精品解析：湖北武汉市5G联合体2025-2026学年下学期期中高一数学试卷

高一数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于，故每四个连续的项之和为0， ，则， 由于，故，所以. 2. 如图，矩形 是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中， ，则原四边形的周长为（   ） A. 18 B. C. D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图中，横坐标不变，纵坐标减半将图形还原，再代入数据计算即可 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图， 其中，，将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得， ， 所以 ，因为 ， 所以原四边形的周长为． 3. 若则＝（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以，则， 因为，所以，解得， 又，所以， 所以． 4. 已知均为非零向量，其夹角为，则“ ”是“”的（   ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 若时，则反向共线，则，则充分性不成立， 若，则反向共线，则，此时，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件． 5. 在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值判断选项即可. 【详解】由正弦定理可得， 对于A，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 对于B，，，，因为为钝角，要构成三角形必须满足，与题中条件不符，故三角形无解． 对于C，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 对于D ，，，，有， ∴>1，故三角形无解． 6. 如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较长的线段，即可得到C. 故选：D 7. 在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，并标注出相关点坐标，设，应用向量数量积的坐标表示得到关于参数的表达式，进而求最小值. 【详解】在中，由余弦定理= =，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又=，则=， 故==，==； 则，设， 所以， 故，当且仅当时取得等号， 也即的最小值为. 8. 已知函数．若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简整理得，再求得，进而结合题意求得，最后取和即可得答案. 【详解】函数， ，， 函数在上没有零点， ，解得， 令得；令得；当或时，均无解； 的取值范围是. 二、多选题 9. 下列说法中，错误的是（   ） A. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 B. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】BCD 【解析】 【详解】A，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥， 由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，正确； B，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，错误； C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，所得棱锥底面和截面之间的部分所围成的几何体才是棱台，错误. D，棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件， 因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，错误； 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A. B. 的图象关于点对称 C. 若将的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求函数式中的相关参数值，代入法验证对称中心判断B，由图象平移写出解析式，结合奇偶性确定参数判断C，根据正弦函数的性质研究区间单调性和最值，再由方程根的个数确定参数范围判断D. 【详解】由函数图象可得，且，解得，故A正确； 所以，又， 所以，即，又，所以， 所以， B：当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； C：将向右平移个单位得到函数， 因为是奇函数，所以，所以，， 所以时，正数取得最小值，故C错误； D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又， 故方程在上有且只有一个实数根时， 则的取值范围是，故D错误． 11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（    ） A. 若，则 B. C. D. 若 ，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由三角形中的边角关系判断；B、C应用向量数量积的运算律得，再由数量积的定义及已知，即可判断；D利用和角正切公式整理得，结合三角形内角的性质判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B、C，因为， 所以， 即， 故， 即， 所以，B错误，C正确， 对于D，， ， ， ， ， ，，只有一个小于0， 所以是钝角三角形，D正确. 三、填空题 12. 我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 【答案】20 【解析】 【分析】结合题意，将圆柱侧面展开两次得到对应的矩形的边长分别为16尺，12尺，再计算对角线长即可. 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 所以，，即葛藤最少长为20尺. 13. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知及向量数量积的运算律得不等式对任意实数恒成立，应用判别式及数量积的定义求夹角范围. 【详解】由，得⇔， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则 ，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减，因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】令，则等价于，结合三角函数的性质研究的图象性质，进而分析的图象性质，得到最小时，结合已知列方程求参数值. 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小， 此时， ∵， ∴，即，解得. 四、解答题 15. 已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数． （1）求复数z； （2）已知复平面上的四个点构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为，求点D对应的复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，则， 所以，则，得， 所以； 【小问2详解】 由（1），得，则在复平面内对应的点为点， ，则在复平面内对应的点为点， ，则在复平面内对应的点为点， 平行四边形满足，设，有， 所以，故对应的复数为. 16. 东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片.该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度旋转.某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记）. （1）求游客乘坐过程中离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数解析式； （2）摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）. 【答案】（1）且 （2）秒 【解析】 【分析】（1）根据已知确定摩天轮旋转周期，进而求出旋转的角速度，结合摩天轮圆心与地面距离及开始计时点写出函数解析式，注意定义域； （2）根据（1）有，结合、余弦函数的单调性求的范围，即可得. 【小问1详解】 由题设，摩天轮转一周的周期秒，则角速度， 由摩天轮半径米，座舱最低点距离地面5米，则摩天轮的圆心距离地面米， 某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记），则且； 【小问2详解】 令，即， 而，则，故，即， 所以秒. 17. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）已知 ，求的值； （3）若已知，且，求的值. 【答案】（1）且， （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，且， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以； 【小问3详解】 因为，可得， 即，所以， 因为，所以，， 又，所以， 所以， 所以，解得（负值已舍去）. 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． （1）求A； （2）若，求中线的长； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【小问1详解】 由，可得. ， ，又，则， ，又， 【小问2详解】 在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； 【小问3详解】 由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 19. 设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为 斜坐标系，在 斜坐标系中，若，则记 . （1）在 斜坐标系中 ①已知，求； ②已知，且与夹角的余弦值为，求； （2）如图所示，在斜坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且 ，点分别为的中点，求的最大值. 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题设，应用向量数量积的运算律及定义求；②根据已知有，，应用向量数量积的运算律求向量的模、数量积，再应用夹角公式列方程求； （2）设，，应用向量数量积的运算律及定义求得，设，再应用正弦定理及边角关系、辅助角公式得，最后由正弦函数的性质求最大值. 【小问1详解】 ①由，得. 则 所以 ②由，即，， 得， ， 所以， 与夹角的余弦值为 ，解得， 又，； 【小问2详解】 依题意，设，， ， 在中，由余弦定理得， 由为中点，得， 由为中点，得， 则 ， 在中，由正弦定理得， 设，则， ，其中且为锐角， 由，得， 则当 时，， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 如图，矩形 是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中， ，则原四边形的周长为（   ） A. 18 B. C. D. 30 3. 若则＝（   ） A. B. C. D. 4. 已知均为非零向量，其夹角为，则“ ”是“”的（   ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在三角形中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中，错误的是（   ） A. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 B. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A. B. 的图象关于点对称 C. 若将的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 D. 若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是 11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（    ） A. 若，则 B. C. D. 若 ，则为钝角三角形 三、填空题 12. 我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 13. 已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 14. 已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为____. 四、解答题 15. 已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数． （1）求复数z； （2）已知复平面上的四个点构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为，求点D对应的复数． 16. 东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片.该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度旋转.某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记）. （1）求游客乘坐过程中离地面的高度（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数解析式； （2）摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）. 17. 已知， （1）先化简，再求的值； （2）已知 ，求的值； （3）若已知，且，求的值. 18. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． （1）求A； （2）若，求中线的长； （3）若的内切圆半径，求的面积S. 19. 设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为 斜坐标系，在 斜坐标系中，若，则记 . （1）在 斜坐标系中 ①已知，求； ②已知，且与夹角的余弦值为，求； （2）如图所示，在斜坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且 ，点分别为的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $