江苏省如皋中学2025-2026学年第二学期综合练习（一）数学试题

江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（一） 高二数学 一、单选题 1．已知服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知离散型随机变量满足，且，则（   ） A．0.07 B．0.03 C．0.09 D． 3．已知直线是两条不同的直线，平面是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 5．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 6．被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 7．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 8．一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．已知事件发生的概率分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若与互斥，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若，则 10．甲、乙、丙等5人排成一列，下列说法正确的有（    ） A．若甲和乙相邻，共有48种排法 B．若甲不排第一个共有96种排法 C．若甲与丙不相邻，共有36种排法 D．若甲在乙的前面，共有60种排法 11．一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量（，2，3）表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确的是（    ） A．X的分布列为，，2，3 B．X的方差 C． D． 三、填空题 12．设随机变量，且，则___________． 13．已知，则的值为________．（用数字作答） 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 四、解答题 15．甲、乙两选手进行象棋比赛，采用五局三胜制.甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且每局的胜负相互独立. (1)求比赛三局定胜负的概率； (2)在甲第一局获胜的前提下，设还需进行的局数为，求的分布列与数学期望. 16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，，为的中点. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 18．某企业为了提高生产效率和产品质量，更新了机器设备，为了检验新机器生产零件的质量，该企业质检部门要对新机器生产的零件抽样检测. (1)在调试生产初期，质检部门抽检该机器生产的10个零件中有2个为次品，现从这10个零件中随机抽取3个零件，设抽取的零件为次品的个数为，求的分布列和数学期望; (2)在正式生产后，质检部门从新机器生产的一批零件中随机抽取100件进行检验，其中有3件为次品. 用频率估计概率，现从新机器生产的这批零件中随机抽取个零件，记这个零件中恰有2件为次品的概率为，求取得最大值时的值. 19．在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种. 记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 江苏省如皋中学2025-2026学年度第二学期综合练习（一） 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A C D B BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用两点分布的性质及已知条件即可求解. 【详解】由两点分布的性质可知，， 又，所以. 故选：C. 2．C 【分析】若，即可求解. 【详解】由有，所以， 故选：C. 3．B 【分析】根据线面平行可判断A；根据线面垂直可判断B，根据面面平行可判断CD. 【详解】对于A，当，此时直线可能在平面内，或，故A错误； 对于B，如图，设，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，且，， 且，， 所以，.又， 则，.又，所以，故B正确；    对于C，当，若，则平面可能平行，也可能相交，故C错误； 对于D，当，此时平面可能平行，也可能相交，故D错误. 故选：B 4．B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 5．A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 故选：A. 6．C 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 7．D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 8．B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 9．BC 【分析】由互斥事件、独立事件及条件概率的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：，A错； 对于B：，，B对， 对于C：由，，可得，所以与相互独立，所以与相互独立，C对， 对于D：由，可得， 所以，D错， 故选：BC 10．ABD 【分析】利用捆绑法可判断A选项；利用特殊元素优先可判断B选项；利用插空法可判断C选项；利用组合法可判断D选项. 【详解】选项A:若甲和乙相邻，将甲和乙捆绑，形成一个大元素，与其余四个元素排序 共有种排法，A对; 选项B：若甲不排第一个，则甲有4种排法，其余全排，共有种，B对； 选项C，若甲与丙不相邻，将除甲和丙以外的人全排，然后将甲与丙插入人所形成的个空中的个空，所以，共有种排法，C错； 选项D，若甲在乙的前面，只需在5个位置中先选两个位置排甲、乙，且甲排在乙的前面，然后将其余3个人全排，共有种排法，D对. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】判断随机变量X服从超几何分布，然后由超几何分布的概率公式判断A选项，超几何分布的方差计算公式判断B选项，由全概率公式判断C选项，由条件概率公式判断D选项. 【详解】由题意，随机变量X服从超几何分布，即，，，2，3，故A错误； 根据超几何分布的方差的计算公式得，，所以，故B正确； 根据全概率公式，，故C正确； 根据条件概率，可得，故D正确． 故选：BCD. 12． 【分析】先求解出，然后根据正态分布曲线的对称性可求解出. 【详解】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称， 因此：， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．121 【分析】由二项式展开式的通项公式得出系数的代数计算公式即可求出得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 14． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 15．(1) (2)见解析 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求解即可； （2）利用独立事件的乘法公式求分布列，然后利用期望的公式求解即可. 【详解】（1）比赛三局定胜负即甲连赢三局或者连输三局， 故比赛三局定胜负的概率：. （2）由题意知，的可能值为：. ; ； ， 故的分布列为： 2 3 4 , 期望： 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接、，由勾股定理得，再由等边三角形三线合一得，再由面面垂直判定定理进行证明； （2）由（1）中的三垂直建立空间直角坐标系，将相应向量表示出后，由向量夹角公式，利用两平面法向量求解. 【详解】（1） 证明：取的中点，连接． 因为四边形是边长为2的正方形，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以． 因为平面平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）设的中点为Q，连接，则．结合（1）可知两两垂直． 以O为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设是平面的法向量，因为， 所以，令，得． 因为平面，所以． 因为，且，所以平面， 所以为平面的一个法向量． 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算取到的标号都是2的概率即可； （2）利用条件概率的公式计算； （3）利用互斥事件和独立事件的概率公式计算分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. （2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. （3）的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 18．(1)的分布列详见解析； (2)66 【分析】（1）根据分布列、数学期望及超几何分布概率计算公式求解即可. （2）根据二项分布求出，比较与1的大小关系，判断数列的单调性，从而找到最大值点. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2. ，，. 所以的分布列为 0 1 2 数学期望为. （2）由频率估计概率，单次抽到次品的概率为， 则个零件中恰有2件次品的概率为. . 令，即，解得；令，解得. 因此，当时，，当时，，所以​在时取得最大值. 故取得最大值时的值为66. 19．(1) (2)（i），，证明见解析；（ii）能 【分析】（1）利用全概率公式进行求解即可； （2）（i）利用全概率公式，结合等比数列的定义进行求解即可； （ii）根据（i）的结论，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设选择方案A，B，C分别为事件A，B，C，物流提前送达为事件Z， 则， ，，， . （2）（i）由①知道. 由②根据全概率公式 ， . 设第n次物流选择方案A，B，C为事件，，，第n次物流提前送达为事件， 则，，，因为，所以， 所以. 由②根据全概率公式 ， 注意到，， 而， 所以 ， 同理 . 注意到 ， 且，所以， 故为定值， 即是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）可求， 同理 ， 所以， 联立解得 ，， 所以. 随着的增大，增大，注意到，所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统能逐步提高物流提前送达的概率. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $