专题06 直角三角形中的分类讨论模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

专题06 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是初中几何最基础、应用最广泛的图形之一，而直角三角形中的分类讨论模型，因题目条件表述模糊、未明确图形位置与边的类型，极易出现漏解，是同学们最容易丢分的题型之一。本专题就直角三角形分类讨论的核心场景、解题思路与典型试题进行系统梳理，帮助全面掌握、不重不漏解题。 在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的分析思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展。 所以在学习几何模型要能够做到的就是： ① 认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；② 记住结论，但更为关键的是记住解题思路与分类方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 3 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 3 【模型解读】 3 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 3 【模型解读】 3 【模型证明】 3 【易错点总结】 4 【模型小结】 4 【模型运用】 4 13 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 1. 见边就当直角边，忽略斜边情况，直接漏解； 2. 无图凭印象画图，默认锐角三角形，忽略高在外部的情况； 3. 求出多解后不检验，保留重合、线段延长线等不合理解； 4. 动点问题少分类，只考虑一种直角顶点； 5. 勾股定理计算时平方差 / 平方和混淆。 1. 核心原则：直角三角形模糊条件必分类，做到不重、不漏、合理取舍； 2. 四大分类：边未定（直 / 斜）、角未定（直角顶点）、等腰直角综合、动点直角分类； 3. 解题步骤：找模糊条件→定分类标准→画图标量→勾股计算→检验舍去； 4. 学习关键：理解分类逻辑＞死记题型，多画图、多验证，杜绝想当然。 例1（2025秋•烟台期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当△为锐角三角形时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例2（2023秋•河口区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　） A． B．2 C．或2 D．或4 例3（2024•调兵山市二模）一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，当出现：点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图象上运动一次会发出警报的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例4（2025秋•德城区月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 　 　． 例5（2025秋•江宁区校级月考）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间是 　 　秒时，是直角三角形． 例6（2025秋•浠水县期末）如图，在△中，，，．动点从点出发沿的路径向终点运动；动点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点和点分别作于点，于点，则点的运动时间为　 　 时，△与△全等． 例7（2024•郸城县模拟）如图，在中，，，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为 　 　． 例8（2025秋•张掖校级期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）若点运动到的中点时，的值是 　 　； （2）4秒内，若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 1．（2024秋•兰溪市期中）同一平面内有、、三点，、两点相距，点到直线的距离为，且△为直角三角形，则满足上述条件的点有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（2025•东港区校级开学）已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A．6 B．28 C．10或28 D．10或 3．（2023秋•惠安县期末）现有两根木棒的长度分别为和．若要钉成一个直角三角形框架，那么所需要最短的木棒长是（　　） A． B． C． D．以上都不对 4．（2025春•大渡口区校级期中）若一个直角三角形，两边长为3和4，则第三边长为（　　） A．3 B． C．5 D．5或 5．（2025春•惠山区期末）如图，△，点为△外一点（点不在直线、、上），连接、．若，，，对于 ①； ②； ③； ④， 则的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 6．（2024•南皮县二模）已知锐角三角形的边长是2，3，，那么第三边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是（　　） A．4 B． C．4或 D．7 8．（2025秋•东阳市月考）已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为 ． 9．在平面直角坐标系中，已知点，点，点在坐标轴上，若是直角三角形，则点的坐标是 ． 10．（2024秋•盱眙县期中）若直角三角形的边长分别为，，则斜边上的中线长为 ． 11．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△（其中点与点是对应点，点与点是对应点），若点恰好落在边上，则点到直线的距离是 ． 12．（2026春•郁南县月考）已知直角三角形的两边，的长满足，则第三边的长为 ． 13．如图，在中，，，，动点从点出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点从点出发在边上沿方向匀速运动，速度为当点到达点时，，两点同时停止运动，则当点运动 秒时，为直角三角形． 14．（2024春•望花区期中）一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，当两块三角尺至少有一边互相平行时，的值是 ． 15．（2024秋•宜兴市校级月考）如图，已知米，于，射线于，点从向运动，每秒走1米，点从向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发 秒后，在射线上有一点，使△与△全等． 16．（2024秋•锦江区校级同步）在△中，，，则斜边上的高为 ． 17．（2024春•来凤县校级月考）直角三角形的两边长分别为3和6，则该三角形第三边长为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线经过原点，且，过，分别作的垂线段，垂足分别为，．若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 19．（2024秋•朝阳区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ． 20．（2024春•蜀山区期末）如图，在△中，，，，为的中点，为边上一动点，连接，将△沿折叠得到△，与交于点，连接，若△是直角三角形，则 ． 21．（2024•青白江区校级开学）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，． （1）求证：是等边三角形； （2）若是直角三角形，求的度数． 22．（2025春•峄城区校级月考）如图，已知是边长为的等边三角形，点为的中点，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，设运动时为秒． （1）当为何值时，与全等； （2）当为何值时，为直角三角形． 23．（2024•益阳开学）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿轴向上平移4个单位，得到线段． （1）写出点，的坐标； （2）若点在轴上，求出点坐标，使得； （3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得△为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由． 24．（2025春•海淀区校级期中）在△中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），连接．过点作于点，交直线于点，设． （1）根据题意补全图形，若有多种情况，请在不同的备用图中分别画出． （2）直接在不同的备用图下写出的大小（用含，的式子表示）． 25．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当点在线段上时， ．（用含的代数式表示） （2）若△为直角三角形，则的取值范围是 ． （3）若△为等腰三角形，直接写出的值． （4）另有一动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出为何值时，直线把△的周长分成相等的两部分． 26．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标； （3）在第四象限是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024秋•禅城区校级月考）已知是的边上的高，若，，，求长． 28．（2025秋•金牛区校级期中）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】（1）①如图2，在中，若，，则 ． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图，即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度 ． 29．（2024春•庐阳区校级期中）定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 30．（2023春•即墨区月考）已知：△中，，，．点在上以的速度从向运动，动点从向以的速度运动．运动时间为，一个点到终点另外一个点也停止运动． （1）为何值时，在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，写出与的关系式． （3）为何值时，△为直角三角形？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直角三角形中的分类讨论模型 直角三角形是初中几何最基础、应用最广泛的图形之一，而直角三角形中的分类讨论模型，因题目条件表述模糊、未明确图形位置与边的类型，极易出现漏解，是同学们最容易丢分的题型之一。本专题就直角三角形分类讨论的核心场景、解题思路与典型试题进行系统梳理，帮助全面掌握、不重不漏解题。 在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的分析思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展。 所以在学习几何模型要能够做到的就是： ① 认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；② 记住结论，但更为关键的是记住解题思路与分类方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。 当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 3 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 3 【模型解读】 3 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 3 【模型解读】 3 【模型证明】 3 【易错点总结】 4 【模型小结】 4 【模型运用】 4 13 模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求； ②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求； ③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求． 代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 1. 见边就当直角边，忽略斜边情况，直接漏解； 2. 无图凭印象画图，默认锐角三角形，忽略高在外部的情况； 3. 求出多解后不检验，保留重合、线段延长线等不合理解； 4. 动点问题少分类，只考虑一种直角顶点； 5. 勾股定理计算时平方差 / 平方和混淆。 1. 核心原则：直角三角形模糊条件必分类，做到不重、不漏、合理取舍； 2. 四大分类：边未定（直 / 斜）、角未定（直角顶点）、等腰直角综合、动点直角分类； 3. 解题步骤：找模糊条件→定分类标准→画图标量→勾股计算→检验舍去； 4. 学习关键：理解分类逻辑＞死记题型，多画图、多验证，杜绝想当然。 例1（2025秋•烟台期中）如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当△为锐角三角形时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当时，如图： ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ； 综上所述：当时，△为锐角三角形， 当△为锐角三角形时，的取值范围是， 故选：． 例2（2023秋•河口区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为和1，则第三边长为（　　） A． B．2 C．或2 D．或4 【答案】 【分析】分两种情况，①当和1均为直角边时，②当1为直角边，为斜边时，根据勾股定理分别求出第三条边长即可． 【解答】解：直角三角形的两条边长分别为和1，分两种情况： ①当和1均为直角边时，第三条边长为：； ②当1为直角边，为斜边时，第三条边长为：， 综上所述，第三边长为或2， 故选：． 例3（2024•调兵山市二模）一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，当出现：点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图象上运动一次会发出警报的次数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】分三种情况，，，． 【解答】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 分三种情况： 当，过点作，交直线于点，则即为所求； 当，过点作，交直线于点，则即为所求； 当，以为直径画圆，交直线于点，，根据直径所对的圆周角是直角，可得，，则，即为所求； 综上所述：满足的条件的点有4个， 故选：． 例4（2025秋•德城区月考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 　 　． 【答案】或． 【分析】分或两种情况，分别画出图形，即可解决问题． 【解答】解：当时，如图， ， 沿折叠到， ； 当时，如图，连接， 则， ， ， ， 沿折叠到， ， 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 例5（2025秋•江宁区校级月考）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间是 　 　秒时，是直角三角形． 【答案】12或3． 【分析】需要分类讨论：和两种情况解答． 【解答】解：当时，，则． ， ． （秒； 当时，，则． ， ． （秒； 综上所述，当或3秒时，是直角三角形． 故答案为：12或3． 例6（2025秋•浠水县期末）如图，在△中，，，．动点从点出发沿的路径向终点运动；动点从点出发沿的路径向终点运动．点和点分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点和点分别作于点，于点，则点的运动时间为　 　 时，△与△全等． 【答案】2或4． 【分析】根据全等三角形的性质得到，①在上，在上，推出方程，②、都在上，此时、重合，得到方程，在上，列方程即可得出答案． 【解答】解：设运动时间为秒时，△与△全等， 斜边， 有2种情况：①如图1，点在上，点在上， ，， ， ． ②如图2，点、都在上，此时点、重合， ， ． 综上所述，点运动时间为2或4秒时，△与△全等， 故答案为：2或4． 例7（2024•郸城县模拟）如图，在中，，，为的中点，点在线段的延长线上，是射线上的一个动点（不与点重合），连接，，当是直角三角形时，的长为 　 　． 【答案】或． 【分析】分三种情况，①点在线段上，；②点在线段的延长线上时，；③点在的延长线上时，，过点作于点，由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：分两种情况： ①如图2，点在线段的延长线上时，， 为的中点，， ， ， ， ； ②如图3，点在的延长线上时，， 过点作于点， 为的中点， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 例8（2025秋•张掖校级期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）若点运动到的中点时，的值是 　 　； （2）4秒内，若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）2； （2）； （3）或． 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间路程速度，即可求解； （2）连接，根据 ，，得出，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （3）根据题意进行分类讨论：①当 时，②当 时，即可解答． 【解答】解：（1）在中，，，， 根据勾股定理可得：， 当点运动到的中点时，， ， 故答案为：2； （2）当点到达点时，， 秒内，点在线段上，连接，如图1， ，， ， 根据勾股定理可得：，即， 解得：， ； （3）①当 时，点和点重合，； ②当时，点在线段延长线上，如图2， ，， ， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ， 解得：， 综上：或． 1．（2024秋•兰溪市期中）同一平面内有、、三点，、两点相距，点到直线的距离为，且△为直角三角形，则满足上述条件的点有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】 【分析】该题存在两种情况（1）为斜边，则； （2）为直角边，或者． 【解答】解：（1）当为斜边时，点到的距离为，即边上的高为，符合要求的点有4个，如图； （2）当为直角边时，或者，符合要求的点有4个，如图； 符合要求的点共8个． 故选：． 2．（2025•东港区校级开学）已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（　　） A．6 B．28 C．10或28 D．10或 【答案】 【分析】分为两种情况：①当斜边长是8，一条直角边为6时，②当直角边是6和8时，根据勾股定理求出第三边长即可． 【解答】解：分为两种情况： ①当斜边长是8，一条直角边为6时，另一条直角边为； ②当直角边是6和8时，斜边为； 所以第三边的长为10或， 故选：． 3．（2023秋•惠安县期末）现有两根木棒的长度分别为和．若要钉成一个直角三角形框架，那么所需要最短的木棒长是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】 【分析】分两种情况：当和为直角三角形的两条直角边时；当为直角三角形的斜边时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当和为直角三角形的两条直角边时， 所需要的木棒长； 当为直角三角形的斜边时， 所需要的木棒长； 综上所述：所需要最短的木棒长为， 故选：． 4．（2025春•大渡口区校级期中）若一个直角三角形，两边长为3和4，则第三边长为（　　） A．3 B． C．5 D．5或 【答案】 【分析】由题意4这条边可以为直角边，也可以是斜边，从而分两种情况进行讨论解答． 【解答】解：当边长为4的边为斜边时，则第三边长为； 当边长为4的边为直角边时，则第三边长为． 综上所述，第三边长为5或． 故选：． 5．（2025春•惠山区期末）如图，△，点为△外一点（点不在直线、、上），连接、．若，，，对于 ①； ②； ③； ④， 则的度数可能是（　　） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据点有4种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【解答】解：如图一，， ， ， ； 如图二，在四边形中，， ； 如图三，， ， ， ； 如图四，延长交于点， 是△的外角， ， 是△的外角， ， ； 如图五，延长， 是△的外角， ， 同理，， ， 又，，， ， ； 如图6，延长， 是△的外角， ， 同理，， ， ，，， ， ． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：． 6．（2024•南皮县二模）已知锐角三角形的边长是2，3，，那么第三边的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知的平方取值范围在2与3的平方和与平方差之间． 【解答】解：首先要能组成三角形，易得 下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角，短边对小角）则只要考虑3或者为斜边的情况． 3为斜边时，由勾股定理，，得 作出图形，固定2边，旋转3边易知当 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形； 为斜边时，由勾股定理，，得，同样作图可得 当时，该三角形是以为最大边的钝角三角形． 综上可知，当 时，原三角形为锐角三角形． 故选：． 7．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是（　　） A．4 B． C．4或 D．7 【答案】 【分析】此题要分情况考虑：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时． 【解答】解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方； 当第三边是直角边时，则有第三边的平方． 则第三边长的长为：或4． 故选：． 8．（2025秋•东阳市月考）已知两边的长分别为3和4，若要组成一个直角三角形，则斜边的中线长为 ． 【答案】2.5或2． 【分析】依据两边的长分别为3和4，需要分两种情况讨论：4是斜边以及4是直角边．利用勾股定理求出斜边，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行计算即可． 【解答】解：分两种情况： ①当直角边，直角边时， 由勾股定理得：， 是斜边上的中线， ； ②当直角边，斜边时， 是斜边上的中线， ； 综上所述，斜边的中线或2， 故答案为：2.5或2． 9．在平面直角坐标系中，已知点，点，点在坐标轴上，若是直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】或或． 【分析】根据已知易得：，从而可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；从而分别进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 点，点， ， ， ， 分三种情况： 当时，点和点重合， 点的坐标为； 当时， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为； 当时， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为； 综上所述：点的坐标是或或， 故答案为：或或． 10．（2024秋•盱眙县期中）若直角三角形的边长分别为，，则斜边上的中线长为 ． 【答案】或． 【分析】分两种情况：当为直角三角形的斜边时，当为直角三角形的直角边时，进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当为直角三角形的斜边时， 斜边上的中线长， 当为直角三角形的直角边时， 根据勾股定理得： 斜边， 斜边上的中线长， 综上所述：斜边上的中线长为：或， 故答案为：或． 11．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△（其中点与点是对应点，点与点是对应点），若点恰好落在边上，则点到直线的距离是 ． 【答案】9或． 【分析】分两种情况：①当点恰好落在边时，过点作于点，根据勾股定理得，由旋转的性质可得，，，则△为等边三角形，根据等角的余角相等得，再根据含30度角的直角三角形性质得，由勾股定理即可求出；②当点恰好落在边时，、、三点共线，此时即为点到直线的距离． 【解答】解：①当点恰好落在边时，过点作于点，如图， ，，， ， ， 由旋转的性质可得，，，， △为等边三角形， ， ， ， ， ； ②当点恰好落在边时，如图， 由旋转的性质可得，， 、、三点共线，， 由（1）知，． 综上，点到直线的距离是9或． 故答案为：9或． 12．（2026春•郁南县月考）已知直角三角形的两边，的长满足，则第三边的长为 ． 【答案】10或． 【分析】利用非负数的性质求出、的值，然后对该直角三角形的斜边进行分类讨论，利用勾股定理求得斜边的长度． 【解答】解：直角三角形的两边，的长满足， ，， ，． ①当8是直角边长度时，第三边的长度为：； ②当8是斜边长度时，第三边的长度为：． 综上所述，第三边的长度为10或． 故答案为：10或． 13．如图，在中，，，，动点从点出发在边上沿方向匀速运动，速度为，动点从点出发在边上沿方向匀速运动，速度为当点到达点时，，两点同时停止运动，则当点运动 秒时，为直角三角形． 【答案】10或16． 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再根据题意可得： ， ，从而可得，然后分两种情况：当时；当时；从而进行计算即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， ， 分两种情况： 当时，如图： ， ， ， 解得：； 当时，如图： ， ， ， 解得：； 综上所述：当点运动10或16秒时，为直角三角形， 故答案为：10或16． 14．（2024春•望花区期中）一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，当两块三角尺至少有一边互相平行时，的值是 ． 【答案】或或． 【分析】根据题意，分三种情况进行讨论：当时；当时；当（或时，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数． 【解答】解：依题意，①如图2， 当时， ； ②如图， 当时， ； ③如图， 当（或时， ， 综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行， 则其它所有可能符合条件的度数为： 或或， 故答案为：或或． 15．（2024秋•宜兴市校级月考）如图，已知米，于，射线于，点从向运动，每秒走1米，点从向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发 秒后，在射线上有一点，使△与△全等． 【答案】4或6． 【分析】分两种情况考虑：当△△时与当△△时，根据全等三角形的性质即可确定出时间． 【解答】解：设出发秒后，△与△全等． 此时，，， 当△△时，， 即， 解得：． 当△△时，， 此时所用时间为． 综上，出发4秒或6秒后，在射线上有一点，使△与△全等． 故答案为：4或6． 16．（2024秋•锦江区校级同步）在△中，，，则斜边上的高为 ． 【答案】或． 【分析】分两种情况，①，为斜边，过点作于点，由勾股定理求出斜边的长，再由三角形面积求出的长即可； ②，为斜边，过点作于点，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长即可． 【解答】解：分两种情况： ①，为斜边， 如图1，过点作于点， 在△中，由勾股定理得：， 又， ， ； ②，为斜边， 如图2，过点作于点， 在△中，由勾股定理得：， 又， ， ； 综上所述，斜边上的高为或， 故答案为：或． 17．（2024春•来凤县校级月考）直角三角形的两边长分别为3和6，则该三角形第三边长为 ． 【答案】或． 【分析】分两种情况，①当6是此直角三角形的斜边时，②当6是此直角三角形的直角边时，分别由勾股定理列式计算即可． 【解答】解：分两种情况： ①当6是此直角三角形的斜边时，该三角形第三边长为； ②当6是此直角三角形的直角边时，该三角形第三边长为； 综上所述，该三角形第三边长为或， 故答案为：或． 18．如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线经过原点，且，过，分别作的垂线段，垂足分别为，．若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒4个单位长度，运动时间为秒，当与全等时，的值为 ． 【答案】1或2或5． 【分析】判断出再分三种情况讨论，表示出，建立方程求解即可． 【解答】解：，， ，， 由题意，和是两直角三角形的斜边，当与全等时，， ①当点在上，点在上时 根据题意可得：时，，， ，， ， 解得：； ②当点，都在上时，点，重合时，两三角形重合时 点行程为，点行程为， ， 解得： ； ③当点在上，点在上且点与点重合时， ， ． 当与全等时，满足题意的的值为1或2或5． 19．（2024秋•朝阳区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】18或28． 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况： 情况一：当，时，列方程解得，可得； 情况二：当，时，列方程解得，可得． 【解答】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ，， ， 解得：， ； 情况二：当，时， ，， ， 解得：， ， 综上所述，或． 20．（2024春•蜀山区期末）如图，在△中，，，，为的中点，为边上一动点，连接，将△沿折叠得到△，与交于点，连接，若△是直角三角形，则 ． 【答案】或2． 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，，由题意知，当△是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，进而可求；当，在右侧时，，如图2，连接，作的延长线于，证明△△，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，可求得，进而可得的值． 【解答】解：，， ， ， 由勾股定理得，， ， 由折叠的性质可知，，，， 由题意知，当△是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1， ，， ，， 由勾股定理得，， 解得，， ， ， 由勾股定理得，， ； 当，在左侧时，如图2，连接，作的延长线于， ，，， △△， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ； 综上所述，的值为或2． 故答案为：或2． 21．（2024•青白江区校级开学）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，． （1）求证：是等边三角形； （2）若是直角三角形，求的度数． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）或． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的概念证明结论； （2）根据全等三角形的性质得到，用表示出，，根据直角三角形的概念列式计算即可． 【解答】（1）证明：为等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述：是直角三角形时，的度数为或． 22．（2025春•峄城区校级月考）如图，已知是边长为的等边三角形，点为的中点，动点，同时从，两点出发，分别沿，匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，设运动时为秒． （1）当为何值时，与全等； （2）当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1）；（2）或5． 【分析】（1）先表示出与的长，然后根据全等三角形的性质分情况讨论，列方程求解； （2）根据等边三角形的性质结合含的直角三角形性质列方程求解． 【解答】解：（1）由题意可得：秒时，，， 在等边中，，， 点为的中点， ， ①当时，， ， 解得：， ②当时，， ， 解得：， 此时，故此情况不成立， 综上，当时，与全等； （2）， 当时，则， ， ， 解得：， 当时，则， ， ， 解得：， 综上，当或5时，为直角三角形． 23．（2024•益阳开学）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段沿轴向上平移4个单位，得到线段． （1）写出点，的坐标； （2）若点在轴上，求出点坐标，使得； （3）线段沿轴向下平移得线段，轴上是否存在点，使得△为等腰直角三角形？若存在请直接写出点坐标，并写出求其中一个点坐标的过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）或； （3）轴上存在点，使得△为等腰直角三角形，点坐标为：，，． 【分析】（1）根据平移的性质作答即可； （2）根据平行线的性质可知，点在与平行且的直线上，分别为或，即可求点坐标； （3）使△为等腰直角三角形，分三种情况，设，①当时，；②当时，；③当时，，根据平移和三角形全等的性质进行答题即可． 【解答】解：（1），，将线段沿轴向上平移4个单位， ，； （2），， 直线的解析式为， ， 点在与平行且的直线上，分别为或， 或； （3）轴上存在点，使得△为等腰直角三角形， 分三种情况，设， ①当时，连接，过点作轴，交延长线于点，如图， ， ， ， 又，， △△， ， ， 由平移的性质得， ， ， ； ②当时，， ，， ， △△， ，， ， 解得， ； ③当时，， 过点作轴，作轴，分别交于点和点，如图， 由题意知，， ，， ， △△， ， ， ； 点坐标为：，，． 24．（2025春•海淀区校级期中）在△中，，，点是直线上一动点（与点，不重合），连接．过点作于点，交直线于点，设． （1）根据题意补全图形，若有多种情况，请在不同的备用图中分别画出． （2）直接在不同的备用图下写出的大小（用含，的式子表示）． 【答案】（1）作图见解答． （2）或或． 【分析】（1）根据点在直线上处于、两点之间，点右侧，以及点左侧时的不同位置情况分别补全图形即可． （2）先由直角三角形两锐角互余求出关于的表达式，然后在△中根据三角形内角和定理即可求出关于和的表达式． 【解答】解：（1）共有三种情况，如图所示： （2）对于图，根据题意，． 在△中，． 对于图，根据题意，． 在△中，，则． 对于图，根据题意，． 在△中，，则． 25．（2024秋•朝阳区校级期中）如图，△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）当点在线段上时， ．（用含的代数式表示） （2）若△为直角三角形，则的取值范围是 ． （3）若△为等腰三角形，直接写出的值． （4）另有一动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出为何值时，直线把△的周长分成相等的两部分． 【答案】（1）； （2）或； （3）为3或5.4或6或时，△为等腰三角形； （4）或5时，直线把△的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）求出的长，再根据点在上，可得结论； （2）当点在线段上，或时，满足条件； （3）分四种情形：如图2，当时，△为等腰三角形，如图3，当时，△为等腰三角形，如图4，若点在上，，如图5，当时，分别求解即可； （4）分两种情况讨论：当点在上，在上，则，，；当点在上，在上，则，，，分别求得的值即可． 【解答】解：（1），，， ，动点从点开始，按的路径运动，速度为每秒， 当点在线段上时，． 故答案为：； （2），动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， 在上运动时△为直角三角形， ， 当在上时，时，△为直角三角形（如图1中）， ， ， 解得：， ， ， 速度为每秒， ， 综上所述：当或，△为直角三角形； 故答案为：或； （3）如图2，当时，△为等腰三角形， 若点在上，则． 如图3，当时，△为等腰三角形， ， ． 如图4，若点在上，，作于，则根据面积法求得， 在△中，由勾股定理得，， ， ， 此时． 如图5，当时，△为等腰三角形，作于，则， 为△的中位线， ， ． 综上所述，为3或5.4或6或时，△为等腰三角形； （4）当点在上，在上，则，， 直线把△的周长分成相等的两部分， ， ． 当点在上，在上，则，， 直线把△的周长分成相等的两部分， ， ， 当或5时，直线把△的周长分成相等的两部分． 26．（2023春•叙州区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标； （3）在第四象限是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点，点坐标为或或． 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，即可求点坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，当、、三点共线时的值最小，求出直线的解析式即可求点坐标； （3）分三种情况：当时，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，即可求；②当时，，过点作轴交于点，过点作交于点，证明，即可求；③当时，，过点作轴交于点，过点作交于点，证明，即可求． 【解答】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， 又轴，轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， 点的坐标为； （2）如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称性可知， ， 当、、三点共线时的值最小， 连接交轴于点，则， 点与关于轴对称， 点的坐标为， 设直线的解析式为， ， ， ， ； （3）存在一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下： ①当时，， 如图3，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ，， ， ， ， ，， ， ，， ； ②如图4，当时，， 过点作轴交于点，过点作交于点， ，， ， ， ，， ， ，， ； ③如图5，当时，， 过点作轴交于点，过点作交于点， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ； 综上所述：点坐标为或或． 27．（2024秋•禅城区校级月考）已知是的边上的高，若，，，求长． 【答案】8或2． 【分析】利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①当在的内部时，②当在的外部时，利用勾股定理分别求得线段，的长即可得出结论． 【解答】解：①当在的内部时，如图， ， ， ． ； ②当在的外部时，如图， ， ， ． ． 综上，的长为：8或2． 28．（2025秋•金牛区校级期中）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】（1）①如图2，在中，若，，则 ． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图，即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度 ． 【答案】（1）①35；②证明见解析；（2）线段、、之间的等量关系为：，理由见解析；（3）2或． 【分析】（1）①利用折叠的性质和三角形的外角的性质解答即可； ②利用翻折的性质得到，，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定解答即可得出结论； （2）在线段上取一点，使，连接，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角的性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，过点作于点，利用勾股定理和矩形的判定与性质求得线段的长度，设，则，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论；②当时，利用折叠的性质，等腰三角形的性质和等角的余角相等的性质得到为的中点，则结论可求． 【解答】（1）①解：沿的平分线翻折， ， ，， ， 故答案为：35； ②证明：沿的平分线翻折， △， ，，． ， ． ， ， ． ， ， ； （2）解：线段、、之间的等量关系为：，理由： 在线段上取一点，使，连接，如图， ，， 为的垂直平分线， ，， ， ． ， ， ， ． ， 即； （3）解：若以、、为顶点的三角形是直角三角形，的长度为或2，理由： ①当时， 过点作于点，如图， 将沿翻折，点的对应点是点， ，， ，，， 四边形为矩形， ，， ， ， ． 设，则， ． 在中， ， ， 解得：； ②当时，如图， 将沿翻折，点的对应点是点， ，， ， ，， ， ， ， ， 综上，的长度为2或， 故答案为：2或． 29．（2024春•庐阳区校级期中）定义：如图，点，把线段分割成、、，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． （1）已知、把线段分割成，，，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由； （2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】（1）是．理由见解答过程； （2）或10． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点、是线段的勾股分割点． （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）是．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得， 综上所述，或10． 30．（2023春•即墨区月考）已知：△中，，，．点在上以的速度从向运动，动点从向以的速度运动．运动时间为，一个点到终点另外一个点也停止运动． （1）为何值时，在线段的垂直平分线上？ （2）连接，设四边形的面积为，写出与的关系式． （3）为何值时，△为直角三角形？ 【答案】（1）． （2）． （3）当的值为2或5时，△为直角三角形． 【分析】（1）当时，点在线段的垂直平分线上． （2）四边形的面积等于△的面积减去△的面积． （3）根据这个条件，当△为直角三角形时，分两种情况讨论，根据在直角三角形中，对应的直角边是斜边的一半，可求出的值． 【解答】解：（1）由题意得 ， ， ，． 当时，点在线段的垂直平分线上， ， 解得， 时，点在线段的垂直平分线上． （2）如图1，连接，分别过点，作的垂线，垂足分别为，． ，， ， ， ． 同理可求得， ， 四边形的面积． （3）①如图2，． ， ， ，即，解得． ②如图3，． ， ， ，即，解得． 综上所述，当的值为2或5时，△为直角三角形． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $