形+等腰三角形求角度 · 作业12 物理情境+平行四边形性质求高度 · 作业13 全等三角形证平行 · 作业14 平行四边形中勾股定理求线段长 · 作业15 平行四边形+全等+勾股求AE · 作业16 角平分线+全等+面积转化 · 作业17 动点+等边三角形+平行四边形（分类讨论） · 作业18 折叠+平行四边形综合（构造全等） · 作业19 平行四边形中心对称性质+面积转化（压轴） ※复习建议 熟练掌握平行四边形的五种判定，灵活运用全等三角形与勾股定理，动点问题注意分类讨论，压轴题需构造辅助线。 【作业 1】（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【作业 2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【作业 3】（2025·上海金山·二模）已知：在凸四边形中，，，垂足分别是点、，点、在线段上，，．那么四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【作业 4】（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【作业 5】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【作业6】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业 7】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【作业 8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【作业 9】（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为 ． 【作业 10】（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形中，，，，，那么 ． 【作业 11】（24-25九年级下·上海·月考）在中，，．以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则 ． 【作业 12】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 【作业 13】（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【作业 14】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【作业 15】（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【作业 16】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 【作业 17】（24-25八年级下·上海青浦·月考）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【作业 18】（24-25九年级上·上海·月考）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【作业 19】（22-23七年级上·上海青浦·期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.2.2平行四边形性质及判定综合 优等生讲义 (9大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 课程目标 理解并掌握 平行四边形的定义、性质与判定方法 灵活运用 平行四边形的边、角、对角线性质解决几何问题 熟练运用 全等三角形、勾股定理、旋转等知识综合解题 掌握 与平行四边形相关的动点问题、折叠问题、最值问题 体会 分类讨论、转化思想、方程建模在几何中的应用 ✨ 核心思想：利用平行四边形的对称性、对角线互相平分等性质，结合全等三角形实现边角转化 知识梳理·核心概念与定理 ☆平行四边形定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ☆平行四边形性质 · 对边平行且相等 · 对角相等，邻角互补 · 对角线互相平分 · 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点 ☆平行四边形判定 · 两组对边分别平行 · 两组对边分别相等 · 一组对边平行且相等 · 两组对角分别相等 · 对角线互相平分 ☆常用辅助线构造 · 连接对角线，利用对角线互相平分 · 过顶点作平行线，构造平行四边形 · 利用中点构造中位线 核心考点·9类题型精讲 【考点1】证明四边形是平行四边形 常用方法： 一组对边平行且相等、对角线互相平分、两组对边分别相等。 常见题型： 等边三角形+旋转构造平行四边形、动点问题求时间、中点+平行线构造。 【例题 1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，已知是等边三角形，为边上一点，连接．将绕点旋转，使点落在上的点处，点落在上方的点处，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、图形旋转的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理和等边三角形的性质是解题的关键． 先利用等边三角形的性质得到 及相关角度，再结合旋转性质得到 ，从而推出 ；接着证明 为等边三角形，得到 ，进而推出 ；最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵将绕点旋转得到， ∴． ∴，是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式 1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当 时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 【变式 2】（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，且，根据F是的中点，点E在的延长线上，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）作于点H，先求出，得出，得出，列出，求解，再得，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是． 【变式 3】（2012·甘肃白银·中考真题）如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，结合题中，得到，即可解答． （2）连接，证明是等边三角形，再证明，即可解答． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：如图，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 【考点2】判断能否构成平行四边形 关键点： 判定定理的充分性判断，注意等腰梯形等反例。 常见题型： 选择题中条件辨析、平移操作依据。 【例题 1】（25-26九年级上·四川达州·开学考试）如图，在四边形中，，添加一个条件，能使四边形成为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据已知条件以及各个选项中所给的条件，逐项分析即可得出答案． 【详解】A.已知，添加条件，则四边形有可能是等腰梯形，不符合题意； B. 已知可得，故添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C. 已知，添加条件，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； D. 已知可得,添加条件，则可得，由此可证得，因此可判定四边形为平行四边形，符合题意． 故选D． 【变式 1】（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式 2】（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式 3】（23-24八年级上·山东东营·月考）小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（    ） A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 【考点3】添一个条件成为平行四边形 思路： 从边、角、对角线三个角度补充条件，常结合全等三角形。 常见题型： 动点问题中列方程求时间、对角线比例关系求未知数。 【例题 1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 【例题 2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 【变式 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 【变式 2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，根据四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，逐个分析判断即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 当时，不能证明对角线互相平分，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③当时， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故④符合题意； 综上所述，②③④符合题意， 故选：D． 【考点4】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 方法： 分类讨论，以每一条已知线段为对角线或边，利用平移或中点坐标求解。 常见题型： 坐标系中求点坐标、网格图中找点。 【例题 1】（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向左平移个单位后的； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的： (3)若点在第三象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据旋转的性质画图即可； （）根据平行四边形的判定解答即可； 本题考查了平移作图，旋转作图，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图，当点的坐标是时，点在第三象限，可知且，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：． 【变式 1】（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【例题 2】（21-22七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【考点5】全等三角形拼平行四边形问题 原理： 两个全等三角形可拼成平行四边形，常结合旋转、平移。 常见题型： 判断拼法个数、利用全等性质求边长或面积。 【例题 1】（20-21八年级下·全国·课后作业）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 【例题 2】（2021·青海·中考真题）如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为 ． 【答案】． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）． 【变式 1】（2021·河北·模拟预测）如图，将绕边的中点O顺时针旋转．嘉淇发现，旋转后的与构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ） 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处． ∵， ∴四边形是平行四边形． A．应补充：且 B．应补充：且 C．应补充：且 D．应补充：且 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可． 【详解】A．加上，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形是平行四边形； B．加上，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形； C．加上，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； D．加上，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形是平行四边形． 故选：C 【点睛】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键． 【变式 2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 【考点6】利用平行四边形的判定与性质求解 综合应用： 结合三角形面积、周长、勾股定理、方程思想。 常见题型： 求线段长、面积、最值问题，动点问题。 【例题 1】（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，，的周长为，则与的周长和为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对边相等及平行线判定相似三角形的性质是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，得到对应边相等，再结合平行线判定三角形相似，推导与的周长和与周长的关系． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，； ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长和为 ， 故答案为：． 【变式 1】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【例题 2】（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分． 连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为平行四边形， ， ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 即， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【变式 1】（25-26九年级上·上海杨浦·期中）探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【变式 2】（25-26九年级上·上海·期中）如果三角形的其中两条中线是垂直的，则称这个三角形为“优美三角形”，两条垂直的中线的比值（较短中线与较长中线的比值）为“优美值”；已知是“优美三角形”，且，则的“优美值”是 ； 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用二次根式的性质化简 【分析】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，二次根式的性质，分情况讨论是解题的关键． 在中，，点分别是边的中点，设，根据是“优美三角形”，分为时，时，时三种情况分别画图求解即可． 【详解】解：在中，，点分别是边的中点， 设， ∵是“优美三角形”， 故分为时，时，时． 当时，如图， ∴， 过点作，延长交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，如图， ∴， 过点作，延长交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故与矛盾，此种情况不存在． 综上，的“优美值”是， 故答案为：． 【变式 3】（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，所以，由，得，因为，所以，即可根据“角边角”证明； （2）作于点G，于点H，设，由，得， ，则，所以，则，可证明，，则四边形是平行四边形，，， ，因为，所以 ，则，，由，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点7】利用平行四边形性质和判定证明 技巧： 通过证明三角形全等得到边等或角等，再推出平行四边形。 常见题型： 线段相等、角度相等、互相平分证明。 【例题 1】（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键；由，，可得四边形是平行四边形，进而可得，由可得，进而可证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 【变式 1】（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 过点A作于点F，四边形是平行四边形，可得，再由，可得，可证明，即可求证． 【详解】证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式 2】（2024·上海静安·三模）某同学对“对角线垂直的四边形”进行了探究：如图，在四边形中，，，，，由上述条件，得到了两个结论：①，②．对于结论①、②下列说法正确的是（    ） A．①正确、②错误 B．①错误、②正确 C．①、②正确 D．①、②都错误 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，如图，过A作交的延长线于点E，当时，可证出，在中可得出，进而可得出，据此即可得①错误，如图，设，交于点O，利用勾股定理可得，故②正确，即可得出正确选项，熟练掌握其性质，正确的作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过A作交的延长线于点E， ∵， ∴即， 当时， ∴， 则， 如图，过点B作交于点F， ∴四形为平行四边形， ∴， 如图，在中， ∵ ∴即， ∴， ∴， 故①错误； 如图，设，交于点O， ∵， ∴， ，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， 故②正确， 故选：B． 【例题 2】（20-21八年级下·上海崇明·期中）已知：如图，在平行四边形中，的平行线分别交、的延长线于点、，交、于点、，求证：．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据平行四边形的性质得出，，又则可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质可证，最后通过线段和差即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握性质与判定的应用． 【变式 1】（17-18八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，平行四边形的对角线与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，．    (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，则，证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质得出，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；全等三角形对应边相等． 【变式 2】（21-22八年级下·上海徐汇·期中）如图，已知、分别为▱的对边、上的点，且，于，于，交于点，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】连接、，利用于，于，推出 EMFN，根据AAS证明△AEM≌△CFN，得到EM=FN，证明四边形是平行四边形，由此得到结论． 【详解】证明：连接、， ，， ， ∴EMFN， 四边形是平行四边形， ∴ADBC，， ， ， ， 在和中 ≌， ， ∵EMFN， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握平行四边形的判定定理和性质定理及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【考点8】平行四边形性质和判定的应用 实际应用： 几何综合题中结合勾股、旋转、面积转化。 常见题型： 动点问题、最值问题、存在性问题。 【例题 1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【例题 2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 【变式 1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定、平行四边形性质和判定的应用 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 【例题 3】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）已知．为等边三角形，点为平面内一点． (1)如图，点在边上，在图中将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)如图，点为等边边所在直线下方一点，连接，若，，求线段的长； (3)如图，若，直接写出四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)见详解 (2)； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、平行四边形性质和判定的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连，，则是绕点，逆时针旋转的图形． （2）将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作于点，证明，得，，由得，从而，进而利用勾股定理及直角三角形的性质即可得解． （3）将绕点顺时针旋转至，再将绕点顺时针旋转至，则，，为等边三角形，可证明四边形为平行四边形，由，得到，由于和的面积为定值，故当的面积最大时，四边形面积的最大，过点作于点，因为，则，当时等号成立，再求出，的面积即可． 【详解】（1）解：分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连，，则是绕点，逆时针旋转的图形， 证明：由作图知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是绕逆时针旋转后的图形． （2）解：将绕点逆时针旋转，得，连接，过点作于点， 由旋转性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：∵为等边三角形， ∴, 如图，将绕点顺时针旋转至， 则， ∴为等边三角形， ∴ 再将绕点顺时针旋转至， 则 同理可得为等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵等边和等边分别是边长为2和5， ∴和的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形面积的最大， 过点作于点， ∵， ∴，当时等号成立， 过点作于点， 则， 在中，由勾股定理得， ∴， 同理可求， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式 1】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 【变式 2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、点到直线的距离 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点9】创新及压轴题 特点： 融合旋转、全等、勾股、平行四边形判定，需要综合运用多种思想。 常见题型： 等边三角形旋转构造、面积最值、三点共线问题。 【例题 1】（25-26八年级下·全国·课后作业）【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论． 已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形． （1）请写出证明过程． 【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、利用平行四边形的性质证明、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形； （2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形； （3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积． 【详解】解：（1）证明：在和中， ， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， 与互相平分， 四边形是平行四边形． （3）由（2）知，四边形是平行四边形， ． 四边形是平行四边形， ， ， 和等底同高， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键． 【例题 2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）【问题提出】 （）如图，点是边的中点，则 （填“、、”）． 如图，在中，已知，，在上找一点，使得线段将分成面积相等的两部分，则的长为 ． 【问题探究】 （）如图，在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上是否存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【问题解决】 （）如图，为美化校园环境，西安滨河学校计划将位于学校附近的一块空地（位于两条平行道路和之间），改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点修一条笔直的通道，交于点，以方便师生观赏，并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，，垂足为点，，，，，，，如果将通道记为，请分别求出和通道的长（通道的宽度忽略不计）． 【答案】（），；（）存在，；（）， 【知识点】三线合一、利用平行四边形的判定与性质求解、二次根式的应用、含30度角的直角三角形 【分析】（）根据三角形中线的性质、等腰三角形的性质及勾股定理解答即可求解； （）过点作交直线于点，取的中点，连接，作，可证，得，，即得，又根据梯形中位线的性质得，，即得到四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同，得到，再证明，得到，进而可得，即得，根据得，即得到，得到，最后根据线段的和差关系解答即可求解； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，由平行线的性质可得，即得，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）∵点是边的中点， ∴， ∴， 对于图，当点是的中点时，有， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （）存在，理由如下： 如图，过点作交直线于点，取的中点，连接，作， ∵， ∴，，四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，， ∴四边形和四边形都是平行四边形，且大小形状相同， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即所在直线将四边形的面积分成相等的两部分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （）如图，平分四边形的面积，延长交于点，过点作，垂足为，点为的中点，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【例题 3】（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知在等边中，点E是的中点，以为斜边在的内部作，且，． (1)如图1，过点D作直线交直线于点F，且，交于点G，请直接写出线段与的数量关系； (2)将绕点C顺时针旋转到如图2所示的位置时，过点D作直线交直线于点F，且，过点B作的平行线交直线于点G，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，将旋转到E，D，G三点共线时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，具体见解析 (3)的长为或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、平行四边形性质和判定的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）先根据是等边三角形，得，再根据，，，证、是等边三角形，根据，得到，最终可证． （2）根据，的特点延长至H，使得，证得是等边三角形，再证得，进而得到， 又结合， 可证， 再结合， 证四边形为平行四边形， 最终可证得． （3）根据题意，把符合题意的图形画出，存在两种情况：分别根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵是等边三角形， ， ，， ， ，， 是等边三角形，是等边三角形，， ， ，， ，即， ． （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图1，延长至H，使得，连接、，并延长交于K，设与交于点， ，， ，， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， 又在等边中，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 又， ； （3）解：的长为或； ①如图2，E，D，G三点共线时，， 在中，， ，， 在中，， ， ； ②如图3，E，D，G三点共线时，同①得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是作辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题． 【例题 4】（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）90；（2）；（3）15930元 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，，先证明，可得，再证明，可得，然后根据垂直平分，可得，由勾股定理可得，从而得到的长度，即可； （3）把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P，可得点N，M，A，D四点共线，再证明，可得，分别在和中，利用勾股定理可得，，可得，可求出四边形的面积，取的中点Q，连接，则，证明四边形，均是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 故答案为：90 （2）如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的边长为； （3）如图，把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P， 由旋转的性质得：， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点N，M，A，D四点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， ∴四边形，均是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为元． 【点睛】本题主要查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 【例题 5】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 随堂检测·精选练习·方法梳理 · 练习1 平行四边形中高与角度计算（分类讨论） · 练习2 平行四边形内角度计算（利用性质） · 练习3 平行四边形内三角形面积转化（等积变形） · 练习4 折叠+平行四边形存在性问题（含30°角） · 练习5 梯形中折叠+勾股求线段长 【练习 1】（25-26八年级·上海·假期作业）在中，是边上的高，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用平行四边形的性质求解、与三角形的高有关的计算问题 【分析】分两种情况讨论：点在上或点在的延长线上．根据是边上的高，可得，结合，利用直角三角形和等腰三角形的性质求解． 【详解】①当点在上时，如图： ∵是边上的高， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ②当点在的延长线上时，如图： ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴， ∴． 故答案为：或． 【练习2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【练习3】45．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，与相交于点，与相交于点，若四边形的面积，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】20 【知识点】利用平行线间距离解决问题、与三角形的高有关的计算问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行线之间的距离（利用平行线间距离解决问题）等知识点，由平行线间距离处处相等得出是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质可得，由平行线间距离处处相等可得和同高且等底，由三角形的面积公式可得，进而可得，即，同理可得，则图中阴影部分的面积，于是得解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 和等底同高， ， ， ， 同理可得：， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为：20． 【练习4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ． 【答案】6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意作图，由含30度角的直角三角形的性质得到，折叠的性质，平行四边形的性质，结合三角形外角的性质得到，由即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴相互平分，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 【练习5】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是关键．延长交于点G，证明四边形是平行四边形，得到，则，得到，得到，设则由折叠可知，勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， 在梯形中，，， ∴， ∵将沿着翻折，点B的对应点为点F． ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， 设则 由折叠可知， 在中，， ∴， 解得 则， ∴， 故答案为：． 课后巩固·核心作业·知识点梳理 · 作业1 平行四边形对角线取值范围（三角形三边关系） · 作业2 平行四边形中角平分线+等腰三角形求角度 · 作业3 全等三角形证平行四边形 · 作业4 平行四边形面积转化（构造高） · 作业5 平行四边形中垂直平分线求周长 · 作业6 平行四边形内任意点面积关系 · 作业7 对角线取值范围 · 作业8 平行四边形+勾股定理求边长 · 作业9 折叠+等边三角形求AD · 作业10 梯形中构造平行四边形求BD · 作业11 平行四边形+等腰三角形求角度 · 作业12 物理情境+平行四边形性质求高度 · 作业13 全等三角形证平行 · 作业14 平行四边形中勾股定理求线段长 · 作业15 平行四边形+全等+勾股求AE · 作业16 角平分线+全等+面积转化 · 作业17 动点+等边三角形+平行四边形（分类讨论） · 作业18 折叠+平行四边形综合（构造全等） · 作业19 平行四边形中心对称性质+面积转化（压轴） 📣 复习建议 熟练掌握平行四边形的五种判定，灵活运用全等三角形与勾股定理，动点问题注意分类讨论，压轴题需构造辅助线。 【作业 1】（24-25八年级下·上海·期中）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，令对角线的长等于对应选项中的值，进而得到的长，再判断能否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则，A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【作业 2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到；然后由角平分线的性质求得；最后根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 【作业 3】（2025·上海金山·二模）已知：在凸四边形中，，，垂足分别是点、，点、在线段上，，．那么四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到，从而推出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推导出四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故选：A． 【作业 4】（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，过A作交BD的延长线于M，于N，由平行四边形的性质推出，，则可证明，、A、N共线，再由平行四边形的性质得到的面积，的面积，进而可证明，据此可得答案． 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 【作业 5】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，从而得出垂直平分，故有，所以的周长为，再由为即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ， ∵为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 【作业6】（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 【作业 7】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知平行四边形的一边长为，一条对角线长为，则另一条对角线的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】确定第三边的取值范围、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，注意掌握数形结合思想的应用． 利用平行四边形的对角线互相平分，构造三角形，应用三角形的三边关系求解． 【详解】解：如图所示： 假设，， ∴， 由三角形三边关系， 可得， ∴， 故答案为：． 【作业 8】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 【作业 9】（2025·上海·模拟预测）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、等边三角形的性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可证，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 将纸片沿对角线对折， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 【作业 10】（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形中，，，，，那么 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点D作交于点F，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质进一步得出是等腰三角形，过点D作于点E，由三线合一可得出，然后利用勾股定理线求出，进而再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是等腰三角形， 过点D作于点E， 则点E是的中点， ， ∴ 在中， ， 在中， ， 故答案为： 【作业 11】（24-25九年级下·上海·月考）在中，，．以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则 ． 【答案】57 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，解题关键是利用平行四边形性质求出相关角的度数． 利用平行四边形对角相等、邻角互补，由求出，．根据以为圆心，为半径作弧得，利用等腰三角形性质和三角形内角和求出．再利用角的和差即可解答． 【详解】解：如图 在中，，． ∴，， ∵以点D为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接， ∴， ∴， ∴． 故答案为：57． 【作业 12】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业 13】（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．根据平行四边形的性质证明得到，再由等角的补角相等得到，即可证明平行． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【作业 14】（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质和勾股定理得到，即可得到的长； （2）根据平行四边形的性质得到，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 【作业 15】（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【作业 16】（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可； （2）过点作于点，利用角平分线的性质得到，利用三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ∵分别平分，于点， ∴， ∵，，且平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是192． 【作业 17】（24-25八年级下·上海青浦·月考）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【答案】(1)当时，；当时， (2)见解析 (3)2或3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答． （1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点与点D重合或点E在边上时的值，从而得到的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， ①当时，， ②当时，； （2）证明： 连接， 如图， 在中，为对角线的中点， ∴经过点，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 在和 中， ， ， ； （3）解：①当点与点重合时，如图， 由题意得：为等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点落在边上时，如图， 由题意得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在边上时，的值为：2或3． 【作业 18】（24-25九年级上·上海·月考）在平行四边形中，点是的中点，连结，将沿直线翻折，得到．      (1)如图1，延长交于点，求证：； (2)如图2，连结并延长交于，求证：； (3)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）连接并延长交的延长线于，证出，得到，再由角平分线性质定理及面积关系得，从而得出，即可得出结论； （2）设与交于点，根据等腰三角的三线合一，证出，得到，再根据平行四边形的判定得到为平行四边形，得到，即可得出结论； （3）根据已知，得到，得到直角，得出，，得到为等腰直角三角形，根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：见图1，连接并延长交的延长线于，   ， ； ∵点是的中点， ； 在和中， ， ， ， 即为的中点； ∴； 又为的平分线，且设E点到的距离分别为， 则； ∴， ； ， ， 即， ， ； （2）证明：见图2，延长交于G，设与交于点，    由（1）知，为等腰三角形， 等腰三角的三线合一， ； 在和中， ， ， ， 垂直平分，； 又， ； ； ， 即四边形为平行四边形， ∴， 即； （3）解：同图2， ， ， ， ； 在中， ， ， ， ； 在直角三角形中， ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等，等腰三角形，平行四边形的性质，角平分线的性质定理，三角形内角和、勾股定理等知识，采用数形结合的方法构造三角形全等以及熟练掌握等腰三角形三线合一的运用是解题的关键． 【作业 19】（22-23七年级上·上海青浦·期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心． 请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：      (1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______； (2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上． ①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）； ②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析，；②7 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由四边形是平行四边形，对角线相交于点，得，从而得到，即可证明出，同理可证明出，，因此得到，，，又因为，，所以得到，从而即可得到答案； （2）根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可； 由四边形是平行四边形得，由四边形为平行四边形，得，从而可得，进而可得四边形为平行四边形，同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形的面积为． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点， ， ， 在和中 ， ， 同理可得，， ，，， ，， ， 即四边形的面积与四边形的面积之比为， 故答案为：； （2）根据（1）中的结论画出图如图所示，      平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于，直线与相交于， 其中，， ， 即； 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， 同理可得，四边形、四边形均为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 三角形的面积为7． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强． 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $