第一章 整式的乘除 2025-2026学年 北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、计算（   ） A．0 B．1 C．2025 D． 2、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3、若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4、下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5、下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6、肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 7、公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（   ） A． B． C． D． 8、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 9、已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、化简： ． 12、已知，，则______. 13、已知多项式是完全平方式，则的值为______． 14、计算：__________． 15、已知，则 ． 16、观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 三、解答题：本题共7小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1) (2) 18、先化简，再求值：，其中． 19、已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值 20、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ．； (2)由图3可得等式： ．； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 21、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀把它均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． (3)观察图②你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：(m＋n)2，(m－n)2，mn. (4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题： 已知a＋b＝7，ab＝5，求(a－b)2的值．(写出过程) 22、从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 23、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、计算（   ） A．0 B．1 C．2025 D． 【答案】B 【详解】解：， 2、化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 3、若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 4、下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 5、下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】 解：①∵a5+a5＝2a5， 故①的答案不正确； ②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10 故②的答案不正确； ③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9， 故③的答案不正确； ④25+25＝2×25＝26． 故④的答案正确； 所以正确的个数是1， 6、肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为700纳米，已知1纳米米，那么700纳米用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：700纳米米米， 7、公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长为，宽为， 则这个花坛扩展后的面积为， 8、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】B 【详解】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 9、已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴； 10、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【详解】解： ，其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、化简： ． 【答案】 【详解】解： 12、已知，，则______. 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 13、已知多项式是完全平方式，则的值为______． 【答案】或 【详解】解：是完全平方式， ， 解得：或， 14、计算：__________． 【答案】 【详解】解： ， 15、已知，则 ． 【答案】11 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 16、观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是 ． 【答案】 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 三、解答题：本题共7小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算：(1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18、先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【详解】解： ， 当时，原式． 19、已知(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)的展开式中不含x2和x3项，求p，q的值 【答案】p＝3，q＝1 【详解】解：(x2＋px＋8)(x2－3x＋q) ＝x4－3x3＋qx2＋px3－3px2＋pqx＋8x2－24x＋8q ＝x4＋(p－3)x3＋(q－3p＋8)x2＋(pq－24)x＋8q. 因为展开式中不含x2和x3项， 所以p－3＝0，q－3p＋8＝0， 解得p＝3，q＝1. 20、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式： ．； (2)由图3可得等式： ．； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)52 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积，大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． 21、图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀把它均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． (3)观察图②你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：(m＋n)2，(m－n)2，mn. (4)根据(3)题中的等量关系，解决如下问题： 已知a＋b＝7，ab＝5，求(a－b)2的值．(写出过程) 【详解】(1)m－n.　 (2)方法一：(m－n)2；方法二：(m＋n)2－4mn.　 (3)(m＋n)2－4mn＝(m－n)2，即＝mn. (4)由(3)可知(a－b)2＝(a＋b)2－4ab， ∵a＋b＝7，ab＝5，∴(a－b)2＝49－20＝29. 22、从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个） A．，B．，C．． (2)若，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)C (2) (3) 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以， 故选：C； （2），且， ； （3） ． ． 23、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $