精品解析：江苏淮安市涟水县第一中学2025-2026学年第二学期高三年级4月调研测试数学试卷

涟水县第一中学2025-2026学年度第二学期高三年级4月调研测试 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与为对立事件 B. 若，则事件与为相互独立事件 C. 若，则 D. 若，则 6. 若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，则的内切圆半径最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象关于轴对称 C. 在内不单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于0 C. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有6种 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的系数为___________. 13. 已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则__________. 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 涟水县第一中学2025-2026学年度第二学期高三年级4月调研测试 数学试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为，所以中的元素个数为. 2. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算以及复数模的计算分析即可. 【详解】由，则，所以. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形为标准形式，得到焦点坐标. 【详解】，焦点在轴上，故焦点坐标为. 故选：C 4. 设等差数列的前项和为，且公差不为0，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（），根据等差数列基本公式： 前3项和，. 将上述结果代入等式，整理得，即. 因为，所以，即， 因此“”是“”的充要条件. 5. 已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件与为对立事件 B. 若，则事件与为相互独立事件 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由概率加法公式，条件概率公式，对立事件和独立事件的定义可选答案. 【详解】对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件与为对立事件，故A错误； 对于B：因为， 由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件与为相互独立事件，故B错误； 对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误； 对于D：因为， 又，所以，故D正确. 故选：D. 6. 若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性与极值，结合定义域及极限情况，确定函数零点个数，从而得出的取值范围. 【详解】令，且，求导得. 当时，，在上单调递增， 在上，从递增到有一个零点； 在上，从递增到，无零点； 故时，方程仅有1个实数根，不符合题意. 当时，令，解得（极值点）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在处取得极大值，. 设，求导得，令，解得. 在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 故，即极大值恒正. 在上：从递增到极大值，必有一个零点； 在上：从极大值递减到，必有一个零点； 又不在定义域内，且在两侧均趋近于，不影响零点个数. 综上，当时，方程有2个不相等的实数根. 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原式 . 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，则的内切圆半径最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和三角形内切圆半径公式，将内切圆半径转化为含三角形面积的函数，通过分析椭圆上点的纵坐标最大值，求得三角形面积的最大值，进而得到内切圆半径的最大值. 【详解】由椭圆方程，得，故， ，即，两焦点距离. 三角形内切圆半径满足公式（为三角形面积，为三角形周长，为内切圆半径），即. 对椭圆上任意点，有， 因此的周长，代入得 ，即求的最大值等价于求面积的最大值. 已知（为点的纵坐标）， 椭圆上点的纵坐标满足，当在椭圆短轴顶点时取最大值， 此时，代入得：. 因此内切圆半径最大值为. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象关于轴对称 C. 在内不单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判断选项D. 【详解】由图可知，， 图象过点，，， 因为，所以， 图象过点且在该处单调递增，， 所以，解得， 又，，所以，， 所以，选项A正确； ，， 图象关于点中心对称，选项B错误； ，， 区间包含，故函数在该区间内先减后增，不单调递增，选项C正确； 由的图象向左平移个单位长度，即，选项D正确. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为5 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于0 C. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有6种 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A：由，所以该组数据的第百分位数为从小到大排序后的第5个数，为5.故A正确； 对B：根据线性相关系数的概念，可知两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1.故B错误； 对C：把5个相同的小球分给3个小朋友，第一类方法：有1个小朋友分到3个，另外两个小朋友每人1个的分法有种； 第二类，有1个小朋友分到1个，另外两个小朋友每人2个的分法有种.所以满足条件的分法有种，故C正确； 对D：因为，，所以，， 所以.故D正确. 11. 已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 二面角的正弦值为 D. 该平行六面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】由即可判断A；由即可判断B；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断D. 【详解】由题可得， 因为 所以不垂直，A错误； 因为，所以， 所以即，B正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，C正确. 因为四面体为正四面体，故顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为，D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，通过对展开式的通项讨论得出结果 【详解】考虑二项式展开式的通项为， 当时，该项为；当时，该项为； 因此展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 13. 已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，又，则， 所以，， 则. 14. 已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，令，得，再对分类讨论，数形结合，利用二次函数根的分布问题及复合函数根的问题，即可求解. 【详解】作出图象，如图所示， 令，则原方程即为， 记方程的两根为，，可知，， ①当时，， 当时，，此时方程恰有两个不同的实数根，满足题意； 当时，，此时方程仅有一个实数根，不满足题意； ②当时，或，此时，不妨设， 当时，， 则方程有三个不同的实数根，方程有一个实数根，不满足题意； 当时，， 此时方程和各有一个实数根，且两根不相等，满足题意； 综上可知，实数k的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于作出的图象，令，得，先讨论的根，再结合图象，数形结合，即可求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求出角的大小；（2）根据面积公式求出，由余弦定理求出，进而得到三角形的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 因为， 所以， 整理得. 因为，所以，即. 又，所以. 【小问2详解】 由，且，得. 由余弦定理，及， 得. 所以（负值舍去）.故的周长为. 16. 某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． （1）若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； （2）若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． 【小问2详解】 该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． （1）求证：平面； （2）若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点，连接 ，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以 ， 又因为与 相交于点，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由平面求出点坐标，再求出平面 与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为的中点， 所以，所以 、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以 ，设， 则，， 因为平面， 所以 ，则， ， 解得，故， 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面 的法向量， 则，即， 可设， 设平面与平面 的夹角为， 则. 18. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 设，由，得，则. 易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为）， 设其方程为，即. 由消去，得. 因为直线与相切， 所以，且，得， 所以直线的方程为， 方程的根为，所以， 所以直线的方程为. 又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离， 又点在内部，所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出即可； （2）设直线的方程，根据求出方程以及点的坐标、直线的方程，计算点到两直线的距离即可. 【小问1详解】 因为点在直线上，所以. 因为的渐近线方程为，所以，故. 所以的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得； （2）解法一：分、、三种情况结合单调性讨论； 解法二：分离参数后分的取值讨论单调性可得. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 【小问2详解】 解法一：（i）当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； （ii）当时，显然成立； （iii）当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 解法二：由已知，得. （i）当时，可得.因为，所以，又因为时，， 所以； （ii）当时，恒成立，所以； （iii）当时，可得. 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $