精品解析：北京市人大附中教育集团2025-2026学年第二学期八年级数学期中练习

2025~2026学年度第二学期初二年级期中练习 数学 说明：本试卷共三道大题27道小题，共8页：满分100分，练习时长90分钟；学生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选释题：（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，， C. 1，1， D. ，， 3. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 4. 对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（ ） A. 圆的面积y与半径x B. 乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C. 某天的气温y与时间x D. 某款手机的销售量y与进货数量x 5. 若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是( ) A. 先变短后变长 B. 变化没有规律 C. 先变长后变短 D. 始终保持不变 9. 在四边形中，若点E，F为对角线上两点（不与A，C重合），且．则下列说法中不正确的是（ ） A. 若四边形为平行四边形，则四边形一定为平行四边形 B. 若四边形为矩形，则四边形一定为矩形 C. 若四边形为菱形，则四边形一定为菱形 D. 若四边形为正方形，则四边形一定不是正方形 10. 已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题：（第11-17题每空2分，第18题每空1分，共16分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 12. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 13. 在平行四边形中，若，则______． 14. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 15. 在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为________． 16. 黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为）的矩形是黄金矩形如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为________． 17. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为．若，，则的面积为______． 18. 如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 三、解答题：（第19题8分，第20题6分，第21题5分，第22题4分，第23题5分，第2425题，每题6分，第26-27题，每题7分，共54分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 21. 如图，在中，． 求作：线段，使得点在线段上，且． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交于点； ②连接，交于点； 则线段即为所求线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（② ）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③ ）（填推理的依据） 22. 在美好的春天，研学小组的同学们准备自己制作传统玩具——风筝，如图，同学们首先利用计算机绘制风筝骨架（四边形）的左半部分，点，，的坐标分别为、、，风筝骨架整体关于轴对称． （1）补全四边形，并写出点的对称点的坐标． （2）点为的中点，需要在轴上找一点，沿着和安装支撑竹条，若要使的值最小，直接写出此时点的坐标以及的值． 23. 某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性，为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） 日均生长高度（毫米） 解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； （2）观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为 （填“一次函数”或“正比例函数”），其解析式为 ； （3）若某天由于天气原因，温室仅能提供9小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势． 24. 如图，已知菱形，对角线，交于，点为上方一点，且满足． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作于，交于，请你补全图形，并求出的面积． 25. 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交直线于点A，点B． （1）若与平行，且． ①直接写出直线的表达式： ； ②若，则直线、直线、直线与y轴围成的图形面积为 ； （2）若与相交，且点A的纵坐标与点B的纵坐标的差随着m的增加而增大．求k的取值范围； （3）若，且当时，线段的长总不小于1，直接写出b的取值范围． 26. 已知正方形，点E，点F分别为射线，射线上的动点（E不与A重合，F不与B，C重合），连接，． （1）如图1，当时，若，则 ； （2）如图2，点E在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明； （3）若，将点D关于直线EF对称得到点M，请直接用等式表示线段，，的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若，且，则称点P为线段的“-相关点”．已知，． （1）如图1，当时， ①在点中，是线段的“-相关点”的是 ； ②当时，直线上存在线段的“-相关点”，则b的取值范围是 ； （2）当时，直线上存在2个线段的“-相关点”，求k的取值范围； （3）当时，若点P为线段的“-相关点”，其中，且点P与原点O在直线同侧，直接写出所有满足条件的点P构成的图形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期初二年级期中练习 数学 说明：本试卷共三道大题27道小题，共8页：满分100分，练习时长90分钟；学生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选释题：（每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的性质公式直接求解即可． 【详解】 故选：D 【点睛】此题考查二次根式的性质，解题关键是公式为：． 2. 将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，， C. 1，1， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】先确定每组线段的最长边，计算最长边的平方，再计算两条较短边的平方和，比较两者是否相等，不相等则不能组成直角三角形． 【详解】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则能组成直角三角形，否则不能，逐一判断： A 项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； B项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； C项：最长边为，∵，， ∴，能组成直角三角形，不符合题意； D项：最长边为，∵，，， ∴ 不满足勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，符合题意． 3. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是六边形． 故选：C 4. 对于下列问题中的两个变量，y不是x的函数的是（ ） A. 圆的面积y与半径x B. 乘坐摩天轮的游客离地面的高度y与时间x C. 某天的气温y与时间x D. 某款手机的销售量y与进货数量x 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，否则y不是x的函数． 【详解】解：根据函数定义判断各选项: ∵选项A中，任意给定一个半径x，都有唯一确定的圆面积y与之对应，因此y是x的函数； 选项B中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的游客高度y与之对应，因此y是x的函数； 选项C中，任意给定一个时间x，都有唯一确定的气温y与之对应，因此y是x的函数； 选项D中，任意给定一个进货数量x，销售量y不是唯一确定的值，不存在唯一的y与确定的x对应， ∴y不是x的函数的是D． 5. 若点都在直线（为常数）上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式的斜率判断y随x的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到y的大小关系． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 6. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算规则，初中二次根式加减中，只有同类二次根式可以合并，乘法法则为，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴选项A，D错误． ∵是整数，是无理数，不是同类项，不能合并，∴选项B错误． ∵根据二次根式乘法法则，，∴选项C计算正确． 7. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是( ) A. 先变短后变长 B. 变化没有规律 C. 先变长后变短 D. 始终保持不变 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等得出，再根据垂线段最短分析的长度变化，从而得出的变化情况. 【详解】解：如图，连接． ，， ． ， 四边形是矩形． ． 当点从点运动到点的过程中， 根据垂线段最短可知，当时，最短． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 9. 在四边形中，若点E，F为对角线上两点（不与A，C重合），且．则下列说法中不正确的是（ ） A. 若四边形为平行四边形，则四边形一定为平行四边形 B. 若四边形为矩形，则四边形一定为矩形 C. 若四边形为菱形，则四边形一定为菱形 D. 若四边形为正方形，则四边形一定不是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知推出，得到四边形是平行四边形，再根据特殊四边形的判定逐一判断选项． 【详解】如图，连接，交于点O，    ∵任意特殊平行四边形都属于平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形的对角线互相平分，四边形是平行四边形， A项：由推导可知，若是平行四边形，一定是平行四边形，故A正确，不符合题意； B项：若是矩形，仅能推出是平行四边形，无法得到的对角线相等或有内角为直角，不一定是矩形，故B错误，符合题意； C项：若是菱形，则，即平行四边形的对角线互相垂直，因此一定是菱形，故C正确，不符合题意； D项：若是正方形，则，， ∵E，F不与A，C重合， ∴，平行四边形对角线不相等，因此一定不是正方形，故D正确，不符合题意． 10. 已知正方形和正方形边长相等，如图1，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图2所示．给出下面三个结论： ①正方形的对角线长为； ②当时，重叠面积 ③函数图象的最高点的坐标为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解： 由图可知，当及时，，  ∴两个正方形对角线长之和，  ∴正方形的对角线长为，故①正确符合题意； ∵两个正方形边长相同，  ∴， 设正方形边长为，则， 解得， ∴正方形的边长为， 当时，重叠部分是对角线长为的正方形，  ∴， 当时，取得最大值，此时两正方形重合， ∴，  ∴函数图象的最高点坐标为， ∴③正确，符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形，  ∴， 当时，，   ∴②正确，符合题意． 二、填空题：（第11-17题每空2分，第18题每空1分，共16分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12. 某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 13. 在平行四边形中，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据平行四边形角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，掌握此性质是关键． 14. 如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，分别联立正比例函数与两个一次函数的方程，分别求出A、B两点的纵坐标，再计算的值即可． 【详解】解：联立方程， 由得，代入得：， 整理得：， 解得：； 联立方程， 由得，代入得：， 整理得：， 解得：， ∴． 16. 黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是（约为）的矩形是黄金矩形如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为，已知边长未明确是长还是宽，因此分两种情况讨论，分别计算另一边长即可． 【详解】解：设该黄金矩形另一边的长为，分两种情况讨论： ①若为矩形的长， 则， 解得：， ②若为矩形的宽， 则， 解得：， 因此，该黄金矩形另一边的长为2或． 17. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为．若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，垂足为F，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知菱形，，点P在边上运动，连接，取中点Q，连接． （1）当P为中点时，的长为________； （2）在P从点B运动到点C的过程中，的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可知是等边三角形，再由三线合一可知，然后利用勾股定理求得，再求，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答； （2）连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接，根据三角形中位线的性质推出，点P运动过程中，点Q在线段上运动，然后根据三线合一证得垂直平分，则，进而根据两点之间线段最短可求得答案． 【详解】解：（1）如图，连接、， 四边形是菱形，， ，，， ∴是等边三角形， ∴， 为中点， ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵点Q是的中点， ∴； （2）如图，连接、、，交于点O，则点O是、的中点，取的中点N、M，连接， 同理是等边三角形， ∴，， ∵点Q是的中点，点M是的中点，点N是的中点，点O是、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，点N、Q、O三点共线，即点P运动过程中，点Q在线段上运动， 设交于点E， ∵，点M是的中点， ∴， 又∵点N是的中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴当B、D、Q三点共线时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为4． 三、解答题：（第19题8分，第20题6分，第21题5分，第22题4分，第23题5分，第2425题，每题6分，第26-27题，每题7分，共54分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；  （2）先算除法和乘法，再合并同类二次根式； 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】  解：    ． 20. 已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）当时，求该一次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）该一次函数的解析式为 （2）当时，该一次函数的函数值y的取值范围是 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k和b的二元一次方程组，解方程组即可得到函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，由k的正负判断y随x的变化规律，代入x的端点值计算得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点A，B在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴该一次函数的函数值y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，该一次函数的函数值y的取值范围是． 21. 如图，在中，． 求作：线段，使得点在线段上，且． 作法：①以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交于点； ②连接，交于点； 则线段即为所求线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（① ）（填推理的依据） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（② ）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③ ）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）先证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证出． 【小问1详解】 解：下图中即为所作： 【小问2详解】 解：证明：连接，． ∵，， ∴四边形为平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵与交于点， ∴，即点为的中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据） ∵在中，， ∴．（③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（填推理的依据） 22. 在美好的春天，研学小组的同学们准备自己制作传统玩具——风筝，如图，同学们首先利用计算机绘制风筝骨架（四边形）的左半部分，点，，的坐标分别为、、，风筝骨架整体关于轴对称． （1）补全四边形，并写出点的对称点的坐标． （2）点为的中点，需要在轴上找一点，沿着和安装支撑竹条，若要使的值最小，直接写出此时点的坐标以及的值． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为 （2）的坐标为，的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意作图，由点的对称的性质即可得出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接相关线段，补全图象，判断出最小值为的长度，根据、的坐标，即可得出的长度，得出直线的表达式，即可得出此时点的坐标． 【小问1详解】 解：补全后如下图所示： 根据对称的性质，可得点的坐标为； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接相关线段，作图如下： ∵点为的中点， ∴， 由对称的性质，可得点，且， 若最小，即最小， 当共线时，的值最小，且最小值为的长度， ∵、、 ∴， 令直线的表达式为， 将点、代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， 故的坐标为，的最小值为． 23. 某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性，为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） 日均生长高度（毫米） 解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； （2）观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为 （填“一次函数”或“正比例函数”），其解析式为 ； （3）若某天由于天气原因，温室仅能提供9小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势． 【答案】（1）见解析 （2）一次函数； （3）毫米；在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高，呈正相关线性增长趋势 【解析】 【分析】（1）描点、连线即可求解； （2）根据所有点都在一条直线上，得出函数类型，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入，即可求解，根据函数图象可得在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高． 【小问1详解】 解：描点、连线如图 【小问2详解】 解：该函数的类型为一次函数， 设其解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 经检验，其他的点也符合解析式； 【小问3详解】 解：当时， 预测该番茄植株当天的生长高度为 4.4毫米 在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高． 24. 如图，已知菱形，对角线，交于，点为上方一点，且满足． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，过点作于，交于，请你补全图形，并求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，结合已知即可证明，，即可得四边形为矩形； （2）先根据题意补全图形，勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式求得，根据勾股定理求得，再根据角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形，对角线，交于， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴， 则 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 在中， 设， ∵四边形是菱形，对角线，交于， ∴ ∴到的距离等于 ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 25. 在平面直角坐标系中，直线与直线分别交直线于点A，点B． （1）若与平行，且． ①直接写出直线的表达式： ； ②若，则直线、直线、直线与y轴围成的图形面积为 ； （2）若与相交，且点A的纵坐标与点B的纵坐标的差随着m的增加而增大．求k的取值范围； （3）若，且当时，线段的长总不小于1，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①或；②2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可设直线 ，然后表示出A、B的坐标，结合，即可解出b的值； ②根据题意可知直线、直线、直线与y轴围成的图形为平行四边形，据此即可解答； （2）先表示出A、B的坐标，进而表示出，然后根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意可知，，然后表示出，然后分，三种情况分类讨论，当时，可得，符合题意；当时，不妨设，可知直线一定过，结合的图象即可解答． 【小问1详解】 解：①∵与 平行，且直线与直线分别交直线于点A，点B， ∴设直线 ，则当时， ， 对于 ，当时，， ∴，， ∵， ∴ ，即， ∴， ∴直线的表达式为或； ②∵，轴， ∴直线、直线、直线与y轴围成的图形为平行四边形， ∵，， ∴该图形的面积为； 【小问2详解】 解：∵直线与直线分别交直线于点A，点B， ∴对于，当时，， 对于 ，当时，， ∴，， ∴ ， ∵直线与直线相交， ∴， ∵与的差随着m的增加而增大， ∴， ∴； 故； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 由（2）可知，，， ∴， ∴要使时，线段的长总不小于1，即 ， 当时，，符合题意； 当时，不妨设，当时，， ∴直线一定过， ①当时，即时，当时，，直线过， 直线过第一，三象限，图象如下图所示： 此时，的图象如下： 从图象可知，当时，不能保证，故不符合题意； ②当时，即时，当时，，直线过， 直线过第二，四象限，图象如下图所示： 此时，的图象如下： 从图象可知，当时，，故符合题意； 综上所述，． 26. 已知正方形，点E，点F分别为射线，射线上的动点（E不与A重合，F不与B，C重合），连接，． （1）如图1，当时，若，则 ； （2）如图2，点E在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明； （3）若，将点D关于直线EF对称得到点M，请直接用等式表示线段，，的数量关系． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3）或，证明见详解 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点N，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形的性质得出线段之间的关系，设，可得到关于a的方程，即可求得的长度，从而求得的长度； （2）连接，利用正方形的性质，证明，结合等腰三角形的性质，四边形内角和定理即可得出，从而证得结论； （3）通过构造辅助线，分情况进行讨论，利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可证得相关线段之间的等量关系． 【小问1详解】 解：如图，过点E作交于点N， 在正方形中，，， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在四边形中，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：或， 证明：①， 如图，延长至M，使得，连接，，，过点M作交延长线于点G， 由（2）知，， 又∵点E是的中点， ∴在垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，延长至M，使得，过点M作交于点G，连接，，，，与交点O， 由（2）知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即． 27. 在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：若，且，则称点P为线段的“-相关点”．已知，． （1）如图1，当时， ①在点中，是线段的“-相关点”的是 ； ②当时，直线上存在线段的“-相关点”，则b的取值范围是 ； （2）当时，直线上存在2个线段的“-相关点”，求k的取值范围； （3）当时，若点P为线段的“-相关点”，其中，且点P与原点O在直线同侧，直接写出所有满足条件的点P构成的图形面积． 【答案】（1）①，；②或 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，一次函数与几何综合，勾股定理； （1）①根据“-相关点”的定义，只要，且，据此即可判断；②线段的“-相关点”为与，“-相关点”为与，当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点），要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、，据此即可求出b的取值范围； （2）当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰，连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上，直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点，据此即可求出k的取值范围； （3）以为边作等边，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到，同理以为底边作等腰，且，则点从运动到，得出所有满足条件的点P构成的图形面积，求出面积即可． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴，显然与是线段的“-相关点”， ∵，，， ∴， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴， ∴与是线段的“-相关点”， 而， ∴不是线段的“-相关点”， 如图所示： ②如图所示，由①得线段的“-相关点”为与， 在坐标系中取点，， ∴， ∴、都是等边三角形，即， ∴线段的“-相关点”为与， ∴当时，线段的“-相关点”，即为线段和线段（不包括端点）， 要使得直线上存在线段的“-相关点”，即分别找到经过的四个临界点，即分别经过、、、， 经过时，； 经过时，； 经过时，； 经过时，； ∴或． 【小问2详解】 解：当时，直线上存在2个线段的“-相关点”， 取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰， 连接，，则当时，线段的“-相关点”就在，上， ∴直线上存在2个线段的“-相关点”，则直线与线段，分别有交点， 过轴、轴， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， 同理可得：，，， ∴直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； 直线过点时，； ∴或或． 【小问3详解】 解：以为边作等腰，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到， 同理以为底边作等腰，且，则点从运动到， ∴对于每一个点都会有线段与之对应，随着在与之间运动，则扫出如下阴影部分图形， ∵，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $