第9讲 力的合成与分解 导学案-2027届高三物理一轮复习

第9讲　力的合成与分解 一、力的合成与分解 1．合力与分力 (1)定义：如果一个力 产生的效果　跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的 合力　，原来那几个力叫作 分力　。 (2)关系：合力和分力是 等效替代　的关系。 2．共点力 作用在物体的 同一点　，或作用线的 延长线　交于一点的力。如下图所示均是共点力。 3．力的合成 (1)定义：求几个力的 合力　的过程。 (2)运算法则 ①平行四边形定则：求两个互成角度的 共点力　的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的 大小　和 方向　。如图甲所示。 ②三角形定则：把两个矢量 首尾相接　，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。 4．力的分解 (1)定义：求一个已知力的 分力　的过程。 (2)遵循原则： 平行四边形　定则或 三角形　定则。 (3)分解方法：①按力产生的 效果　分解；②正交分解。 二、矢量和标量 1．矢量 既有大小又有 方向　的量，相加时遵从 平行四边形定则　。 2．标量 只有大小 没有　方向的量，求和时按 代数法则　相加。 易错辨析 1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × ) 2．两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小。( √ ) 3．合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。( √ ) 4．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ ) 5．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ ) 6．合力与分力可以同时作用在物体上。( × ) 7．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × ) 8．如果合力是阻力，则它的每一个分力都是阻力。( × ) 9．位移是矢量，相加时可以用算术法则直接求和。( × ) 10．有方向的物理量一定是矢量。( × ) 考点1　力的合成 (基础考点·自主探究) 1．共点力合成的常用方法 (1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力的方向(如图所示)。 (2)计算法：几种特殊情况的共点力合成 类型 作图 合力的计算 ①互相垂直 F＝ tan θ＝ ②两力等大，夹角θ F＝2F1cos F与F1夹角为 ③两力等大且夹角120° 合力与分力等大F′＝F 2．两个共点力的合力 (1)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。 (2)两个共点力合力的范围 ①当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。 ②当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。 ③合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 3．三个共点力的合力的最大值与最小值 (1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。 (2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。 【跟踪训练】 (合力范围的确定)(多选)一物体静止于水平桌面上，与水平桌面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　) A．物体所受静摩擦力可能为2 N B．物体所受静摩擦力可能为4 N C．物体可能仍保持静止 D．物体一定被拉动 (用作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　) A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定 B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向 C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向 D．由题给条件无法求合力大小 (计算法求合力)如图所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分别固定于天花板上A、B两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC先断，则(　　) A．α<120° B．α＝120° C．α>120° D．不论α为何值，总是绳OC先断 考点2　力的分解 (能力考点·深度研析) 1．力的分解的两种常用方法 (1)按力的效果分解 (2)正交分解法 ①方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。 x轴上的合力： Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y轴上的合力： Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力的大小：F＝ 合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。 ②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。 2．力的分解中的唯一性和多解性 条件 解的组数 分解一个力，若分力没有附加条件 无数组解 已知合力和两个分力的方向 唯一解 已知合力和一个分力 唯一解 已知合力和两分力的大小，并且F1－F2<F<F1＋F2(在同一平面内) 两组解 已知合力F和F1的大小及F2的方向，F2与合力F的夹角为θ F1<Fsin θ 无解 F1＝Fsin θ 唯一解 Fsin θ<F1<F 两组解 F1≥F 唯一解 ►考向1　力的效果分解法 如图所示，一光滑小球与一过球心的轻杆连接，置于一斜面上静止，轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接，已知小球所受重力为G，斜面与水平地面间的夹角为60°，轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°，则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　) A．G和G B．G和G C．G和G D．G和2G 反思提升　　　　 按照力的实际作用效果分解的步骤 — 　⇩ — 　⇩ — ►考向2　力的正交分解法 如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37° B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53° C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx ►考向3　力分解中的唯一性和多解性 已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　) ①　②　③　④F A．①② B．②④ “动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题 ►考向1　“动杆”和“定杆”模型 模型 “动杆”模型 “定杆”模型 模型结构 结构特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 弹力特点 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 (多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　) A．图甲轻杆中弹力大小为mg B．图乙轻杆中弹力大小为mg C．图甲轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中∠B′O′A′不可能等于30° 【跟踪训练】 如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时(　　) A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向 B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力 C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大 D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大 ►考向2　“活结”和“死结”模型 模型 “活结”模型 “死结”模型 模型结构 结构特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 弹力特点 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 反思提升　　　　 绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧 (1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。 (2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。 【跟踪训练】 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)。则在此过程中绳中拉力(　　) A．先变大后不变　　　　 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大 2．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是(　　) A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N 3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速，阻拦索装置可视为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，不考虑飞机所受升力，下列说法正确的是(　　) A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的拉力和航母甲板的摩擦力三个力作用 B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的作用力在变大 C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大 题组二　力的分解 4．如图所示是位于运载火箭顶部的逃逸塔，塔身外侧对称分布四个喷口朝向斜下方的逃逸主发动机。每个主发动机产生的推力大小为F，其方向与逃逸塔身夹角为θ。四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为(　　) A．4F B．4Fsin θ C．4Fcos θ D．Fsin θ 5．有一种瓜子破壳器，其简化截面如图所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B距离不变，则(　　) A．圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零 B．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越小 C．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越大 D．圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关 6．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　) A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力 B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力 C．F1的水平分力大于F2的水平分力 D．F1的水平分力等于F2的水平分力 题组三　“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”模型 7. (多选)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．细线对M点的拉力大小为mg B．轨道对轻环的支持力大小为mg C．细线对轻环的作用力大小为mg D．图示位置时MA＝R 8．如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　) A．Fa＝Fb B．Fa>Fb C．Fa<Fb D．大小不确定 能力提升练 9．如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为(　　) A．Ff B．Ff C．Ff D．Ff 10．磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　) A．F B．F C．F D．F 11．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　) A．tan B． C． D． 12．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则： (1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？ (2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲　力的合成与分解 一、力的合成与分解 1．合力与分力 (1)定义：如果一个力 产生的效果　跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的 合力　，原来那几个力叫作 分力　。 (2)关系：合力和分力是 等效替代　的关系。 2．共点力 作用在物体的 同一点　，或作用线的 延长线　交于一点的力。如下图所示均是共点力。 3．力的合成 (1)定义：求几个力的 合力　的过程。 (2)运算法则 ①平行四边形定则：求两个互成角度的 共点力　的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边做平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的 大小　和 方向　。如图甲所示。 ②三角形定则：把两个矢量 首尾相接　，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。 4．力的分解 (1)定义：求一个已知力的 分力　的过程。 (2)遵循原则： 平行四边形　定则或 三角形　定则。 (3)分解方法：①按力产生的 效果　分解；②正交分解。 二、矢量和标量 1．矢量 既有大小又有 方向　的量，相加时遵从 平行四边形定则　。 2．标量 只有大小 没有　方向的量，求和时按 代数法则　相加。 易错辨析 1．两个力的合力一定大于任何一个分力。( × ) 2．两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小。( √ ) 3．合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。( √ ) 4．不考虑力的实际效果时，一个力可以对应无数对分力。( √ ) 5．将一个力F分解为两个力F1、F2，F是物体实际受到的力。( √ ) 6．合力与分力可以同时作用在物体上。( × ) 7．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力。( × ) 8．如果合力是阻力，则它的每一个分力都是阻力。( × ) 9．位移是矢量，相加时可以用算术法则直接求和。( × ) 10．有方向的物理量一定是矢量。( × ) 考点1　力的合成 (基础考点·自主探究) 1．共点力合成的常用方法 (1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力的方向(如图所示)。 (2)计算法：几种特殊情况的共点力合成 类型 作图 合力的计算 ①互相垂直 F＝ tan θ＝ ②两力等大，夹角θ F＝2F1cos F与F1夹角为 ③两力等大且夹角120° 合力与分力等大F′＝F 2．两个共点力的合力 (1)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。 (2)两个共点力合力的范围 ①当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。 ②当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。 ③合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。 3．三个共点力的合力的最大值与最小值 (1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。 (2)最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)。 【跟踪训练】 (合力范围的确定)(多选)一物体静止于水平桌面上，与水平桌面之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是(　　) A．物体所受静摩擦力可能为2 N B．物体所受静摩擦力可能为4 N C．物体可能仍保持静止 D．物体一定被拉动 [答案]　ABC [解析]　两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。 (用作图法求合力)一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是(　　) A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定 B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向 C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向 D．由题给条件无法求合力大小 [答案]　B [解析]　先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，合力大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B。 (计算法求合力)如图所示为某同学设计的简易晾衣装置，一轻绳两端分别固定于天花板上A、B两点，通过光滑轻质动滑轮和另一根轻绳将衣物竖直悬挂在空中，两根轻绳所能承受的最大拉力相同，若晾晒的衣物足够重时绳OC先断，则(　　) A．α<120° B．α＝120° C．α>120° D．不论α为何值，总是绳OC先断 [答案]　A [解析]　根据对称性可知，OB绳与OA绳拉力大小相等，由平衡条件得FOC＝2FOBcos ，当衣物足够重时OC绳先断，说明FOC>FOB，则2FOBcos >FOB，解得α<120°，故A正确。 考点2　力的分解 (能力考点·深度研析) 1．力的分解的两种常用方法 (1)按力的效果分解 (2)正交分解法 ①方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。 x轴上的合力： Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y轴上的合力： Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋… 合力的大小：F＝ 合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。 ②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。 2．力的分解中的唯一性和多解性 条件 解的组数 分解一个力，若分力没有附加条件 无数组解 已知合力和两个分力的方向 唯一解 已知合力和一个分力 唯一解 已知合力和两分力的大小，并且F1－F2<F<F1＋F2(在同一平面内) 两组解 已知合力F和F1的大小及F2的方向，F2与合力F的夹角为θ F1<Fsin θ 无解 F1＝Fsin θ 唯一解 Fsin θ<F1<F 两组解 F1≥F 唯一解 ►考向1　力的效果分解法 如图所示，一光滑小球与一过球心的轻杆连接，置于一斜面上静止，轻杆通过光滑铰链与竖直墙壁连接，已知小球所受重力为G，斜面与水平地面间的夹角为60°，轻杆与竖直墙壁间的夹角也为60°，则轻杆和斜面受到球的作用力大小分别为(　　) A．G和G B．G和G C．G和G D．G和2G [答案]　A [解析]　按照实际作用效果分解。对小球进行受力分析，杆对小球的弹力F方向沿杆斜向上与水平方向成30°角，斜面对球的弹力FN方向垂直于斜面斜向上与水平方向成30°角，重力方向竖直向下。将重力按实际作用效果分解，如图所示 由几何关系可知两个分力夹角为120°，则根据几何知识，使小球压轻杆和压斜面的力G1＝G2＝G，斜面和轻杆受到小球的作用力大小都等于G，选项A正确。 反思提升　　　　 按照力的实际作用效果分解的步骤 — 　⇩ — 　⇩ — ►考向2　力的正交分解法 如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　　) A．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为37° B．口罩带对耳朵的作用力方向与水平方向夹角为53° C．耳朵受到的口罩带的作用力为2kx D．耳朵受到的口罩带的作用力为kx [答案]　D [解析]　弹性轻绳被拉长了x，同一根轻绳拉力大小相等，即FAB＝FDE＝kx，将FAB、FDE分别正交分解，如图，则Fx＝FABcos 37°＋FDEcos 53°＝kx，Fy＝FABsin 37°＋FDEsin 53°＝kx，则耳朵受到的口罩带的作用力F＝＝kx，设作用力方向与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝1，即作用力方向与水平方向夹角为45°，故D正确。 ►考向3　力分解中的唯一性和多解性 已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　) ①　②　③　④F A．①② B．②④ C．①③ D．①④ [答案]　C [解析]　如图所示，因为F2＝F>Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由余弦定理可得F＝F2＋F－2FF1cos 30°，化简可得F－FF1＋F2＝0，解得F11＝F，F12＝F。故选C。 “动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”问题 ►考向1　“动杆”和“定杆”模型 模型 “动杆”模型 “定杆”模型 模型结构 结构特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 轻杆被固定在接触面上，不能发生转动 弹力特点 当杆处于平衡状态时，杆所受的弹力方向一定沿杆 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 (多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是(　　) A．图甲轻杆中弹力大小为mg B．图乙轻杆中弹力大小为mg C．图甲轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向 D．图乙中∠B′O′A′不可能等于30° [答案]　AC [解析]　由于题图甲中轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，题图甲轻杆中弹力为F甲＝2mgcos 45°＝mg，故A正确；题图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力大小相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，∠B′O′A′可能等于30°，故B、D错误；根据共点力平衡条件，题图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细线的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。 【跟踪训练】 如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时(　　) A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向 B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力 C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大 D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大 [答案]　C [解析]　滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°<θ<180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向右移动时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误。 ►考向2　“活结”和“死结”模型 模型 “活结”模型 “死结”模型 模型结构 结构特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 弹力特点 “活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等 “死结”两侧的绳子上张力不一定相等 [答案]　B [解析]　设甲、乙两物体的质量均为m，对O点进行受力分析，右侧细绳上的拉力大小为mg，左侧细绳上的拉力大小为F，O点下方的细线上的拉力大小为mg，O点所受合力为零，由图并结合几何知识可得β＝＝55°，故B正确。 反思提升　　　　 绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧 (1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。 (2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即“动杆”，“活结”搭配无转轴的杆即“定杆”。 【跟踪训练】 如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近(C点与A点等高)。则在此过程中绳中拉力(　　) A．先变大后不变　　　　 B．先变大后变小 C．先变小后不变 D．先变小后变大 [答案]　A [解析]　对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向与竖直方向夹角相等，设为θ，可知 F1＝F2＝① 如图乙所示，设绳长为L，由几何关系得 sin θ＝② 其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确。 提能训练　练案[9] 基础巩固练 题组一　力的合成 1. (2023·重庆卷)矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图所示)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　) A．2Fsin B．2Fcos C．Fsin α D．Fcos α [答案]　B [解析]　根据平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2Fcos ，故B正确。 2．如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ(0≤θ≤2π)角之间的关系图像，下列说法中正确的是(　　) A．合力大小的变化范围是0≤F≤14 N B．合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N C．这两个分力的大小分别为6 N和8 N D．这两个分力的大小分别为2 N和8 N [答案]　C [解析]　由题图可知，当两力夹角为180°时，两力的合力大小为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力大小为10 N。则这两个力的大小分别为6 N、8 N，故C正确，D错误；当两个力方向相同时，合力大小最大，等于两个力之和；当两个力方向相反对，合力大小最小，等于两个力之差，由此可知，合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N，故A、B错误。 3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板平行。舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速，阻拦索装置可视为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，不考虑飞机所受升力，下列说法正确的是(　　) A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的拉力和航母甲板的摩擦力三个力作用 B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对舰载机的作用力在变大 C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的拉力大小为F D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大 [答案]　BC [解析]　舰载机受重力、阻拦索的拉力、航母甲板施加的摩擦力与支持力四个力作用，故A错误；阻拦索的长度变长，张力变大，阻拦索对舰载机作用的是阻拦索上张力的合力，夹角变小，合力变大，故B正确；如图，阻拦索的张力夹角为120°时，F合＝F，故C正确；由滑动摩擦力F滑＝μFN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，故D错误。 题组二　力的分解 4．如图所示是位于运载火箭顶部的逃逸塔，塔身外侧对称分布四个喷口朝向斜下方的逃逸主发动机。每个主发动机产生的推力大小为F，其方向与逃逸塔身夹角为θ。四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为(　　) A．4F B．4Fsin θ C．4Fcos θ D．Fsin θ [答案]　C [解析]　发动机产生的推力分解如图所示： 四个主发动机同时工作时，逃逸塔获得的推力大小为F推＝4Fcos θ，故选C。 5．有一种瓜子破壳器，其简化截面如图所示，将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间，按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形，将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间，并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止，若此时瓜子壳未破开，忽略瓜子重力，不考虑瓜子的形状改变，不计摩擦，若保持A、B距离不变，则(　　) A．圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零 B．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越小 C．顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力越大 D．圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关 [答案]　B [解析]　圆柱体A、B对瓜子压力的合力不为零，合力的方向竖直向上，A错误；根据平行四边形定则和三角函数得sin ＝，解得FA＝，合力F恒定，顶角θ越大，圆柱体A对瓜子的压力FA越小，B正确，C、D错误。 6．(2022·辽宁卷)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则(　　) A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力 B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力 C．F1的水平分力大于F2的水平分力 D．F1的水平分力等于F2的水平分力 [答案]　D [解析]　对结点O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y＝，F2y＝，因为α>β，故F1y<F2y，选项A、B错误。 题组三　“动杆”和“定杆”与“活结”和“死结”模型 7. (多选)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．细线对M点的拉力大小为mg B．轨道对轻环的支持力大小为mg C．细线对轻环的作用力大小为mg D．图示位置时MA＝R [答案]　BD [解析]　轻环两边细线的拉力大小相等，均为T＝mg，则细线对M点的拉力大小为mg，故A错误；轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos θ＝mg，故B正确；细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为FN′＝FN＝mg，此时MA＝2Rcos θ＝R，故C错误，D正确。 8．如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力大小分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　) A．Fa＝Fb B．Fa>Fb C．Fa<Fb D．大小不确定 [答案]　A [解析]　对题图中的A点受力分析，设轻杆OA的弹力大小分别为Fa′，Fb′，则由图甲可得Fa＝Fa′＝2mgcos 30°＝mg，由图乙可得tan 30°＝，则Fb＝Fb′＝mg，故Fa＝Fb，A正确。 能力提升练 9．如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎做匀速直线运动进行负荷训练，运动过程中保持双肩及两绳的端点A、B等高，两绳间的夹角为θ＝60°，所构成的平面与水平面间的夹角恒为α＝53°，轮胎重为G，地面对轮胎的摩擦阻力大小恒为Ff，则每根绳的拉力大小为(　　) A．Ff B．Ff C．Ff D．Ff [答案]　C [解析]　设每根绳的拉力为F，则这两根绳拉力的合力F合＝2Fcos ，方向沿绳子所组成角的平分线，与水平面的夹角为α，受力分析如图所示，对轮胎有F合cos α＝Ff，解得F＝＝Ff，故A、B、D错误，C项正确。故选C。 10．磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示，在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出)，工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部，同时，小铁珠陷于钉柱上的凹槽里，锁死防盗扣。当用强磁场吸引防盗扣的顶部时，铁环和小铁珠向上移动，防盗扣松开，已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°，弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F，小铁珠锁死防盗扣，每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为(不计摩擦以及小铁珠的重力)(　　) A．F B．F C．F D．F [答案]　C [解析]　以一个小铁珠为研究对象，将力F按照作用效果进行分解如图所示。由几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力大小为FN＝＝F，故C正确。 11．弹跳能力是职业篮球运动员重要的身体素质指标之一，许多著名的篮球运动员因为具有惊人的弹跳能力而被球迷称为“弹簧人”。弹跳过程是身体肌肉、骨骼关节等部位一系列相关动作的过程，屈膝是其中的一个关键动作。如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为(　　) A．tan B． C． D． [答案]　A [解析]　受力如图所示，设大腿骨和小腿骨对膝关节的作用力大小为F1，已知它们之间的夹角为θ，F即为它们的合力的大小，作出平行四边形如图所示，有F1cos ＝，则脚掌对地面竖直向下的压力为FN＝F1sin ，由牛顿第三定律可知脚掌所受地面竖直向上的弹力为FN′＝·tan。故选A。 12．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则： (1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？ (2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) [答案]　(1)0.5G　(2)0.4G [解析]　(1)分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力，由题给条件知F＝2Ff 由圆柱体重力产生的效果将重力进行分解，如图所示： 由几何关系可得G＝F1＝F2， 由Ff＝μF1得F＝0.5G。 (2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcos 37°＝0.8G， 此时工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G。 学科网（北京）股份有限公司 $