广东中山市第一中学2025-2026学年高二上学期三段考数学试题

**基本信息** 以病毒与血型关系抽样、抛物线拱桥等真实情境为载体，通过分层抽样、椭圆切线证明等问题设计，考查统计、解析几何等知识，培养数据观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|分层抽样、空间向量、双曲线离心率|第1题结合医学调查情境，考查统计抽样方法| |多选题|3/18|概率独立性、圆锥曲线方程|第10题以随机数为背景，综合判断圆锥曲线类型| |填空题|3/15|空间距离、椭圆轨迹|第14题探究椭圆上点的轨迹性质，培养几何直观| |解答题|5/77|立体几何翻折、统计概率、椭圆切线|第18题通过频率分布直方图分析竞赛选拔，体现数据应用；第19题证明椭圆切线定点，发展逻辑推理|

2025-2026学年广东省中山市第一中学高二上学期三段考 一、、选择题(共8小题，每小题5分，共40分。在每小翘列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项) 1.为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、 A型血、B型血、AB型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多,则（    ） A． B． C． D． 2.已知直线与直线平行，则实数的值为（    ） A．或 B． C． D． 3.若圆与圆内切，则（    ） A． B． C． D． 4.关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 5.某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 6.如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，此时与经过桥洞的一艘船宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 7.已知，在的投影向量为，，则（    ） A． B． C． D． 8.双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、、多选题：本题共3小题，共18分。在每小咫给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列描述正确的是（    ） A．若事件满足，则与是对立事件 B．若，则事件与相互独立 C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是互斥事件 D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，不放回地从中随机地取出两球，第二次取到红球的概率为 10.从随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则（    ） A．是圆的概率为 B．是椭圆的概率为 C．是双曲线的概率为 D．不是圆并且焦点在轴的概率为 11.如图，正方体的棱长为，点分别为的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为线段中点时，平面 D．点到直线的距离的最小值为 三、、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在空间直角坐标系中，，平面的一个发现该那个为，则点到平面的距离为     . 13.已知圆与圆的交点为，则     . 14.已知椭圆的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足,当变化时，给出下列三个命题： ①点的轨迹关于轴对称； ②对任意的使得椭圆上满足条件的点都有个； ③|最小值为 其中，所有正确命题的序号是      四 、解答题：本题共5小瞿，共77分。解答应写出文宇说明，证明过程或油算步藤。 (13分)已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁,AD=AA₁=AB=1,∠A₁AB=∠DAB=∠DAA₁=60°, 15.已知平行六面体，，设 (1)试用表示 (2)求的长度. 16.已知圆的圆心坐标，直线被圆所截得弦长为 (1)求圆的方程； (2)从圆外一点向圆引切线，求切线方程. 17. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻车，使得，如图2，的中点为. (1)求证：平面 (2)若的中点为,  点是线段上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 18.为了选派学生参加“市中心知识竞赛”，某校对名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩大于或等于分的学生又参赛资格，成绩以下（不包括分）的学生则被淘汰. (1)估算这名学生测试的平均成绩(同组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若该校需要选出成绩靠前的200人参赛，那么有参赛资格的学生的成绩最低是多少(结果保留整数); (3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案： 方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰； 方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被淘汰. 已知学生甲只会道备选题中的道，那么甲选择哪种方案，进入复赛的可能性更大?并说明理由． 19.已知椭圆)的长轴长为，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是 ①过直线上一点引两条切线，切点分别是P 、Q,   求证：直线恒过定点； ②在①的基础上，是否存在实数,使得总是等于, 若存在，求出的值，若 不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 1.B 【解析】根据题意，不妨O型血、 A型血、B型血、AB型血的人数分别为 故选B. 2.B 【解析】若，两条直线方程均为，则两直线重合，不符合题意； 当，两直线斜率相等，即： ，解得，经检验符合题意 综上，选择B. 3.D 【解析】依题意， 圆，圆心，半径 圆，圆心，半径为 故选 4.C 【解析】对于A选项，此为平面向量的基本定理，故A正确； 对于B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得： ，即，与不共面矛盾，故B正确； 对于C选项，当，故C错误； 对于D选项，，由空间向量四点共面定理可知，D正确； 综上，选C. 5.D 【解析】依题意，平均值为： 而混合数据后，新方差计算如下： 故选D. 6.D 【解析】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点 即有 ，焦点坐标为 所以水面距离轴距离为 当在抛物线上时， 此时两侧货物不能超过，故选D. 7.A 【解析】 上的投影向量为： 故选A. 8.A 【解析】过点且与渐近线垂直的直线方程为 联立方程，解得点 因此点到渐近线的距离为 ，所以点到渐近线的距离 所以离心率 故选A. 9.B,D 【解析】对于A，事件与发生的概率之和为，但两个事件未必互斥，故A错误； 对于B， 故A与B相互独立，B正确； 对于C，互斥事件是无法同时发生，但“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”互不影响，故C错误； 对于D，因为是不放回，第二次取到红球，则第一次可以红球，也可以是绿球， 则概率为：，故D正确. 综上，选择BD. 10.B,C,D 【解析】对于A，方程是圆，则，那么其概率为，故A错误； 对于B，方程是椭圆，则与同为正数，且不相等即可，其概率为，故B正确； 对于C，方程是双曲线，则与一正一负，同时此时必然选中，双曲线焦点必然在轴上，则概率为，故C正确； 对于D， 若方程是椭圆，则与同为正数，且，其概率为， 若方程是双曲线，其概率为，那么符合D选项的要求为，故D正确； 综上所述，选择 11. 【解析】以为原点，方向分别为轴，建立空间直角坐标系 对于A选项，可求得 ，因此，A正确； 对于B选项， 中， 因此，故B错误； 对于C选项， 为中点， 易得平面的一个法向量为 ，且平面，所以平面，故C正确； 对于D选项，如图所示，已知在平面的投影在上，设为，做与点，连接 平面，D平面， 平面 平面，又平面 即为到的距离 设 ，当，PR最小值为，故D错误. 综上所述，选择AC 12. 【解析】，记平面的一个法向量为 点到平面的距离为 故答案为 13. 【解析】圆，圆心，半径 圆，圆心，半径、 两圆相交，两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程为 则圆心到直线的距离为 因此公共弦长 14.①②③ 【解析】 所以点是以和为焦点，长轴为的椭圆，其轨迹方程为 将两个椭圆方程联立，如下： 可得： 对于①，上述的式子与的符号无关，因此可取，轨迹关于轴对称，①正确； 对于②，和均为正数，各自均有两解，因此点有个，故②正确； 对于③， 令 那么，因此③正确. 综上，正确的有①②③ 15. (1) 【解析】依题意： (2) 【解析】\ 所以的长度为 16. (1) 【解析】由题意， 圆心到直线的距离 因此圆的半径为 因此圆的标准方程为 (2)切线方程为或 【解析】由（1）可知，圆的方程为 ①当切线斜率不存在时，圆心到的距离为，与圆半径相等，符合题意； ②当切线斜率存在时，设切线斜率为 此时切线方程，即 圆心到切线的距离与半径相等，即： ，解得 整理得切线方程为 综上，切线方程为或 17. (1)答案见解析 【解析】在直角梯形中，，点为中点， 图1中，过点作，连接，易得四边形为正方形 为中点 平面， 平面 (2) 【解析】平面，平面， 因此两两垂直，以为坐标原点，以方向分别为轴，建立空间直角坐标系： 是中点，所以，又 线段上靠近点的三等分点， 设平面的一个法向量 ，令，则 所以平面的一个法向量为 又平面BCD，平面的一个法向量为 平面平面的夹角余弦值，即为与夹角的余弦值，为： 综上平面平面的夹角余弦值为 18. (1)平均成绩为分. 【解析】平均成绩为： 因此该2000名学生平均成绩为分. (2)至少分才有参赛资格. 【解析】依题意， ，即求第分位数 频率分布直方图中，分数在的频率为 分数在的频率为 可知第分位数在内，不妨设其为 解得，取整。则至少分才有参赛资格. (3)选择方案二，进入复赛可能性更大 【解析】5道被选题中，甲会的3道题分别记为，不会的记为 方案一： 学生甲任抽一道题的结果有：共5种，抽中会的，有3种 那么参加复赛的概率为 方案二： 学生甲从5道题种任抽3道，结果如下： 共10种，至少会2道题的，有7种情况 那么参加复赛概率为 因此选择方案二，可让学生甲进入复赛概率更大. 19. (1) 【解析】根据题意： 椭圆的方程为 (2)①详见解析； ② 【解析】①证明： 设 所在直线 所在直线 两条直线同时经过点 ，所以均在直线上 即所在直线 所以直线过定点 ②假设实数存在 当直线斜率不存在时，直线方程为 联立方程：，解得 当直线斜率存在时， 联立方程： 整理得： 综上可知，存在实数满足条件. 第页(共页) 学科网（北京）股份有限公司 $