精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年下学期高三年级4月质量调研数学试卷

2026年春学期金坛一中高三年级4月质量调研 数学试卷 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 3. 已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ） A. 10 B. 40 C. 100 D. 103 4. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 7. 已知，则（ ） A. 48 B. 192 C. 128 D. 72 8. 若与有且仅有一对对称的点关于函数的图象对称，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是圆上一点，则的最大值是 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最小值是 D. 直线与圆相交 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为________． 13. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 四､解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 16. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，. （1）求证：； （2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 19. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值. 参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期金坛一中高三年级4月质量调研 数学试卷 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 如图，已知集合，则阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由阴影部分为以全集为A的集合A与集合B交集的补集求解. 【详解】解：因为， 所以，， 即阴影部分表示的集合为， 故选：B 2. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面的位置关系，结合空间想象即可得解. 【详解】若，，，则与有可能平行，故A错误； 若，，则可能在内，故B错误； 若，，则，又，则，故C正确； 若，且与所成的角和与所成的角相等，则与有可能相交，故D错误. 故选：C. 3. 已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ） A. 10 B. 40 C. 100 D. 103 【答案】D 【解析】 【分析】设数列的公差为，借助等差数列的性质可计算出，即可得，即可得解. 【详解】设数列的公差为，则， 故，所以． 故选：D. 4. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件和正弦定理化边为角，再利用和角公式进行拆角化简，即可得到，利用三角形内角范围即得. 【详解】由以及正弦定理可得：， 因，代入整理得， 因,则得，又因，故. 故选：A. 5. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可. 【详解】不妨设，则， 对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误； 对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误； 对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确； 对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误． 故选：C． 6. 甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（ ） A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 7. 已知，则（ ） A. 48 B. 192 C. 128 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导，然后令求解. 【详解】解：令， 则， 令，得． 故选：B． 8. 若与有且仅有一对对称的点关于函数的图象对称，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据指对数函数的图象可知，与关于直线对称， 所以函数与的图象上恰好存在唯一一对关于直线对称的点， 等价于函数与恰好存在唯一交点， 令，则， 所以直线与有唯一的交点， 设，则， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 而，且当时，， 所以当时，，当时，， 则函数的大致图象，如下图所示，故或满足条件， 所以实数的取值范围是. 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是圆上一点，则的最大值是 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最小值是 D. 直线与圆相交 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD. 【详解】设圆的圆心为． 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2， 两圆的圆心关于直线对称，则解得 所以，故圆的方程为． 对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得， 故由图可知的最大值是，故A正确； 对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确； 对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误． 故选:AB． 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，的最小值为1 D. 若为锐角三角形，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，即可得，所以A正确；再利用由正弦定理计算可得，可得，B正确；由锐角三角形可得，再由二倍角公式可得，即C错误；由正弦定理可得，结合的范围并利用函数单调性可得D正确. 【详解】对于中，由正弦定理得， 由，得，即， 由，则，故，所以或， 即或（舍去），即，A正确； 对于B，若，结合和正弦定理知， 又，所以可得，B正确； 对于，在锐角中，，即. 故，C错误； 对于，在锐角中，由， ， 令，则， 易知函数单调递增，所以可得，D正确； 故选：ABD. 11. 甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；对于B项，运用条件概率公式，分别算出和代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白． 对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率，故A项正确； 对于B项，，，，故，故B项正确； 对于C项，因事件与相互独立，则，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式计算，对于积事件的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求. 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，设的坐标，分别求出向量，的坐标，结合三角函数性质即可求解． 【详解】以A为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，，与的夹角为， ， 由于，故， 所以， 因为为的中点，，所以在以为圆心，半径为1的圆上， 设， 则，， 得， 所以当，即时，最大，最大值为， 此时，则． 故答案为：． 13. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先联立方程计算求解的坐标，再求出所在直线斜率，可得的倾斜角，最后应用两角和的正切公式计算即可． 【详解】设所在直线方程为， 联立，得． 设，准线交x轴于点M，则， 又，，即， 联立 ，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或， 则，即， 设的倾斜角为，则， 由，， ， 可得； 故答案为：2． 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为不等式的解，再当时，根据题意令，求导后结合已知条件可得在上递增，且为偶函数，由，得，则将转化为，再利用的奇偶性和单调性可求得结果. 【详解】当时，由，得，则， 所以成立，所以符合， 当时，令，则， 因为， 当时，， 所以在上递增， 因为定义在上的偶函数，所以， 所以，所以为偶函数， 因为，定义在上的偶函数，所以， 所以 由，得，所以， 所以， 因为在上递增， 所以，且，得，且， 综上，，即不等式的解集是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题意构造函数，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四､解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）的极小值为，无极大值 （2）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【小问1详解】 当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 16. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 【答案】（1）; （2） 设直线方程为，与椭圆联立，消得： ， 其中， 设，则， 由已知得：， 再化简得：， 代入得：， 整理得：， 因为直线不经过点，所以， 即， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系数的关系上来，最后可得，从而可证直线过定点. 【小问1详解】 由题意得：， ，所以解得， 即椭圆方程； 【小问2详解】 略 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，. （1）求证：； （2）若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1） 证明：底面为正方形,则， 又平面，平面， 则平面， 又平面平面，平面， 故. （2）选择任意条件①②，都为 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再利用线面平行的性质证明； （2）选①②：证明 平面，建立以M为原点的空间坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选①，取中点G,连接，因为，所以， 易知为梯形的中位线，则， 又平面，故平面，平面， 则平面，且必相交，故平面， 延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形. 以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图： 则， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设直线与平面所成角为. 选②：取中点G, 连接，易知为梯形的中位线，， 则，由题，，则，故 又平面，故平面， 延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形. 以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图： 则， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设直线与平面所成角为. . 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 【答案】（1） ，，当时，， 两式相减得，即， 则有，当时，，则，即， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可. （3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，则，数列是等差数列， 于是，解得，则， 所以的前项和 . 【小问3详解】 由（1）知，， 由成等差数列，得，整理得， 由，得，又，，不等式成立， 因此，即，令，则, 从而，显然，即， 所以存在，使得成等差数列. 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 19. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲､乙､丙三人某周均从两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择健身中心健身的概率分别为，求这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择健身中心的概率为.若丁周六选择健身中心，则周日仍选择健身中心的概率为；若周六选择健身中心，则周日选择健身中心的概率为.求丁周日选择健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过.若抽取次数的期望值不超过23，求的最大值. 参考数据：. 【答案】（1） （2） （3）30 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式进行计算； （2）设出事件，利用全概率公式进行求解； （3）设抽取次数为，求出的分布列和数学期望，利用错位相减法求出，利用单调性，结合特殊值，求出答案. 【小问1详解】 由题意得这三人中这一周恰好有一人选择健身中心健身的概率 . 【小问2详解】 记事件：丁周六选择健身中心，事件：丁周日选择健身中心， 则， 由全概率公式得. 故丁周日选择健身中心健身的概率为. 【小问3详解】 设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为，则， 设抽取次数为，则的分布列为 1 2 3 故， 又， 两式相减得， 所以 ， 所以在时单调递增， 可知当时，； 当时，； 当时，. 若抽取次数的期望值不超过23，则的最大值为30. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $