精品解析：河南省周口市鹿邑县百师联盟2025-2026学年高三下学期4月阶段检测数学试题

数学 时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 6 2. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 正方体的外接球半径为 B. 四点共面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与向量满足，则__________. 13. 已知抛物线（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点.若，则__________. 14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中. （1）求公差及的值； （2）设数列，数列的前项和为，求. 17. 如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为的中点，证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 18. 若，点，双曲线. （1）写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； （2）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. （3）证明：. 19. 已知函数，函数. （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】的虚部为. 2. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】全集，， ，. 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】借助百分位数定义与平均数定义计算即可得. 【详解】，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数， 即，即有，解得. 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，得. 所以. 5. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 6. 已知数列是等比数列，，则“对任意的正整数都有”是“数列是单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】是等比数列，， 对任意的正整数都成立， ，， 是等比数列，是单调递增数列，， ∴“对任意的正整数都有”是“是单调递增数列”的充分必要条件. 7. 已知是定义在上的函数，，当时，，则（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件判断为周期为6的函数，进而求出结果. 【详解】. 两式相加，得， 是周期函数，且. 8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小值为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：利用值域即可得函数值域，即可得其最小值；对B：借助代入检验法计算即可得；对C：求出范围可得函数在区间上单调性；对D：借助平移变换性质计算即可得. 【详解】对于A，由，故，即函数的最小值为，故A正确； 对于B，当时，， 由点是函数图象的一个对称中心， 故点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 对于C，时，，则函数在区间上单调递减，故C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误. 10. 已知棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 正方体的外接球半径为 B. 四点共面 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：正方体的外接球半径，故A正确； 选项B：设的中点为，则四点共面， 点不在平面内，四点不共面，故B错误； 选项C：如下图，连接，则， ， ， 在中，，故C正确； 选项D：如图，连接，记为的中点，过点作的垂线，交于点， 在中，，则， ， 过直线的平面截正方体的外接球所得的所有截面圆中， 半径最小为， 半径最小的圆的面积为，故D错误． 11. 已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量与向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】//，解得. . . 13. 已知抛物线（）的焦点为，点都在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知点是线段的中点，再根据抛物线定义，可得，由为的中位线，得，则，代入抛物线方程求解即可. 【详解】点到准线的距离为点是线段的中点. ∴点到准线的距离为. 为线段的中点，为的中位线，. 在等腰三角形中，点. 将点的坐标代入抛物线的方程，得， . 14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除2取余，逆序排列法.步骤是：用2整除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行下去，直到商小于1为止；最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来.例如，将十进制数5转化成二进制数：，即十进制数5转化成二进制数为101；十进制数13转化成二进制数：，即十进制数13转化成二进制数为1101.记为十进制中正整数的二进制表示中数字1的个数，例如，则__________. 【答案】192 【解析】 【分析】根据表示都可以表示成6为二进制数，然后分析1出现的次数即可. 【详解】因为表示成二进制为， 所以表示都可以表示成6为二进制数，不足6位在前面补0， 将表示成6为二进制数是，每个数位出现0和1的次数一样， 所以每个位上出现1的次数为，所以6个数位上共出现次1， 又，所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有标有数字1到6的6个大小､形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字. （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）已知取出的3个小球的标号和为偶数，求的概率. 【答案】（1） 3 4 5 6 . （2） 【解析】 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值为，然后求出对应的概率值，进而可列出分布列求出期望. （2）根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 随机变量的所有可能取值为， 则， . 所以的分布列为 3 4 5 6 所以. 【小问2详解】 记事件为“取出的3个球的标号和为偶数”，事件为“”. 由题意得， . 由条件概率公式，得. 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且，其中. （1）求公差及的值； （2）设数列，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式和三角函数恒等变形求解； （2）根据的周期性可得数列为周期函数，利用分组求和法求解. 【小问1详解】 ， ， . ， . 【小问2详解】 由（1）得，， . 又的周期， ∴当时，；当时，； 当时，；当时，，其中. ∴在一个周期内， ， . ∵数列的前20项为5个完整的周期，. 17. 如图为半径为2的圆的直径，点为圆上的两点，且.如图2，将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为的中点，证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF. ∵E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC，OF∥AB. 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC. ∵BC⊥DC,EF∥DC,∴EF⊥BC. 又∵EF∩OF=F,EF,OF⊂平面OEF,∴BC⊥平面OEF. ∵OE⊂平面OEF,∴BC⊥OE. （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，交线为， ，故，又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. . 则， . 设平面的法向量为， 则令，则， . 设平面的法向量为， 则令，则， . . 由图知二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 18. 若，点，双曲线. （1）写出的坐标，并证明：对任意，点在双曲线上； （2）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，记的面积为（为坐标原点），求证：为定值； （参考公式：设三角形的三个顶点分别为，则三角形的面积）. （3）证明：. 【答案】（1），，证明： 当时，，. 当时，，. ， ， ∴任意，点在双曲线上. （2）证明： 由（1）知， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 且. 不妨设是直线与直线的交点， 是直线与直线的交点. 联立，得. 联立，得. ， ， . ， . 即的面积为定值. （3）证明：， ， 即. 【解析】 【分析】（1）分别令和，代入求解，可得的坐标，整理计算，可得表达式，代入化简，即可得证. （2）根据（1）可得直线的方程，求出直线与两渐近线的交点坐标，代入面积公式，化简整理，即可得证. （3）分别对和整理变形，即可得证 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，函数. （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，证明：. 【答案】（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值，无最小值. （2） （3）证明： 由（1）可知，即. 令，则， . 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵， ∴， ∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 【解析】 【分析】对求导，根据导数正负判断单调性，进而求最值； 将恒成立问题转化为参数分离，构造函数求其最大值，即可得的取值范围； 结合前两问的不等式结论，进行 和的放缩，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. 【小问2详解】 由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $