精品解析：河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题

河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将转化为 ，解得， 所以，则. 2. 若，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，所以对应的点位于第三象限. 3. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得， 因为为第四象限角，所以，， 所以. 4. 已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算. 【详解】设公比为，则由得，由得， 所以，解得或（舍）或（舍）， 由得，所以. 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 6. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于直线对称，通过求导得到的单调性，根据函数的单调性即可判断. 【详解】，故关于直线对称， 求导得， 当时，，故，即，在上单调递增； 当时，即，在上单调递减， 又，， 即，， 所以，， 即， 根据函数的对称性和单调性可知， 又，， 所以， 所以. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果. 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由向量的数量积运算得，根据新定义得，设，利用辅助角公式结合三角函数性质求解. 【详解】设，， 由，得，所以，即， 所以， 设，则，即， 所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ） 0 A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象上存在互相垂直的切线 【答案】BC 【解析】 【详解】依题意，，解得，A选项错误； 又，解得，B选项正确； 由A，B可知，，且，所以的图象关于点对称，C选项正确； 易知，因此切线斜率取值范围为， 即不存在两条直线斜率乘积为，所以D选项错误. 10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（ ） A. B. C. D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用古典概率公式求解；对B，利用条件概率公式求解；对C，根据全概率公式求解；对D，利用条件概率公式求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，，互斥，且， 所以 ，故C正确； 对于D，因为，， 所以在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为，故D正确. 11. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ） A. 准线的方程为 B. 可能在直线上 C. 的最小值为9 D. 面积的最小值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线求解选项A.设点的坐标，求出直线方程代入点，得到，无解，求解选项B.联立直线与抛物线方程，得到点的坐标，求出，根据基本不等式求解即可.根据直线方程求出坐标，根据距离公式求出，得到的面积，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知，所以准线的方程为，A选项正确； 设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为， 所以直线的斜率为， 所以直线， 若在直线上，则，即，无解，B选项错误； 直线与联立可得，，解得， 即的横坐标为，所以的纵坐标为， 所以，当且仅当时，等号成立.C选项正确； 直线的方程为：，令，则， 所以， 所以，， 所以的面积为， 设，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为.D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，若，且，则________. 【答案】0 【解析】 【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故， 所以，解得. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【详解】由于正四棱柱的体积为，， 故，则， 由于在平面上运动，且， 平面，平面，因此， 故， 由于，， 以为圆心，以的长度为半径作圆，此时圆与棱相交于点， 且 ，由于， 故，故， 故的轨迹为，故. 14. 已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，再分析可知只能是且.构造函数，求导根据单调性可知，再根据基本不等式得，结合上述两个式子，可求解. 【详解】， 即， 当时，， 所以只能是且. 令,则，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则. ,当且仅当，即时等号成立. 综上，问题转化为存在实数同时满足和（即）. 为使这样的存在，须满足，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 ， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，， 综上所述：. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先通过余弦定理与勾股定理证明，再结合面面垂直的性质定理证得平面，进而推出平面，最终得到; （2）先由三棱锥体积公式求出的长度，再以为原点建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，最后利用法向量夹角公式计算平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得，，解得， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以. 因为，，所以平面， 所以； 【小问2详解】 依题意，三棱锥的体积为， 解得， 如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 所以，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设平面的法向量为， 则令，则， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论曲线与的交点个数. 【答案】（1） （2）若或，则曲线与无交点，若，则曲线与有一个交点. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程. （2）设，，需要二次求导，分析函数的单调性，判断函数的零点个数. 【小问1详解】 由题意得，. 故，. 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意等价于. 设，. 则，记. 且，则是偶函数，且. ①当时，，. 故，在区间上单调递增，. ②当时，. 则当时，. 又因为是偶函数，所以当时，.从而在区间上单调递增， ，， 所以， 若或，即或，则曲线与无交点， 若，则曲线与有一个交点. 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. （1）求的方程； （2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）左顶点到右焦点的距离及右焦点到单位圆上点的最大距离，分别得到关于的方程，求解即可； （2）（i）设过右焦点的直线参数方程，与双曲线联立，利用韦达定理计算直线和的斜率乘积即可证明； （ii）设直线  和  的方程，分别联立双曲线和单位圆，求得点  的坐标，将面积比表示为关于斜率的函数，通过换元化简，利用基本不等式及函数单调性求得最小值. 【小问1详解】 依题意，，设，则， 到圆上点的距离的最大值为3，所以，所以，故，， 所以的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线，，， 由可得，， 所以，， ， 所以； （ⅱ）不妨设直线，，， 由，可得，解得， 同理可得，， 由可得，解得， 同理可得，， 由题意，得，，故， 设的面积为，则， 易知， 令，当且仅当时取等号，则， 令，函数在单调递增， 故当时，取得最小值；. 所以的最小值为8. 19. 已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量. （1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率； （2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望； （3）求. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意利用古典概率计算公式计算求解； （2）列举随机变量可能取值，计算对应概率，由此可计算数学期望； （3）由题意可得，由，计算即可求解. 【小问1详解】 依题意，4个等分点构成正方形， 2白2黑对应的同色线段有两种情况：为白色，为黑色；为黑色，为白色. 满足条件的方案数为2，总染色方案数为16， 所以圆中仅有两条线段且相互垂直的概率为； 【小问2详解】 设直角三角形的个数为随机变量，则， 即四个点对应为2黑2白，有如下两种情形， 两条线段垂直，有2种情况，两条线段互相平行，有4种情况， 所以， 即四个点对应为3黑1白或3白1黑，有种情况， 所以， 即四个点对应为4黑或4白，有2种情况， 所以， 所以； 【小问3详解】 记个点中被染成白色的点数为，则. 当时， 所以 . 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，自变量、相位、函数值的部分取值如下表，则（ ） 0 A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象上存在互相垂直的切线 10. 已知不透明的袋子中有3个白球，2个黑球，甲从中随机取2个球（甲取球后不放回），然后乙再从袋中随机取出1个球，记事件：“甲取出个白球”，事件：“乙取出1个白球”，则（ ） A. B. C. D. 在甲至少取出1个白球的条件下，乙取出白球的概率为 11. 已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（ ） A. 准线的方程为 B. 可能在直线上 C. 的最小值为9 D. 面积的最小值为16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，若，且，则________. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 14. 已知函数，若存在，使得对任意恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，讨论曲线与的交点个数. 18. 已知双曲线的右焦点为，左顶点为，，圆，到圆上点的距离的最大值为3. （1）求的方程； （2）已知过点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交圆的另一点于，. （i）证明：； （ii）记四边形的面积为，的面积为，求的最小值. 19. 已知依次为圆周上的个等分点，每个点等概率地被染成白色或黑色.对于任意两个点和，若它们颜色相同，则连接，否则不连接.记线段的总条数为随机变量. （1）当时，求圆中仅有两条线段且相互垂直的概率； （2）当时，求圆中直角三角形的个数的数学期望； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $