湖北武汉市5G联合体2025-2026学年下学期期中高一数学试卷

**基本信息** 融合《数书九章》葛藤问题与“东湖之眼”摩天轮情境，通过复数、立体几何、三角函数等知识考查数学眼光与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|复数模、斜二测画法、三角函数求值|基础巩固，考查空间观念与运算能力| |多选|3题/15分|棱锥性质、三角函数图像对称性|能力提升，注重推理意识与批判性思维| |填空|3题/15分|葛藤长度（文化）、向量夹角范围|文化传承，体现抽象能力与创新意识| |解答|5题/70分|摩天轮高度函数、斜坐标系应用|创新应用，突出模型意识与数学语言表达|

高一数学试卷 一、单选题 1.已知复数z=2+2+…+2026,其中i为虚数单位，则复数z的模为() A.2 B.V2 C.1 D.0 2.如图，矩形A'B'CD'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二 测画法画出的直观图，其中AB'=3,BC'=6,则原四边形 ABCD的周长为() D O'B A.18 B.12+63 C.12+6V5 D.30 1 3.若元<x<2r,tana=2 ,则cosa-sina=() A.- B. 3W5 c.35 D. 5 5 5 5 4.已知，均为非零向量，其夹角为0，则“cos0=-1”是“a+=-”的 () A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,分别根据下列条件解三角形， 其中三角形有两解的是() A.a=10,b=20,A=30° B.a=20,b=30,A=150° C.a=30,b=40,A=45° D.a=40,b=50,A=60° 6.如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均 与球面有且只有一个公共点)以后而得到的.现用一平面去截这个几何体，则截面图形 不可能是() 高一数学试卷第1页共4页 7.在△ABC中，AC=BC=V10,AB=6,点M为△ABC所在平面内一点且M.BC=0, 则AM.CM的最小值为() A.9 B.10 C.、16 D. 16 10 25 25 8.已知函数小-y5mg+na-(o>0.eR.若函数f闪[怎）8 有零点，则⊙的取值范围是() A.(0,u B.(o,)) C. 二、多选题 9.下列说法中，错误的是() A.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 B.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台 C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10.已知函数f(x)=Asin(ox+p 〔4>0a>0<经部分图 象如图所示，则下列说法正确的是() A.0=2 B。f()的图象关于点(2三0对称 O 123 c.若将∫(x)的图像向右平移t(t>0)个单位得到的函数是奇 函数，则‘的最小值是乃 D.若方程f(x)=m在0，上有且仅有一个实数根，则m的取值范围是[-5，) 2 11.如图，已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,直线1与△ABC的边AB,AC 分别相交于点D,E，设∠ADE=B,则(） A.若A>B,则sinA>sinB B.asin(B-0)+bsin(4+0)=csin D C.acos(B-0)+bcos(4+0)=ccos0 D.若△ABC为钝角三角形，则tanA+tanB+tanC<0 高一数学试卷第2页共4页 三、填空题 12.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下， 缠木两周，上与木齐，问葛长几何？"其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从 圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺”.（注：1丈等于10尺） 13.己知单位向量d,方，若对任意实数x,xa+≥恒成立，则向量d,的夹角 的取值范围为 l4.己知函数f(x)=sinx+cosr+sinax-cosx@>0）,点M,N分别为函数f(x) 图象上的最高点和最低点，若线段W的长度的最小值为m,且m2=10+4√2，则 0的值为 四、解答题 4 15.(13分)已知复数z=a+√3i(a>0,a∈)，且，z--∈R其中i为虚数单位，z 是z的共轭复数 (1)求复数z; (2)已知复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形ACBD,复数z·z、z+z、z2 在复平面内对应的点分别为A,B,C,求点D对应的复数 16.(15分)“东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，凭借樱花粉色座舱、 13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠 磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名 片。该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度逆时针方向旋 转。某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记t=0)。 (1)求游客乘坐过程中离地面的高度h(单位：米)关于时间t(单位：秒)的函数解 析式； (2)摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时 段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）。 高一数学试卷第3页共4页 17.(15分)已知f(x) tan(π+x)sin(-x-π) (1)先化简fx,再求f 22π 的值； 3 2已知ax+2.求儿2到的值： 3)若已知f 2x+引号且0x号求行的值 18.(17分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 a cos B+b=2c, a=6. (1)求A; (2)若bc=9,求中线AM的长； 3到若△ABC的内切圆半径，=3y3,求△ABC的面积S. 2 19.(17分)设Ox,0y是平面内相交成8(0<9<π)的两条射线，，e,分别是与Ox,0y同 向的单位向量，定义平面坐标系xOy为0一斜坐标系，在日-斜坐标系中，若OP=x祀+ye2, 则记0P=(xy): (1)在0一斜坐标系中 ①已知a=(m,n),求a; ②已知=(1，-3)，方=(3，-1)，且与i夹角的余弦值为2，求0： (2)如图所示，在牙斜坐标系中，B.C分别在x轴、y轴正半轴上，且BC=4,点D.EF 分别为OC、BDBC的中点，求OE.OF的最大值， 高一数学试卷第4页共4页 参考答案 一、单选题 1. 已知复数z=，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由于 故每四个连续的项之和为0， 2026，， 由于，，所以，答案为选项. 2.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（   ） A．18 B． C． D．30 【答案】D 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图， 其中，，将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，， 所以，因为， 所以原四边形的周长为．故选：D． 3.若则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以. 所以.故选：A． 4.已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 当时，则反向共线，则，则充分性不成立， 若，则，反向共线，则，此时，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 5.在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 对于A，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 对于B，，，，有，故，故三角形无解． 对于C，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 对于D ，，，，有， ∴>1，故三角形无解． 故选：C． 6.如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用平面截正方体，该平面为正方体的对角面，过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到C. 故选：D 7.在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】在中，由余弦定理 = = = ，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又 = ，则 = ， 故 = = ， = = ； 则，设， , 故，当且仅当时取得等号 也即的最小值为 故答案为：A 8.已知函数．若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数 ， ，， 函数在上没有零点， ，解得， ，令得，；令得， ， 的取值范围是. 故选：A 二、多选题 9.下列说法中，错误的是（   ） A．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】BCD 【详解】 对于A，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故选项A正确; 对于B，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周得到的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，所得棱锥底面和截面之间的部分所围成的几何体才是棱台，故C错误. 对于D，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，故D错误； 10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．若将的图像向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是 【答案】AB 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点 ，即， 所以，即，又，所以， ， 对于B：当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：将向右平移个单位得到函数， 因为是奇函数，所以，所以，， 所以时，正数取得最小值，故C错误； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：AB． 11.如图，直线与的边分别相交于点，设，则（    ） A．若，则 B. C． D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【详解】A选项，，A正确； BC选项，因为，所以， 即， 故， 即， 所以，B错误，C正确， D选项，，， ， ，，，，只有一个小于0， 所以是钝角三角形，D正确． 故选：ACD 3、 填空题 12.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 【答案】20 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 故葛藤长（尺）. 故答案为：20 13.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 【答案】 【详解】，是单位向量，由，得： ⇔ 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则， 又，函数在上单调递减，因此， 所以向量，的夹角的取值范围为. 故答案为：. 14.已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为____. 【答案】 【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为， 作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得. 故答案为：. 4、 解答题 15.（13分）已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数． (1)求复数z； (2)已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数． 详解：（1）4分 则，得，复数.6分 （1） 由（1），得 ，则在复平面内对应的点为点7分 ，则在复平面内对应的点为点8分 ，则在复平面内对应的点为点9分 平行四边形满足，设，10分 有，所以，，12分 故对应的复数为.13分 16.（15分）东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片。该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度旋转。某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记 t = 0 ）。 （1）求游客乘坐过程中离地面的高度 h （单位：米）关于时间 t （单位：秒）的函数解析式； （2）摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）。 【详解】（1）旋转周期T=13×60+14=794秒，角速度ω=2π/T=π/397rad/s，---------3分 以最低点为初始位置，选用余弦型函数并做相位调整；摩天轮圆心高度30米，半径25米，初始位置余弦值为1，故高度函数为： h(t)=30-25cos(π/397·t)  (t≥0) ---------7分 （2） 列不等式并化简 由h(t)>42.5，得30-25cos(π/397·t)>42.5，化简为： cos(π/397·t) < -0.5 ---------10分 根据余弦函数性质，解得： 2π/3+2kπ<π/397·t<4π/3+2kπ (k∈N) 取k=0，则794/3<t<1588/3， ---------13分 单周期内高度超42.5米的持续时间为区间差值： 1588/3-794/3=794/3≈264.7秒 ---------15分 17.（15分）已知， (1)先化简f(x)，再求的值； (2)已知，求的值； (3)若已知，且，求的值. 【详解】（1）因为，---------3分 所以 ．------------------------------------------------------------------5分 （2）因为， 所以，解得，---------------------------------7分 所以；--------------------------- 10分 （3）因为可得， 即，所以，--------------------------------------------------12分 因为，所以，， 又，所以， 所以，--------------------------------------------------------14分 所以，解得（负值已舍去）.------------------------15分 18.（17分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【详解】（1）由，可得.............................（1分） ， ，又，则，....................................（3分） 又，........................................................................................................（4分） （2）在中，，则........................................（5分） 在中，有，即 在中，有，即 ................（7分） 又...............................................（8分） 得，解得，得 .............................（10分） （3）由........................................................................（11分） ，即..................................................（12分） 由余弦定理得，得 ..............................................（13分） ，即 解得或（舍去）........................................................................................（15分） 所以 ...................................................（17分） 19.（17分）设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为斜坐标系，在斜坐标系中，若，则记. (1)在斜坐标系中 ①已知，求； ②已知，且与夹角的余弦值为，求； (2)如图所示，在斜坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值. 【详解】（1）①由，得..................................................... （1分） 则 所以 ......................................................................................（3分） ②由，即，.................................（4分） 得 ........................（6分） 与夹角的余弦值为 ，解得 又， ......................................................................................................（8分） （2）依题意，设， 在中，由余弦定理得..........................................................（9分） 由为中点，得， 由为中点，得， 则 ........................................................（11分） 在中，由正弦定理得， 设....................................................（12分） ........................................（14分） 其中锐角由确定 由，得 ...................................................................（15分） 则当时， 所以的最大值为 ....................................（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 一、单选题 1. 已知复数z=，其中为虚数单位，则复数z的模为（ ） A. 2 B． C．1 D． 2.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（   ） A．18 B． C． D．30 3.若则＝（   ） A． B． C． D． 4.已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5.在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6.如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 7.在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数．若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9.下列说法中，错误的是（   ） A．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 B．以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于点对称 C．若将的图像向右平移个单位得到的函数是奇函数，则的最小值是 D．若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围是 11.如图，直线与的边分别相交于点，设，则（    ） A．若，则 B. C． D．若，则为钝角三角形 3、 填空题 12.我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 13.已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为___________. 14.已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为____. 4、 解答题 15.（13分）已知复数，且，其中为虚数单位，是的共轭复数． (1)求复数z； (2)已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，复数在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数． 16.（15分）东湖之眼”是武汉东湖磨山景区的标志性文旅地标，以樱花粉座舱、13分14秒旋转一周的“一生一世”浪漫寓意成为城市网红打卡点，其面朝东湖、背靠磨山，乘坐时可360度俯瞰东湖万顷湖光与磨山翠色，是兼具颜值与观景价值的城市名片。该摩天轮转轮半径为25米，座舱最低点距离地面5米，以恒定速度旋转。某游客从摩天轮最低点处登上座舱，同时开始计时（记 t = 0 ）。 （1）求游客乘坐过程中离地面的高度 h （单位：米）关于时间 t （单位：秒）的函数解析式； （2）摩天轮转动一周的过程中，当游客离地面高度高于42.5米时，为观景视线最佳时段，求该最佳时段的持续时间（结果精确到0.1秒）。 17.（15分）已知， (1)先化简f(x)，再求的值； (2)已知，求的值； (3)若已知，且，求的值. 18.（17分）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 19.（17分）设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为斜坐标系，在斜坐标系中，若，则记. (1)在斜坐标系中 ①已知，求； ②已知，且与夹角的余弦值为，求； (2)如图所示，在斜坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $