专题08 特殊平行四边形中的最值模型之将军饮马模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题08 特殊平行四边形中的最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 几何最值问题是初中数学几何模块的核心难点，而将军饮马模型是解决线段和（差）最值最经典、应用最广泛的工具。当将军饮马模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，题目会更具隐蔽性，既考查图形性质，又考查对称转化思想，是学生必须熟练掌握的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的将军饮马模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 3 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 3 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 3 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 4 【模型运用】 5 【易错点总结】 14 【模型小结】 15 15 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1（2025春•肇源县期末）如图，，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，当、、三点共线时，的距离最短． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：． 例2（2025春•金寨县期末）如图，正方形的边长为3，点是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于△ 的面积的6倍，连接，，则线段的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 【答案】 【分析】过作，作点关于的对称点，连接交于，由两点间线段最短得，为所求最小值，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：过作，作点关于的对称点，连接交于， 由对称得， ， 由两点间线段最短得，为所求最小值， 正方形的面积始终等于△ 的面积的6倍， 到的距离到的距离， ， 到的距离为2， ， ， ， 故选：． 例3（2023春•林州市期末）如图，已知正方形的边长为4，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用将军饮马模型，判断出线段的长即为的最小值，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接，， 四边形是正方形， 对角线所在直线是其一条对称轴， ， ， 因此当，，在一条直线上是最短，最短长即为的长， 在△中， ，点是边的中点， ， ． 故选：． 例4（2025•金凤区校级二模）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先确定动点的运动路线，再构造将军饮马模型，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：设△的边上的高为， ， ，即， ， ， 分别在，上取点，，使，连接，则点是直线上的一个动点， 延长到，使，连接，， 四边形是矩形， 四边形是矩形， ， ，关于对称，， ， ， 的最小值为的长， 在△中， ， 故选：． 例5（2024•无为市三模）如图，是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则△的周长的最小值为（　　） A．16 B． C． D． 【答案】 【分析】在上取点，使，连接，证明△△，得出，证出，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：在上取点，使，连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， △△， ， ， 点始终保持， 作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，连接，，， ，， ， 的最小值为的长， 在△中， 由勾股定理，得， 的最小值为， △的周长的最小值为． 故选：． 例6（2024秋•唐河县期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　 　度． 【答案】17 【分析】点和点在直线的同旁，需要作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小．由轴对称的性质可得，，进而可得的度数．易得为等腰三角形，那么可得的度数． 【解答】解：点和点在直线的同旁， 作点关于点的对称点，连接交直线于点，的值最小． ，， ， ． ， ． ． 例7（2025秋•西安校级月考）如图，菱形的周长为24，，是的中点，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】点和点都在直线的同旁，根据菱形的性质可判断点关于直线的对称点就是点，所以连接，的最小值即为的长度．进而根据所给条件判断出的长度即可． 【解答】解：菱形的周长为24， ． 四边形是菱形，， ，，． 点关于的对称点是点，是等边三角形． ． 连接交于点． ． 的最小值． 是的中点， ，． ． 的最小值． 故答案为：． 例8．（2024•德州模拟）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的动点．当取得最小值时，　 　． 【答案】． 【分析】确定点关于轴的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求出当取得最小值时的值． 【解答】解：取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，如图， 设直线的解析式为：， 将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为：， 当时，， 解得， ． 故答案为：． 例9（2024春•锦江区期末）如图，在△中，，，．将△沿射线平移得到△，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在△的平移过程中，△的周长的最小值为 ． 【答案】． 【分析】将△的周长转化△的周长，因为是定值，所以要求周长最小就转化成求，也就是我们熟悉的最短路线问题，做对称点再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，作，使， 则易得四边形是平行四边形， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， △的周长△的周长， 在△中，， 要求△的周长最小值，就是求的最小值， 作关于的对称点”，连接 “，则 “， 延长交延长线于， ，，， △△， ， “， “， 在△ “中， “， △的周长△的周长， 即△的周长的最小值是， 故答案为：． 例10．（2026春•碑林区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 　 　． 【答案】4． 【分析】由题意可知，，为定长，四边形周长最小只要最小即可，将平移到点与点重合的位置，最小，即最小，作点关于的对称点，连接交于点，的长即为所求．利用等腰三角形的判定和性质，可得，从而得出所求． 【解答】解：四边形是矩形，，，点为中点， 为定长， ， 四边形周长最小只要最小即可； 取中点连接，在上取，连接， 则四边形是矩形，四边形为平行四边形，， ， ， 最小，只要最小即可； 作点关于的对称点，连接交于点， 则， 即最小时，点位于处， 的长即为所求． 由作图可知，，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：4． 1. 找错对称轴，对称点位置错误； 2. 混淆特殊平行四边形的对称性，菱形 / 正方形对角线对称性质用错； 3. 构造直角三角形时边长对应错误，勾股定理计算失误； 4. 只记模型不看图形，忽略动点所在线段的范围，导致结果不符合题意； 5. 混淆 “线段和最小值” 与 “线段差最大值” 的模型。 1. 核心思想：对称转化 + 两点之间线段最短； 2. 载体关键：特殊平行四边形的边、对角线是天然对称轴； 3. 解题口诀：见最值，找对称；定对称轴，作对称点，连线算长度； 4. 图形侧重：正方形考法最多，菱形侧重对角线对称，矩形侧重直角勾股计算； 5. 学习关键：理解对称转化原理，结合图形性质灵活构造，不机械套用模型。 1．（2025•深圳模拟）如图，菱形的边长为6，，点是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】连接，，当时，的值最小，再由所给条件可知，则即为所求． 【解答】解：连接，， 四边形是菱形， 点与点关于对称， ， ， 当时，的值最小， ， ， ， △是等边三角形， 是的中点， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 2．（2024•东莞市模拟）如图①，在正方形中，点是的中点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点，是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】 【分析】通过图象得到的最小值为，再根据轴对称，得到点为和交点时，最小，从而求得正方形的边长． 【解答】解：点关于的对称点为， ， 当为和的交点时，取得最小值，即， ， ， ， 正方形的边长为4， 故选：． 3．（2024春•凉州区校级期中）如图所示，四边形为正方形，边长为6，点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为，是上的一动点，试求和的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，点，关于对称，连接，交于点，连接，则当点与点重合时，最小，最小值即为的长，再利用勾股定理可得答案． 【解答】解：四边形为正方形， 点，关于对称， 连接，交于点，连接， 当点与点重合时，最小， 最小值为， 的坐标为， ， 正方形的边长为6， ， ． 故选：． 4．（2024春•香坊区校级期中）如图，正方形的边长为12，点在上，且，是上一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．13 C． D．15 【答案】 【分析】由正方形的性质可知点与点关于对称，从而可得到，从而推出的最小值为，最后利用勾股定理求得的长即可． 【解答】解：如图所示：连接，． 四边形为正方形， 点与点关于对称． ． ， 的最小值为， 在△中， ， 由勾股定理，得． 的最小值为15． 故选：． 5．（2024春•海州区期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】找到点关于的对称点，连接，推出长就是所求最值，利用角平分线和直角三角形斜边中线推出可得是直角三角形，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：找到点关于的对称点，连接，交于点，连接，， 则， ， 的最小值是的长． ，， ． ， 是的平分线， ， ， ， ， ，即△是△， ， ，， ． 故选：． 6．（2025春•伊犁州期末）如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】取点关于轴的对称点，连接，连接交轴于点，确定最小值为，此时点位于处，再根据待定系数法确定直线的解析式，进而可求出点的坐标，即当最小时，点的坐标． 【解答】解：取点关于轴的对称点，连接，连接交轴于点， ， ， 最小值为，此时点位于处， 四边形是矩形，点的坐标是， ，， 点、分别为、的中点， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 即当最小时，点的坐标为， 故选：． 7．（2024春•潍城区期末）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为线段上一动点，当的值最小时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，推出当的值最小时，点位于点处，再求出点的坐标即可． 【解答】解：连接交于点，连接， 是正方形的对角线， ， ， 的值最小为，此时点位于处， 设直线的解析式为， ，， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立， 解得， ，， 故选：． 8．（2025春•遂平县期中）如图，在中，，，点为边上一动点，点为线段上一点，且，则线段的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】将沿翻折得到，点的对应点为点，连接，，，推出的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图，将沿翻折得到，点的对应点为点，连接，，， 则，， ， 的最小值为的长， ，， ， 在中， ． 故答案为：． 9．（2024•秦淮区模拟）如图，正方形的边长为5，为的中点，为上一动点，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，过点作交于，此时有最小值，最小值为；求出的长即为所求． 【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交的延长线于点， 交于点， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 点是的中点， ， 正方形的边长为5， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ，， 过点作交于， ，， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 10．（2024•碑林区校级三模）如图，，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】延长，交于，过作直线，推出是到的距离等于的直线上的动点，再利用将军饮马模型构造图形，利用勾股定理即可求出的最小值． 【解答】解：延长，交于，过作直线，如图： 和是等边三角形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线的距离，到直线的距离都为， 作关于直线的对称点，连接，当运动到与直线的交点，即，，共线时，最小， 此时的最小值为， 故答案为：． 11．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在等腰△中，，，将△沿射线方向平移至△，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，，在平移过程中，的最大值为 ． 【答案】． 【分析】作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、，利用三线合一性质和勾股定理求出，通过证明△△得到，利用矩形的判定推出四边形是矩形，得到，再利用平移的性质得到，，进而求出的长，利用垂直平分线的性质得出，最后利用线段的性质即可求解． 【解答】解：如图，作于，作于，作于，交于，在延长线上取点，使得，连接、， ，， ，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ，， ， △△， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由平移的性质可得，△△， 又、分别为△、△对应边的高， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，的最大值为， 故答案为：． 12．（2025•西安模拟）如图，在矩形中，，，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，连接与，则的最大值为 　 　． 【答案】． 【分析】如图，连接并延长交于，则这个点满足使的最大，则的最大值为的长度．然后利用矩形的性质可以证明，接着过作于，证明四边形为矩形，最后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接并延长交于，则这个点满足使的最大， 则的最大值为的长度． 四边形为矩形， ，， ， 而为对角线的中点， ， 又， ， ，， 而， ， 过作于， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ． 故答案为：． 13．（2024•湖南模拟）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点（点，分别不与点，重合），且，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】过点作，且，先证明△△，得．换算出，得，故．由勾股定理得．过作，得四边形为，由，故、、共线时，最小，再计算即可． 【解答】解：过点作，且，连接，， ， ， ， 矩形， ， ， ， 过作，过作， ． 在△和△中， ， △△， ． ， ， ， ， ， ． ． 过作，交延长线于． ，， 四边形为平行四边形， ． ， 故、、共线时，最小， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 14．（2024•绥化模拟）如图，在中，，，，是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】在上取一点，使，过点作于点，证明出的最小值为的长，再求出的长即可． 【解答】解：在上取一点，使，过点作于点， 是的平分线， ， 又， ， ， ， 的最小值为的长， 在中， ，，， 由勾股定理，得， ， ． 故答案为：． 15．（2024•蒲城县模拟）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】将沿翻折，点落在处，连接，，，作于点，推出周长的最小值为，再根据已知条件得出△是等边三角形，利用勾股定理求出，，的长，进而求出的长，从而解决问题． 【解答】解：将沿翻折，点落在处，连接，，，作于点，如图， 则， ，， ， 周长， 即周长的最小值为， ，， ， ， ， △是等边三角形， ，， 在△中， 由勾股定理，得， 在△中， ， 由勾股定理，得， 周长的最小值为， 故答案为：． 16．（2024•鹤山市一模）如图，已知正方形的边长为4，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 　 　． 【答案】． 【分析】利用将军饮马模型，判断出线段的长即为的最小值，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接，， 四边形是正方形， 对角线所在直线是其一条对称轴， ， ， 的最小值是的长， 在中， ，点是边的中点， ， ． 故答案为：． 17．（2024春•徐州期中）如图，正方形的边长为4，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，点是上的一个动点，则的最小值是 　 　． 【答案】． 【分析】连接，，利用将军饮马模型推出的最小值为的长，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【解答】解：连接，， 四边形是正方形， 点，点关于对称， ， ， 的最小值为的长， 正方形的边长为4，点的坐标为， ，， 由勾股定理，得， 的最小值是， 故答案为：． 18．（2025秋•西城区校级月考）在△中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，点为的中点，则的最小值是　 　 ． 【答案】． 【分析】根据条件构造辅助线，得到△与△全等，利用全等三角形的性质得到，，将求的最小值转化为求的最小值，设长为，则长为，利用勾股定理可得，根据的几何意义可表示点到点和的距离之和，最后利用将军饮马模型即可解答． 【解答】解：，， △为等腰直角三角形， ， 又线段是由线段绕点顺时针旋转得到， △也为等腰直角三角形，， ， ，，，四点共圆， ， 又， ， ， 如图，延长，交于点， 点为的中点， ， ， ， 又， △△， ，， ， 设长为，则长为， 在△中，， 在△中，， ， 的几何意义可表示点到点和的距离之和， 在平面直角坐标系中分别用点、、表示点、、， 由图可知，点关于轴的对称点为点，， ， 即当点、、三点共线时，距离之和取得最小值，此时点位于线段与轴交点处， 由勾股定理得，线段， 即点到点和的距离之和最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 19．（2025春•龙马潭区校级期末）如图，在菱形中，，是边的中点，是边上一动点，的最小值是，　 　． 【答案】2． 【分析】找出点关于的对称点，连接，则就是的最小值，进而可求出的值． 【解答】解：连接，，， 四边形是菱形， 、关于对称，，， ， ， 即就是的最小值，即， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， 由勾股定理，得， 即， ， ． 故答案为：2． 20．（2025秋•市南区校级期中）如图，菱形中，，，是边上一点，且，是上一动点，连接、，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】在上取一点，使，连接，，推出的最小值为的长，再过点作于点，利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，， 四边形是菱形， 点与点关于对角线所在直线对称， ， ， 的最小值为的长， 过点作于点， ，， ，， ， 在△中， 由勾股定理，得， 的最小值为． 故答案为：． 21．（2024春•浙江期中）如图，中，，，，点为边上的中点，，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】先将五边形的周长表示为，再求的最小值，通过平移将问题转化为将军饮马问题，通过轴对称将两线段的和的最小值用一条线段的长表示，进而利用勾股定理求解即可． 【解答】解：，点为边上的中点， ， ，， 五边形的周长， 在上截取，连接，作点关于直线的对称点，连接，， 则四边形是平行四边形，， ， 五边形的周长， 因此只要求出即可求出五边形的周长最小值， 令的延长线交于点， 则， ，， ， ，， 在△中． 由勾股定理，得， 五边形的周长最小值为：， 故答案为：． 22．（2024•白云区一模）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值，则　　． 【答案】2． 【分析】连接，，推出的最小值，就是的长，再利用勾股定理求出，进而求出的长． 【解答】解：连接，， 四边形是正方形， 点与点关于直线对称， ， ， 的最小值， ， 在中， ，， 由勾股定理，得， ， 故答案为：2． 23．（2024•秦都区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，是边上的一动点，连接，为的中点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】取的中点连接，，，，证明出点就是与的交点，四边形是平行四边形，四边形是正方形，利用将军饮马模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：取的中点连接， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 与的交点就是的中点， 连接， ，，，， 四边形是正方形， ，关于对称， 连接，， 则， ， 即的最小值为的长， 在中， ，， 由勾股定理，得， 故答案为：． 24．（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，△的周长最小，则它的周长的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据要使△的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为△的周长最小值，作交的延长线于， 当时，△的周长最小， ， ， 即， ， ， ， ， 由对称性，知，， 在△中， ， 由勾股定理，得， 在△中， ， 由勾股定理，得． 故答案为：． 25．（2025春•新北区校级期中）如图，在矩形中，，，以为边在矩形外部作△，且，连接，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】先根据三角形面积公式求出高，得到点的运动轨迹，再根据轴对称的性质用一条线段的长表示的最小值，最后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：在矩形中，，， ， 到的距离为：， 点在平行于，且到的距离为3的直线上， 作点关于的对称点，连接，， 则， ， 即的最小值为的长， 在△中， ，， 由勾股定理，得， 故答案为：． 26．（2024春•天河区校级期中）如图，在正方形中，，点是线段上的动点，点在线段上方，，且，连接，，则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】连接，在上截取，连接，可推出点，在的延长线上取点，使，连接，，可推出的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【解答】解：连接，在上截取，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，即与的夹角始终为， 在的延长线上取点，使，连接，， 则点与点关于直线对称，， ， 的最小值为， 在中， ，， 由勾股定理，得， 即的最小值为， 故答案为：． 27．（2026•新城区校级四模）如图，正方形的边长为，点、为对角线上的两个动点，，则四边形周长的最小值为 　 　 ． 【答案】． 【分析】因为正方形关于直线对称，所以，，所以四边形周长，所以要求四边形周长的最小值，先求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：正方形关于直线对称， ，， 四边形周长， 如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，连接， 则四边形是平行四边形，，，， ， 的最小值为的长， 四边形周长的最小值为， 过点作交于点，过点作交的延长线于点， 则△是等腰直角三角形，四边形是矩形， ，，， ， 四边形周长的最小值为 故答案为：． 28．（2025秋•涪城区期末）如图，，且，，分别为射线和射线上两动点，且，则的最小值为 　 　． 【答案】80． 【分析】利用全等和轴对称，把线段和的平方最小转化成两点间的线段的长的平方即可解决问题． 【解答】解：连结，延长到，使，连接，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 即的最小值就是的最小值， ， ， 在△中， 由勾股定理，得． 47．（2024•黑龙江三模）如图，已知正方形的边长是4，是边上一动点，△是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 　 　 ． 【答案】． 【分析】过作于，连接，可证△△，从而得到，，在根据线段关系可以得出，从而得到的轨迹，取点关于轨迹的对称点，根据两点之间线段最短求解即可． 【解答】解：过作于，连接，如图： ， ， ， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， △为等腰直角三角形， 点在与夹角围的直线上运动， 作关于的对称点，则，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 29．（2024•南宁二模）如图，矩形中，，，点，将对角线三等分，点是矩形边上的动点．则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】分两种情况讨论，再比较即可求出答案． 【解答】解：矩形中，，， ，， 由勾股定理，得， 下面分两种情况讨论． ①当点在（或上时． 作点关于的对称点，连接交于点， 则， ， 即当点在边上位于点时，最小，此时最小，最小值为， 过点作交的延长线于点， 点，将对角线三等分， ， ，，， ， 由勾股定理，得， 此时的最小值为； ②当点在（或上时． 作点关于的对称点，连接交于点， 则， ， 即当点在边位于点时，最小，此时最小，最小值为， 过点作交的延长线与于点， 点，将对角线三等分， ， ，，， ， 由勾股定理，得， 此时的最小值为； ， 的最小值为． 故答案为：． 30．（2025•江都区二模）如图，已知正方形的边长为4，点是正方形内部一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则的长度最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点在以为直径的半圆上移动，设以为直径的圆的圆心为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交于，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 点在以为直径的半圆上移动， 如图，设以为直径的圆的圆心为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是， 连接交于点，连接，， 则， ， 即的长度最小值为， ，， ， ， 的长度最小值为， 故答案为：． 31．（2025春•工业园区校级期中）计算与发现直角三角形三边的等量关系 将如图1所示的长方形绕点顺时针旋转得到长方形，其中是长方的对角线，点、、分别是点、、的对应点，连接，设，，．请完成下列问题： （1）①　 　 度； ②请你用两种不同的方法计算四边形的面积，并将所列等式化至最简形式． 作图与推理的最小值问题 如图2，点、是直线异侧的两个定点，点是直线上的一个动点，连接、，连接交直线于点．根据“两点之间线段最短”我们发现：当点与点重合时，最小，最小值就是线段的长度． （2）如图3，点、是位于直线同侧的两个定点，其他条件不变，请完成以下问题： ①作点关于直线的对称点，记为点；（在图3中尺规作图，保留作图痕迹） ②根据对称性，此时，于是的最小值问题就转化成了的最小值问题．请你根据上述分析，在图3中作出当取最小值时点的位置．（保留作图痕迹） 探索与运用 根据上述发现、推理，请你完成下列问题： （3）如图4，在等腰直角△中，，，，点是上一点，，点是斜边上的一个动点，连接、，求的最小值． 【答案】（1）①90； ②四边形的面积， 四边形的面积△的面积△的面积△的面积， ， 整理，得； （2）①作出图形如下： ②如图，当取最小值时点的位于点处； （3）的最小值为． 【分析】（1）①根据旋转的性质和全等三角形的性质可以得到，从而推出，进而得到的度数； ②分别用整体和各部分面积和表示出四边形的面积，利用面积不变得到等式，再整理即可得出结论； （2）①利用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线，以及截一条线段等于已知线段即可作出点； ②根据题中的说明和图2提供的方法作出当取最小值时点的位置即可； （3）利用（2）中的方法，作出图形，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：（1）①长方形绕点顺时针旋转得到长方形， △△△△， ， ， ， ． 故答案为：90； ②四边形的面积， 四边形的面积△的面积△的面积△的面积， ， 整理，得； （2）①作出图形如下： ②如图，当取最小值时点的位于点处； （3）如图，所作图形如下： 点是点关于对称，则的最小值为的长， 连接， 在等腰直角△中，，，，， 则，，， 在△中， 由勾股定理，得， 故的最小值为． 32．（2024春•中阳县期中）综合与实践 【问题情景】 （1）如图1，为线段上一动点，分别过点，作，，连接，．已知，，．设，用含的代数式表示的长． 【数学思考】 （2）如图2，在某河道一侧有两家工厂，，它们到河道的距离，分别是，，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点抽水，且使得抽水点到两家工厂，的距离之和最短，求出的最小值． 【深入探究】 （3）请结合（2）的思路，直接写出代数式的最小值：　 　． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【分析】（1）根据图1，利用勾股定理即可含的代数式表示的长； （2）作点关于的对称点，过点作于点，过点作于点，推出的最小值就是的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）构造类似图1的图形，结合（2）的思路，即可求出答案． 【解答】解：（1），， ， ，， ， 在中， ， 由勾股定理，得， 在中， ， 由勾股定理，得， ； （2）作点关于的对称点，过点作于点，过点作于点，如图， 则四边形，四边形，四边形都是矩形，， ， 的最小值为， ，，， ，，， 在中， 由勾股定理，得， ， 在△中， 由勾股定理，得， 的最小值为； （3）构造图形如下，其中为线段上点，分别过点，作，，连接，，其中，，．， 则，，， 连接， ， 代数式的最小值为的长， 过点作交的延长线于点， 则四边形是矩形， ，， ， 在中， 由勾股定理，得， 代数式的最小值为10． 故答案为：10． 33．（2024春•崇义县期中）已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，，，其两点之间的距离公式为．如：已知，，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则． （1）若点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为则　 　，　　，　　； （2）若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，求出的最小值； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）4，3，5； （2）5； （3）直角三角形． 理由见解答． 【分析】（1）直接根据所给两点之间的距离公式计算即可； （2）利用将军饮马模型，确定点关于轴的对称点坐标，再利用两点之间的距离公式即可求出的最小值； （3）直接根据所给两点之间的距离公式计算出这个三角形的三边长，再根据三边长之间的关系判断此三角形的形状即可． 【解答】解：（1），，， ， ， ， 故答案为：4，3，5； （2）画出图象如下：其中点是点关于轴的对称点， 由将军饮马模型，可知的最小值就是的长， ， ， ， ， 的最小值为5； （3）直角三角形． 理由：，，， ， ， ， ，， ， 根据勾股定理的逆定理，知此三角形是直角三角形． 34．（2023春•和平区校级期中）如图，在边长为6的正方形中，为的中点，为上的一个动点．则的最小值为 　 　． 【答案】． 【分析】延长到使，连接，，推出的最小值为，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【解答】解：延长到使，连接，， 四边形是边长为6的正方形，为的中点， 是的垂直平分线，， ， ， 的最小值为， 在中， ，， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 35．（2023春•洪江市期末）如图1，在边长为1的正方形中，平分，交于点，过点作于点，延长交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）如图2，点是的中点，点是上的动点，点是对角线上的动点，请问是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）的最小值为， 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，于是易通过证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）易得为等腰直角三角形，，由平行线的性质得到，易通过证明，得到，则可通过证明，得到，进一步可得，则，由，可得四边形是平行四边形，结合即可证明四边形是菱形； （3）作点关于的轴对称点，连接，过点作于点，交于点，由垂线段最短可知，当与点重合时，线段的长即为的最小值，利用等腰直角三角形的斜边和直角边的关系即可求解． 【解答】（1）证明：四边形为正方形， ，即， ， 平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形为正方形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）解：如图，作点关于的轴对称点，连接，过点作于点，交于点， 由轴对称的性质可知，，， ， 由垂线段最短可知，当与点重合时，线段的长即为的最小值， 点时的中点， ， ， ，， △等腰直角三角形， ， 的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 特殊平行四边形中的最值模型之将军饮马模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 几何最值问题是初中数学几何模块的核心难点，而将军饮马模型是解决线段和（差）最值最经典、应用最广泛的工具。当将军饮马模型与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形结合时，题目会更具隐蔽性，既考查图形性质，又考查对称转化思想，是学生必须熟练掌握的重点内容。本专题就特殊平行四边形中的将军饮马模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 3 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 3 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 3 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 4 【模型运用】 5 【易错点总结】 8 【模型小结】 8 8 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1（2025春•肇源县期末）如图，，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．为了使所用水管最短，则下列图形中自来水厂的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 例2（2025春•金寨县期末）如图，正方形的边长为3，点是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于△ 的面积的6倍，连接，，则线段的最小值为（　　） A． B． C．4 D．5 例3（2023春•林州市期末）如图，已知正方形的边长为4，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 例4（2025•金凤区校级二模）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（　　） A． B． C． D． 例5（2024•无为市三模）如图，是正方形的边上一点，连接，在的右上一侧以为直角边作等腰直角三角形，连接，若，则△的周长的最小值为（　　） A．16 B． C． D． 例6（2024秋•唐河县期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接、．当的值最小时，的度数为 　 　度． 例7（2025秋•西安校级月考）如图，菱形的周长为24，，是的中点，则的最小值为 　 　． 例8．（2024•德州模拟）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的动点．当取得最小值时，　 　． 例9（2024春•锦江区期末）如图，在△中，，，．将△沿射线平移得到△，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在△的平移过程中，△的周长的最小值为 ． 例10（2026春•碑林区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 　 　． 1. 找错对称轴，对称点位置错误； 2. 混淆特殊平行四边形的对称性，菱形 / 正方形对角线对称性质用错； 3. 构造直角三角形时边长对应错误，勾股定理计算失误； 4. 只记模型不看图形，忽略动点所在线段的范围，导致结果不符合题意； 5. 混淆 “线段和最小值” 与 “线段差最大值” 的模型。 1. 核心思想：对称转化 + 两点之间线段最短； 2. 载体关键：特殊平行四边形的边、对角线是天然对称轴； 3. 解题口诀：见最值，找对称；定对称轴，作对称点，连线算长度； 4. 图形侧重：正方形考法最多，菱形侧重对角线对称，矩形侧重直角勾股计算； 5. 学习关键：理解对称转化原理，结合图形性质灵活构造，不机械套用模型。 1．（2025•深圳模拟）如图，菱形的边长为6，，点是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 2．（2024•东莞市模拟）如图①，在正方形中，点是的中点，设，．已知与之间的函数图象如图②所示，点，是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（2024春•凉州区校级期中）如图所示，四边形为正方形，边长为6，点，分别在轴，轴的正半轴上，点在上，且的坐标为，是上的一动点，试求和的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 4．（2024春•香坊区校级期中）如图，正方形的边长为12，点在上，且，是上一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．13 C． D．15 5．（2024春•海州区期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•伊犁州期末）如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•潍城区期末）如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点为线段上一动点，当的值最小时，点的坐标是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•遂平县期中）如图，在中，，，点为边上一动点，点为线段上一点，且，则线段的最小值为 　　． 9．（2024•秦淮区模拟）如图，正方形的边长为5，为的中点，为上一动点，则的最小值为 　 　． 10．（2024•碑林区校级三模）如图，，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为 　　． 11．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在等腰△中，，，将△沿射线方向平移至△，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，，在平移过程中，的最大值为 ． 12．（2025•西安模拟）如图，在矩形中，，，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，连接与，则的最大值为 　 　． 13．（2024•湖南模拟）如图，在矩形中，，，，分别是，上的点（点，分别不与点，重合），且，则的最小值为 　 　． 14．（2024•绥化模拟）如图，在中，，，，是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 　 　． 15．（2024•蒲城县模拟）如图，是矩形的对角线，，，点在边上，，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为 　 　． 16．（2024•鹤山市一模）如图，已知正方形的边长为4，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是 　 　． 17．（2024春•徐州期中）如图，正方形的边长为4，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，点是上的一个动点，则的最小值是 　 　． 18．（2025秋•西城区校级月考）在△中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，，点为的中点，则的最小值是　 　 ． 19．（2025春•龙马潭区校级期末）如图，在菱形中，，是边的中点，是边上一动点，的最小值是，　 　． 20．（2025秋•市南区校级期中）如图，菱形中，，，是边上一点，且，是上一动点，连接、，则的最小值为 　 　． 21．（2024春•浙江期中）如图，中，，，，点为边上的中点，，为边上的两个动点，且，则五边形的周长最小值为 　 　． 22．（2024•白云区一模）如图，正方形的边长为4，点在边上，为对角线上一动点，连接，，若的最小值，则　　． 23．（2024•秦都区校级模拟）如图，在四边形中，，，，，点在边上，，是边上的一动点，连接，为的中点，则的最小值为 　　． 24．（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，△的周长最小，则它的周长的最小值为 　 　． 25．（2025春•新北区校级期中）如图，在矩形中，，，以为边在矩形外部作△，且，连接，则的最小值为 　 　． 26．（2024春•天河区校级期中）如图，在正方形中，，点是线段上的动点，点在线段上方，，且，连接，，则的最小值为 　 　． 27．（2026•新城区校级四模）如图，正方形的边长为，点、为对角线上的两个动点，，则四边形周长的最小值为 　 　 ． 28．（2025秋•涪城区期末）如图，，且，，分别为射线和射线上两动点，且，则的最小值为 　 　． 47．（2024•黑龙江三模）如图，已知正方形的边长是4，是边上一动点，△是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则的最小值为 　 　 ． 29．（2024•南宁二模）如图，矩形中，，，点，将对角线三等分，点是矩形边上的动点．则的最小值为 　 　． 30．（2025•江都区二模）如图，已知正方形的边长为4，点是正方形内部一点，连接，，且，点是边上一动点，连接，，则的长度最小值为 　 　． 31．（2025春•工业园区校级期中）计算与发现直角三角形三边的等量关系 将如图1所示的长方形绕点顺时针旋转得到长方形，其中是长方的对角线，点、、分别是点、、的对应点，连接，设，，．请完成下列问题： （1）①　 　 度； ②请你用两种不同的方法计算四边形的面积，并将所列等式化至最简形式． 作图与推理的最小值问题 如图2，点、是直线异侧的两个定点，点是直线上的一个动点，连接、，连接交直线于点．根据“两点之间线段最短”我们发现：当点与点重合时，最小，最小值就是线段的长度． （2）如图3，点、是位于直线同侧的两个定点，其他条件不变，请完成以下问题： ①作点关于直线的对称点，记为点；（在图3中尺规作图，保留作图痕迹） ②根据对称性，此时，于是的最小值问题就转化成了的最小值问题．请你根据上述分析，在图3中作出当取最小值时点的位置．（保留作图痕迹） 探索与运用 根据上述发现、推理，请你完成下列问题： （3）如图4，在等腰直角△中，，，，点是上一点，，点是斜边上的一个动点，连接、，求的最小值． 32．（2024春•中阳县期中）综合与实践 【问题情景】 （1）如图1，为线段上一动点，分别过点，作，，连接，．已知，，．设，用含的代数式表示的长． 【数学思考】 （2）如图2，在某河道一侧有两家工厂，，它们到河道的距离，分别是，，两工厂之间的距离是．为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点抽水，且使得抽水点到两家工厂，的距离之和最短，求出的最小值． 【深入探究】 （3）请结合（2）的思路，直接写出代数式的最小值：　 　． 33．（2024春•崇义县期中）已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，，，其两点之间的距离公式为．如：已知，，则．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或．如：已知，，则． （1）若点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为则　 　，　　，　　； （2）若点的坐标为，点的坐标为，点是轴上的动点，求出的最小值； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 34．（2023春•和平区校级期中）如图，在边长为6的正方形中，为的中点，为上的一个动点．则的最小值为 　 　． 35．（2023春•洪江市期末）如图1，在边长为1的正方形中，平分，交于点，过点作于点，延长交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； （3）如图2，点是的中点，点是上的动点，点是对角线上的动点，请问是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $