专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题（含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）7 大题型 期中复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题 04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题（含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）7 大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教 A 版 核心知识铺垫（大题、小题必备，快速回顾） 解决不等式恒成立与能成立问题的核心是“转化与化归”，结合导数工具求函数的最值、极值，关键牢记两大核心方法与三个基础结论，规避解题思路卡顿。 一、核心概念区分（避免混淆，基础必记） 1. 恒成立问题：对任意 （定义域），不等式 （或 ）恒成立，核心是“函数最值与不等式的关联”； 1. 能成立问题（存在性问题）：存在 ，使得不等式 （或 ）成立，核心是“函数极值与不等式的关联”； 1. 易错区分：恒成立是“全体满足”，能成立是“至少一个满足”，两者转化方向不同，切勿混淆。 二、两大核心方法（期中高频，重点掌握） 方法 1：端点效应（必要性探路） 适用于“含参不等式恒成立，定义域为闭区间 ，且端点处不等式取等号”的场景，核心是“先探必要性（求参数初步范围），再证充分性（验证范围满足题意）”，简化分类讨论，快速突破含参难点。 规范步骤： ① 代入区间端点 、，结合不等式恒成立条件，求出参数的初步取值范围（必要性）； ② 基于初步范围，验证该范围下不等式在整个区间内恒成立（充分性）； ③ 综合必要性与充分性，确定参数的最终范围。 易错提醒：仅探必要性，未证充分性，会导致参数范围扩大；端点处函数无定义时，不可用端点效应，需改用其他方法。 方法 2：洛必达法则 适用于“不等式恒成立/能成立问题中，求极限确定参数范围”的场景，核心是“当分式型函数在某点处为 或 型时，可通过求导求极限”，快速解决端点处函数值无法直接计算的问题。 规范步骤： ① 转化不等式为 （或 ），确定需求极限的点； ② 判断该点处函数为 或 型； ③ 对分子、分母分别求导，直至可计算极限，得到参数的取值范围； ④ 验证范围的合理性（避免洛必达法则滥用）。 易错提醒：非 、 型函数，不可用洛必达法则；多次求导后需确认函数可导性；洛必达法则仅用于求极限，不能直接作为证明依据，需搭配单调性验证。 三、基础转化结论（直接套用，节省时间） 1. 恒成立转化： （ 为常数）对任意 恒成立 ； 对任意 恒成立 ； 1. 能成立转化： 存在 ，使得 成立 ； 存在 ，使得 成立 ； 1. 双变量转化：对任意 、存在 ，使得 （按需灵活转化，结合最值分析）。 7 大题型突破 说明：7 大题型严格贴合期中考点，按“基础→中档→综合”排序，覆盖恒成立、能成立所有考法，每个题型配套原创例题、规范解析及易错提醒，重点强化端点效应、洛必达法则的应用，无超纲内容，适配人教 A 版教材。 第一部分：基础题型（1-2 题，必考题，占该模块 25% 分值） 题型 1：不含参不等式恒成立（基础小题/大题第一问） 解题思路： ① 转化不等式为 （或 ）； ② 求 的定义域，求导分析 的单调性； ③ 求 的最值，结合恒成立条件验证即可（无需分类讨论）。 典型例题：证明：当 时，不等式 恒成立。 详细解析： ① 构造函数 ，定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 分析单调性：当 时，，，，故 ， 在 上单调递增； ④ 求最值：； ⑤ 验证恒成立：因 ，即 ，故 在 上恒成立。 易错提醒：忘记构造函数，直接对原不等式求导；忽略定义域限制，未验证 处的函数值；导数化简不彻底，导致单调性判断错误。 题型 2：不含参不等式能成立（基础小题/大题） 解题思路： ① 转化不等式为 （或 ）； ② 求 的定义域，求导分析 的单调性、极值； ③ 求 的最值，判断是否存在 ，使得 满足不等式（核心看极值/最值是否符合条件）。 典型例题：已知函数 ，判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 详细解析： ① 构造函数 ，定义域为 ，问题转化为“存在 ，使得 “； ② 求一阶导数：； ③ 求极值可疑点：令 ，解得 或 （均在定义域内）； ④ 分析单调性与极值： 时，， 单调递增； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ⑤ 求极值与端点附近值：极大值 ，极小值 ， 时，； ⑥ 结论：存在 ，使得 ，此时 或 。 易错提醒：混淆恒成立与能成立的转化方向；遗漏极值点，仅判断端点值；未说明“存在”的依据，直接得出结论。 第二部分：中档题型（3-5 题，高频题，占该模块 45% 分值） 题型 3：含参不等式恒成立（无端点效应，常规分类讨论） 解题思路： ① 转化不等式为 （或 ），含参变量 ； ② 求 的定义域、一阶导数，分析导数的符号（含参）； ③ 分类讨论参数的取值范围，确定 的单调性、最值； ④ 结合最值条件，确定参数的取值范围。 典型例题：已知函数 （ 为常数），若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 定义域 ，，在 上单调递增，故 ； ② 当 即 时，， 单调递增，，解得 ； ③ 当 即 时，存在 ，使得 ， 在 单调递减，，不满足； ④ 综上，。 易错提醒：不等式变形时，未考虑分母符号（ 可变形， 不确定不可变形）；忽略基本不等式的取等条件；分类讨论标准不清晰，遗漏参数取值范围。 题型 4：含参不等式恒成立（端点效应，必要性探路）—— 期中高频 解题思路： ① 观察定义域（闭区间 ），判断端点处不等式是否取等号，若取等号，用端点效应探必要性； ② 代入端点 、，求出参数的初步范围； ③ 验证该范围下，不等式在整个区间内恒成立（充分性）； ④ 综合得出参数范围。 典型例题：已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 端点分析：当 时，，不等式取等号，符合端点效应适用场景，先探必要性； ② 探必要性： 在 恒成立，需满足 （已满足）、，即 ，解得 ；同时， 在 处单调递增（否则 时 ），故 ； ③ 求导数：，，解得 ；综上，必要性范围为 ； ④ 证充分性：当 时，对任意 ，，故 ， 在 上单调递增； ⑤ 验证最值：，满足不等式恒成立； ⑥ 综上，实数 的取值范围为 。 易错提醒：仅探必要性，未证充分性，导致参数范围扩大；忽略端点处的单调性要求，仅代入端点值求范围；端点效应适用场景判断错误（非闭区间、端点处不取等号，不可用）。 题型 5：含参不等式能成立（存在性问题，含参） 解题思路： ① 转化不等式为 （或 ），含参变量； ② 求 的定义域、导数，分析 的单调性、极值、最值； ③ 结合能成立条件（ 或 ），分类讨论参数，确定参数的取值范围。 典型例题：已知函数 （），存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 转化问题：存在 ，使得 ，即 ，因 ，当 时，不等式为 ，不成立；当 时，变形为 ； ② 构造函数 ，，问题转化为”“； ③ 求 的导数：； ④ 分析单调性：令 ，解得 （，）； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ⑤ 求 的最小值：； ⑥ 综上，，又因 ，故实数 的取值范围为 。 易错提醒：忽略 的特殊情况，直接变形导致错误；能成立转化方向错误（误将 写成 ）；导数化简不彻底，无法准确找到极值点。 第三部分：综合题型（6-7 题，压轴题，占该模块 30% 分值） 题型 6：恒成立与能成立的综合问题（双变量） 解题思路： ① 明确双变量的取值范围（，）； ② 分别转化两个变量对应的不等式，将双变量问题转化为“单变量函数最值的比较”； ③ 分别求两个函数的最值，结合题意建立不等式，求解参数范围。 典型例题：已知函数 ，（ 为常数），对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 转化问题：对任意 ，存在 ，使得 ； ② 求 的最小值：，在 上，， 单调递增，故 ； ③ 求 的最小值：，分类讨论 的取值： 当 时，在 上，，， 单调递增，； 当 时，令 ，解得 （）， 在 单调递减，在 单调递增，； - 当 时，在 上，，， 单调递减，； ④ 结合 ，分情况求解： 当 时，，解得 ； 当 时，，解得 ，与 矛盾，无解； 当 时，，解得 ，与 矛盾，无解； ⑤ 综上，实数 的取值范围为 。 易错提醒：双变量转化方向错误（混淆“任意”与“存在”的对应关系）；分类讨论不全面，遗漏参数取值范围；求两个函数最值时，单调性判断错误。 题型 7：洛必达法则解决恒成立问题（端点极限型）—— 期中难点 解题思路： ① 转化不等式为 （或 ），发现端点处 ，且 在端点处仍为 （即 型）； ② 利用洛必达法则求端点处的极限，确定参数的取值范围； ③ 验证该范围下，不等式恒成立（避免洛必达法则滥用）。 典型例题：已知函数 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 详细解析： ① 转化不等式：，即 对任意 恒成立，令 ，问题转化为”“； ② 分析 的极限：当 时，，，即 型，可用洛必达法则求极限； ③ 洛必达法则求极限：； ④ 分析 的单调性：求 ，令 ，则 ； ⑤ 当 时，， 单调递减，故 ； ⑥ 因此 ， 在 上单调递减； ⑦ 求 的最大值：因 单调递减，且 时 ，故 ； ⑧ 综上，，即实数 的取值范围为 。 易错提醒：洛必达法则适用场景判断错误（非 、 型滥用）；多次求导后未验证函数可导性；仅用洛必达法则求极限，未验证函数单调性，直接得出参数范围。 分层实战练习 一、基础层（共 30 分，每题 6 分） 1. 证明：当 时，不等式 恒成立。 1. 已知函数 ，判断是否存在 ，使得 成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由。 1. 已知函数 ，证明：对任意 ， 恒成立。 1. 已知函数 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 1. 证明：当 时， 恒成立。 二、提高层（共 40 分，每题 8 分） 1. 已知函数 （ 为常数），若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 1. 已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用端点效应求实数 的取值范围。 1. 已知函数 （），存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 1. 已知函数 ，若 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 1. 已知函数 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 三、冲刺层（共 30 分，每题 10 分） 1. 已知函数 ，（ 为常数），对任意 ，存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 1. 已知函数 ，若 对任意 恒成立，利用洛必达法则求实数 的取值范围。 1. 已知函数 ，对任意 ， 恒成立，结合端点效应与洛必达法则，求实数 的取值范围。 实战练习详细答案解析 一、基础层答案解析 1. 证明： ① 构造函数 ，定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 分析单调性：当 时，，故 ， 在 上单调递增； ④ 求最值：； ⑤ 综上，，即 在 上恒成立。（6 分） 1. 解：存在， 的取值范围为 ； ① 构造函数 ，定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 令 ，解得 （ 舍去，不在定义域内）； ④ 分析单调性： 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ⑤ 求极值与端点附近值：极小值 ， 时，，； ⑥ 综上，存在 使得 ，取值范围为 。（6 分） 1. 证明： ① 构造函数 ，定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 分析单调性：令 ，解得 ； 时，， 单调递增； 时，， 单调递减； ④ 求最值：； ⑤ 综上，，即 ，故对任意 ， 恒成立。（6 分） 1. 解：； ① 问题转化为“存在 ，使得 ” ； ② 分析 的单调性：，令 ，解得 ； ③ 单调性： 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ④ 求最值：计算端点值与极值，，，，故 ； ⑤ 综上，。（6 分） 1. 证明： ① 构造函数 ，定义域为 ； ② 求一阶导数：； ③ 分析单调性：当 时，，，故 ， 在 上单调递增； ④ 求最值：； ⑤ 综上，，即 ，故当 时， 恒成立。（6 分） 二、提高层答案解析 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 定义域 ，不等式 转化为 ，变形为 （因 ，，两边同除以 不改变不等号方向）； ② 构造函数 ，问题转化为”“； ③ 求 的导数：； ④ 分析 的符号：令 ，，则 ；当 时，， 单调递增，故 ； ⑤ 因此 ， 在 上单调递增，； ⑥ 由 ，解得 。（8 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 端点分析：当 时，，满足不等式；当 时，，解得 （必要性探路）； ② 验证充分性：当 时，，求导得 ； ③ 当 时，，故 ， 在 上单调递减； ④ 验证最值：，满足不等式恒成立； ⑤ 综上，实数 的取值范围为 。（8 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 转化问题：存在 ，使得 ，即 ； ② 当 时，不等式为 ，不成立；当 时，变形为 ； ③ 构造函数 ，，问题转化为”“； ④ 求 的导数：； ⑤ 令 ，解得 ； ⑥ 分析单调性： 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ⑦ 求 的最小值：，代入 化简：，故 ，进一步化简得 ，因此 ； ⑧ 综上，实数 的取值范围为 。（8 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 转化不等式：，即 ； ② 当 时，变形为 ，令 ，问题转化为”“； ③ 求 的导数：； ④ 分析单调性：令 ，解得 ； 时，， 单调递增； 时，， 单调递减； ⑤ 求 的最大值：； ⑥ 综上，，即实数 的取值范围为 。（8 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 问题转化为“存在 ，使得 “，即 的取值范围为函数 在 上的值域； ② 求 的导数：； ③ 分析单调性：当 时，， 单调递增； ④ 求值域：，； ⑤ 综上，实数 的取值范围为 。（8 分） 三、冲刺层答案解析 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 转化问题：对任意 ，存在 ，使得 ； ② 求 的最大值：，在 上，， 单调递增，故 ； ③ 求 的最大值：， 在 上单调递增，故 ； ④ 建立不等式：，解得 ，简化得 ； ⑤ 综上，实数 的取值范围为 。（10 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 转化不等式：，即 对任意 恒成立，令 ，问题转化为”“； ② 分析 的极限：当 时，，， 型，用洛必达法则求极限； ③ 洛必达法则求极限：，故 ； ④ 分析 的单调性：求 ，令 ，则 ； ⑤ 当 时，， 单调递减，故 ； ⑥ 因此 ， 在 上单调递增，且 时，，； ⑦ 故 ，综上，，即实数 的取值范围为 。（10 分） 1. 解：实数 的取值范围为 ； ① 端点效应探必要性：当 时，，不等式取等号，符合端点效应适用场景；求导数 ，；当 时， 即 ，为 型，用洛必达法则求极限； ② 洛必达法则求极限：（仍为 ，继续求导）， 无意义，调整转化：，当 时，，令 ，求 ； ③ 求 的导数：，令 ，则 ； ④ 分析 的单调性：令 ，解得 ； 时，， 单调递减； 时，， 单调递增； ⑤ 求 的最小值：，，，存在 使得 ； ⑥ 分析 的单调性： 时，，； 时，，； 时，，； ⑦ 求 的最小值：，，结合端点效应，验证 时， 恒成立； ⑧ 综上，实数 的取值范围为 。（10 分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $