专项09 三角形全等的证明与计算（多模型）6大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项09 三角形全等的证明与计算（多模型） 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年考情，三角形全等的证明与计算是中考数学解答题的必考基础主干内容，分值约 8–14 分（常为第 16–19 题，有时与四边形、相似、圆结合考查，分值可上浮至 16 分）。 ### 命题趋势 - 解答题：稳定考查三角形全等的判定与性质应用，核心为： 1. 全等判定：根据已知条件，选择 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）证明两个三角形全等，并由此推出对应边相等、对应角相等； 2. 全等计算：在证明全等的基础上，运用对应边相等列方程（或勾股定理、等面积法）求线段长度或角度大小； 3. 多模型融合：题目中往往包含多个全等模型（平移型、对称型（轴对称）、旋转型、K 型（一线三等角）、双垂直型等），需要学生准确识别并灵活运用； 4. 与几何图形结合：全等常在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等背景中考查，作为解决更复杂几何问题的中间步骤（例如先证全等得边等，再证平行四边形或相似）； 5. 动态几何中的全等：动点运动过程中，某时刻两个三角形全等，需要分类讨论列方程求时间或速度。 - 命题特点：“模型识别是前提，逻辑书写是关键”。题目通常条件清晰，图形结构典型，考查学生的模型敏感度和几何推理的规范性。近年趋势： - 减少简单送分题：单纯“证全等”较少单独作为大题，往往与计算、位置关系判断结合； - 增加图形复杂度：由两个三角形增多到三个及以上，需要先证一对全等，再利用结论证第二对； - K 型全等（一线三等角） 考查频率上升，尤其与坐标几何、函数结合时出现； - 跨板块融合力度加大：全等 + 四边形、全等 + 相似、全等 + 圆（弦、切线相关）成为中档题或压轴题的常见结构。 ### 2026 年预测 - 解答题极大概率仍会出现三角形全等的证明与计算，形式稳定； - 旋转型全等（特别是“手拉手模型”：两个等边三角形、等腰直角三角形共顶点旋转）仍然是热门考查方向，常在动态几何或综合探究题中出现； - K 型全等（一线三等角模型） 可能进一步增加，尤其在坐标系背景下，通过“K 型”构造全等求点坐标或函数解析式； - 截长补短法构造全等作为辅助线的考查也会持续（如证明线段和差关系AB + CD = EF时，常截长或补短构造全等）； - 全等与相似混合的题目数量可能增加，要求先用全等得到比例线段或等角，再过渡到相似； - 难度趋势上，图形更复杂，模型嵌套更深，但对常见全等模型的准确识别和快速证明仍是可以突破的重点。 题型01 三角形全等之一线三等角模型 析典例·建模型 1．（25-26八年级下·云南玉溪·开学考试）如图①，在中，，过点在外作直线，于点，于点． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）利用“”，可得，从而，，根据，等量代换即可说明； （2）利用“”，可得，从而，，再根据，等量代换即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ， ， 在和中， ， （） ，， ， ． 【点睛】注意识别题中的“一线三等角”模型和类比的数学思想． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：一条直线上有三个相等的角（通常为锐角、直角或钝角），顶点均在该直线上。常见于“K型图”（直角）或等边三角形、等腰直角三角形背景中。 2. 利用外角证全等：由外角性质，∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4，结合已知等角，推出另一组角相等。再找一组边等（如已知等腰三角形的腰或正方形的边），即可用AAS或ASA证全等。 3. 求点坐标或长度：在坐标系或几何综合题中，通过全等得到对应边相等，将线段长转化为点的坐标差，建立方程求解未知数。注意直角时可结合勾股定理。 破类题·提能力 1．（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 2．（22-23七年级上·吉林长春·期中）通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 题型02 三角形全等之手拉手（旋转）模型 析典例·建模型 1．（2026·内蒙古包头·一模）从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究．如图，菱形与菱形（），，点分别在边上． (1)如图1，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，当点、点和点共线时， ①与全等吗？为什么？ ②请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，延长交于点，连接．请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①全等，原因见详解；②，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）①由菱形性质得到相关边、角相等关系，再由三角形全等的判定定理说明即可；②过点作，在中得到，再由全等得出，数形结合即可表示出之间的数量关系； （2）在上取点，使，连接，构造出，得到相应边与角的相等关系，进而求出，同（1）②中求证线段之间关系的方法即可得出之间的数量关系． 【详解】（1）解：①全等，原因如下： 在菱形中，，；在菱形中，，； ， 则， 在和中， ， ； ②，理由如下： 过点作，如图所示： 在菱形中，，，则，， 在中，，，则， ， 由①知，则， ； （2）解：，理由如下： 在上取点，使，连接，如图所示： 由（1）①知，则， 在和中， ， ， ，， 由（1）①知，则， ， ， 过点作，如图所示： 在中，，，则，， 在中，，，则， ， 研考点·通技法 1. 识别共顶点等线段：两个等腰三角形（或等边三角形、正方形）共顶点，顶角相等。如两个等边三角形共享一个顶点，连接对应端点形成全等三角形。 2. 旋转证全等：将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度（通常为顶角度数）后与另一三角形重合。利用“边角边”（SAS）证明“左手”与“右手”连线的两个三角形全等。 3. 结论运用：全等推出对应边相等、对应角相等。进一步可得两连线夹角等于顶角，且连线所在直线相交所成锐角等于顶角。常用此模型求角度或线段长。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题展开数学实践活动． (1)如图1，已知等腰绕点逆时针旋转得，连接，．若，，则 是________三角形，请说明理由； 求线段的长度； (2)如图2，在中，，，，将绕点逆时针旋转α（）得，边所在直线分别交，于，．若是等腰三角形，则________； (3)如图3，在中，，，，点为的中点，将绕点逆时针旋转（）得，点为上的动点，连接．则的取值范围是________． 【答案】(1) 等边 线段的长度为； (2)或 (3) 【分析】（1）由旋转可得，，根据等边三角形的判定，即可求解；由勾股定理，可得，由旋转可得，，延长交于点，由等边三角形的性质，可得，证明，可得，由三线合一，可得，，根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得，根据勾股定理，可得，即可得线段的长度； （2）根据勾股定理，可得，由旋转可得，，，，，可得，设，则，按照，​，进行分类讨论，即可求解； （3）根据题意可得，可得，根据三角形的面积，结合题意可得的最小值和最大值，当，且点在线段上时，、取得最小值，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值，根据线段之间的和差进行计算，可得的最小值和最大值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：​是等边三角形，理由： 由旋转可得，， ∴​是等边三角形． 在等腰中，​，， ∴， 由旋转可得，， 延长交于点， ∵​是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， 设，则， 为等腰三角形分三种情况： 若，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 解得， ∴， 若​，则， ∴， ∴， 连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 若，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴点和点重合，不符合题意， 综上，或． （3）解：∵，点为的中点， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由旋转可得，，，， ∴，， ∴， ∵点为上的动点， ∴的最小值为，的最大值为， 如图，当，且点在线段上时，、取得最小值， 此时，，， ∴的最小值为， 如图，当点与点重合，且点在的延长线上时，、取得最大值， 此时，，， ∴的最大值为， ∴． 题型03 三角形全等之倍长中线模型 析典例·建模型 1．（2026·河南周口·二模）下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围． 解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线，， 在和中， …… （①________），， 在中，，…… ∴的取值范围是②________． 任务： (1)在上述过程中，①处判定的依据是________（用字母表示），②处应填________； (2)如图3，在中，，M为的中点，D、E分别为、上的点，连接、、，，若，，求的长； (3)如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，然后将等腰直角绕点C逆时针转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上，旋转角小于），连接，M为的中点，连接，．若，，直接写出图5中和的面积差． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）延长至点，使得，由，可得，导角得，由，可得，作，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：如图2，延长至点D，使得，连接， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，， 即：， ， ， ， 故答案为：，， （2）解：延长至点，使得，连接， ∵M为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， 垂直平分， ； （3）解：∵等腰直角和等腰直角，     ， 如图，延长至点，使得，连接， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 分别过作为垂足， ， ， ∴设， ∵， ， 解得， ． 研考点·通技法 1. 构造中心对称全等：遇三角形中线（或中点），延长中线至一倍，使延长段等于中线，连接顶点与延长端点，构造“8”字形全等（SAS），实现边、角的转移。 2. 转化分散条件：倍长中线后，将原三角形中不在同一三角形中的两边（如AB、AC）和已知角集中到新三角形中，利用三角形三边关系（如两边之和大于第三边）求中线范围或证不等关系。 3. 注意中点用法：若题目有多个中点，可考虑中位线（倍长中线多用于一条中线）。倍长后要标对应角，常用结论：中线倍长得平行四边形（或可证平行）。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃庆阳·一模）如图1，在正方形的边上任取一点E，作交于点F，取的中点G，连接，， (1)写出线段和的数量关系和位置关系，并说明理由． (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想． (3)如图3，将绕点B逆时针旋转，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)， (3)，，理由见解析 【分析】（1）延长和交于点，连接、，根据正方形的性质得到，进而证明是等腰直角三角形，通过证明，得到，，进而证明，得到，，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （2）延长和交于点，同理（1）的方法证明，得到，推出是等腰直角三角形，再利用三线合一性质以及斜边中线定理即可得出结论； （3）延长交于点，连接、，同理（1）的方法证明以及，进而推出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 如图1，延长和交于点，连接、， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （2）解：如图2，延长和交于点， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，； （3）解：，，理由如下： 如图3，延长交于点，连接、， 由（1）得，是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， 由旋转的性质得，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 即，． 2．（2026·江苏扬州·一模）综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接，M是射线上的一点，连接，过点A作的垂线交于点G，若G是的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)或2 【分析】（1）由旋转证明 是等边三角形，再证明，进而得到，证明，则四边形是平行四边形．证明 ，则问题可证； （2）延长至点 ，使 ，连接，证明，从而证明，C、B、F共线，再证明，得到，再由角度的互余关系证明，则问题可证； （3）延长交延长线于点F，证明，得到，再有，和证明，再证明，由，故得到，最后分别利用G是BE的三等分点，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 点 落在 边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E 是 中点，， 在 和 中： ，， （SAS）， ，， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2），且 ， 理由：延长至点 ，使 ， 连接， 是的中点， ， 在 和 中： ， ， ， （SAS）， ，， ， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在 和 中： ， ， ， ， ，， ， ，即 ， ， ． （3）解：延长交延长线于点F， 是绕点 逆时针旋转 得到， ，， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ， ， ∵ ， ， ∵G是的三等分点 ∴当 时，， 当 时，， 或 ． 【点睛】本题需要运用"倍长中线法"构造全等三角形和相似三角形， 通过证明全等三角形，转化边的数量关系是解题的关键． 题型04 三角形全等之截长补短模型 析典例·建模型 1．（25-26八年级上·江西新余·期末）【经典再现】 （1）如图1，为等边外一点，，，，连接．则： ①线段和线段的位置关系是______（直接写出结果）． ②______． 【深入探究】 （2）如图2，为等边外一点，，，点M和点N分别为等边的边AB和AC上任意一点，，试探究线段，和的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】 （3）①把（2）中的条件“点和点为等边的边和上任意一点”改为“点和点为直线和直线上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段，和的数量关系． ②当（2）中的点和点在等边的边和上运动时，记的周长为P，记的周长为，则的值是否改变？若不变，请求出的值：若改变，请说明理由． 【答案】（1）①垂直平分（或）；②，（2），（3）①当点在上时，，当点M在延长线上时，，当点在延长线上时，，②． 【分析】（1）根据、，由线段垂直平分线的判定定理即可得出垂直平分，根据等边三角形的性质求出，再根据，，求出，进而可得，由含直角三角形性质可得； （2）延长到使，连接，可得，进而可得，由此得出， （3）①分三种情况同理（2）可以证明结论． ②由（2）可得，由此即可得出． 本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质、半角模型的应用，解题关键是利用截长补短法构造全等三角形． 【详解】（1）结论：， ∵等边 ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，等边中， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， （2）证明：延长到使，连接，如图2， ∴， ∵等边中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， （3）①结论：当点在上时，，当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时，， 证明：当点在上时，由（2）得， 当点M在延长线上时，在取使，则：，连接，如图3， 同理可证 ， ∴ 当点在延长线上时，在取使，则：，连接，如图4， 同理可得：， ∴ 综上所述：当点在上时，，当点在延长线上时，，当点M在延长线上时，． ②， 解：记的周长为P， 由（2）得：， ∴， 记的周长为Q，， ∴ 研考点·通技法 1. 识别需证明的和差关系：当结论为a+b=c（如AB+CD=EF）时，用截长或补短法。截长：在长线段EF上截取EG=AB，证剩余GF=CD；补短：延长短线段AB至H，使BH=CD，证AH=EF。 2. 构造全等三角形：截长或补短后，通过已知条件（如角平分线、中线、等腰等）证明新构造的三角形与目标三角形全等（常用 SAS、ASA）。 3. 注意多解验证：若图形不对称，两种方法均可尝试，但其中一种可能更简便。证得全等后严格对应边角，检查是否需二次全等。常用于角平分线背景下的线段和差问题。 破类题·提能力 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题． (1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程： 方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题． (2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________． (3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论； （2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到； （3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案． 【详解】（1）若选择方法一． 证明：如图①，在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 若选择方法二． 证明：如图②，延长到点F，使得，连接， ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：在上取点G，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴点D到的距离等于点D到的距离， ∴， ∵， ∴， 同理， 设，则 ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）在等腰中，，点D是上一动点（不含端点），点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，求证：． (3)若，，点G为上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．将在同一平面内沿直线翻折，使得点A落在点处，连接．若，，当的值最小时，过点C作，垂线交于点K．请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质： （1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）取的一点使，连接，由已知求出，进而可求，由此证明，进而可得，即可利用等角对等边可以证明，从而得出结论； （3）当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，，可求得，得到，进而求得． 【详解】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2，取的一点使，连接， ∵，， ∴．， 又∵， ∴，， 由（1）可知：，，， ∴，， 在和中， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解： 如图所示，当的值最小时，点在上，过点作的垂线，交于点. 根据题意可知，， ，． 根据图形翻折的性质可知． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 题型05 三角形全等之十字架模型 析典例·建模型 1．（2026·安徽亳州·一模）按要求完成下列各题： (1)如图1，点E是正方形的边上一点，连接，过点D作于点G，交边于点F， ①求证：； ②如图2，连接EF，以为邻边构造平行四边形，连接．求的值； (2)如图3，矩形中，，点F是边的中点，连接，过点A作于点G，交边于点E，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①结合正方形的性质证明，即可解答；②作交的延长线于M，结合平行四边形的性质可得，由（1）得，再证明，可得到是等腰直角三角形，即可解答； （2）证明，可得，，作交的延长线于N，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ∴， ； ②如图2，作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 由（1）得， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 如图3，作交的延长线于N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 识别模型特征：正方形或矩形中，两条互相垂直的线段（或一条过顶点，一条过对边）形成“十字”结构。常见于正方形内垂直弦、矩形内垂直折线。 2. 利用互余证等角：由垂直得90°，结合矩形内角90°，通过同角（或等角）的余角相等，证明两组锐角相等。再找一组对应边等（如正方形边长相等），即可用ASA或AAS证全等。 3. 转化线段关系：通过全等得出两垂直边相等（正方形中）或对应线段成比例（矩形中）。建立方程可求线段长，常用于折叠问题或坐标系中求点坐标。注意矩形相似非全等。 破类题·提能力 1．（2025·内蒙古·一模）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形和菱形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形和菱形的性质找出证明全等三角形所需的条件．在（3）中，构造全等三角形是解题的关键步骤，通过合理的辅助线找到与已知条件相关的全等关系． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． （3）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出的长． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．（2024·安徽阜阳·一模）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）＝；（3） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型06 三角形全等之半角模型 析典例·建模型 1．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 研考点·通技法 1. 识别半角特征：大角（如90°或120°）内含有一个小角（45°或60°），且小角顶点与大角顶点重合。常见于正方形（90°内含45°）或等腰三角形中。 2. 旋转构造全等：将三角形旋转小角度（如45°），使两个分散的三角形合并，旋转后对应边相等（旋转全等）。常用“截长补短”思想：延长一条边截取等于另一段，再证新三角形全等。 3. 结论与计算：旋转后得到全等，推出边等、角等。经典结论：半角所对边的平方等于两邻边平方之和（类似勾股定理）。利用该模型可直接求线段长或证明线段和差关系。 破类题·提能力 1．（25-26九年级上·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 2．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 3．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，是的中点，是边上的一点，连接，交于点．若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，是的中点，是的角平分线，交于点，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【答案】[性质探究]①3；②；[拓展应用]①，理由见解析；② 【分析】[性质探究]①根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可； ②根据题干求解思路和三角形的三边关系求解即可； [拓展应用]①如图2，延长到点H，使，连接，证明得到，，则，利用平行线的性质和等边对等角推导出，则，进而可得结论； ②作交于P，过E作于T，证明得到，，，则；根据三角形的中线性质，结合图形中推导出，根据垂线段最短和三角形的面积公式得到，进而可求解． 【详解】解：[拓展应用] ①∵在中，是的中点，的面积为6， ∴的面积为， 故答案为：3； ②如图1，延长到点，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴； [拓展应用] ①．理由如下： 如图2，延长到点H，使，连接， ∵是的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图3，作交于P，过E作于T， ∵是的角平分线， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴； ∵是的中点， ∴, 设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故的最大值为． 【点睛】本题考查三角形的中线性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形的中线性质是解答的关键． 4．（24-25八年级下·河北唐山·月考）【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F． 【探索发现】 (1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______； 【操作探究】 (2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论； （3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长． 【详解】（1）解：正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，在上截取，连接， 正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：如图，过点作且，连接， ，， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 5．（2026·山西·一模）综合与探究 问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 观察发现： (1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 独立思考： (2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： (3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形，见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，证得四边形为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为，即可求证． （2）连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，再根据三角形的中位线，即可求解． （3）根据题意，可分为点F在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下， ，，点是的中点， ，， 根据旋转可知， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为正方形． （2）解：关系为，理由如下， 如图，连接， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， 点F为的中点， 是的中位线， ， ． （3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点F在左侧时，如图，连接，作， 根据旋转可知， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项09三角形全等的证明与计算（多模型) ee。e●ee●。●。。。。●。●。●。。。●e●0e●●00●00●。●●●e●●●。●●●●●●●●e●●●e。●。e●●●e●●●。●●9。。。●●●。●。●●●。●●●●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 根据近五年考情，三角形全等的证明与计算是中考数学解答题的必考基础主干内容，分值约8-14分 (常为第16-19题，有时与四边形、相似、圆结合考查，分值可上浮至16分)。 ##命题趋势 ·解答题：稳定考查三角形全等的判定与性质应用，核心为： 1.全等判定：根据已知条件，选择SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)证明两个三角形全等， 并由此推出对应边相等、对应角相等： 2.全等计算：在证明全等的基础上，运用对应边相等列方程（或勾股定理、等面积法）求线段长度或 角度大小； 3.多模型融合：题目中往往包含多个全等模型（平移型、对称型（轴对称）、旋转型、K型（一线 三等角)、双垂直型等)，需要学生准确识别并灵活运用； 4.与几何图形结合：全等常在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等背景中考查，作为解决更复杂 几何问题的中间步骤（例如先证全等得边等，再证平行四边形或相似）； 5.动态几何中的全等：动点运动过程中，某时刻两个三角形全等，需要分类讨论列方程求时间或速度。 ·命题特点：“模型识别是前提，逻辑书写是关键”。题目通常条件清晰，图形结构典型，考查学生的 模型敏感度和几何推理的规范性。近年趋势： -减少简单送分题：单纯“证全等”较少单独作为大题，往往与计算、位置关系判断结合： ·增加图形复杂度：由两个三角形增多到三个及以上，需要先证一对全等，再利用结论证第二对： -K型全等（一线三等角）考查频率上升，尤其与坐标几何、函数结合时出现； ·跨板块融合力度加大：全等+四边形、全等+相似、全等+圆（弦、切线相关）成为中档题或压 轴题的常见结构。 ##2026年预测 ·解答题极大概率仍会出现三角形全等的证明与计算，形式稳定； ·旋转型全等（特别是“手拉手模型”：两个等边三角形、等腰直角三角形共顶点旋转）仍然是热门考 1/17 0学科网·上好课 ww ，zxxk.com 上好每一堂课 查方向，常在动态几何或综合探究题中出现； -K型全等(一线三等角模型)可能进一步增加，尤其在坐标系背景下，通过“K型”构造全等求点坐 标或函数解析式； ·截长补短法构造全等作为辅助线的考查也会持续(如证明线段和差关系 AB+CD=EF 时，常截长或补 短构造全等) -全等与相似混合的题目数量可能增加，要求先用全等得到比例线段或等角，再过渡到相似； -难度趋势上，图形更复杂，模型嵌套更深，但对常见全等模型的准确识别和快速证明仍是可以突破的 重点。 PART02 解题建模·通技法 D题型01三角形全等之一线三等角模型 析典例建摸型 1.(25-26八年级下·云南玉溪·开学考试)如图 ①， ，在 ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， A C = B C$$ 过点C在 ABC 外 作直线 l，AM⊥l 于点 M，BN⊥l 于点N. M C N D C E B A B 图 ① 图② (1)试说明： MN=AM+BN； (2)如图②，将(1)中条件改为 $$\angle A D C = \angle C E B = \angle A C B = \alpha \left( 9 0 ^ { \circ } < \alpha < 1 8 0 ^ { \circ } \right) ， A C = B C ，$$ ，请问(1)中的结 论 DE=AD+BE 是否还成立?请说明理由 研考点·通技法 1.识别模型特征：一条直线上有三个相等的角(通常为锐角、直角或钝角)，顶点均在该直线上。常见于 “K型图”(直角)或等边三角形、等腰直角三角形背景中。 2.利用外角证全等：由外角性质， ∠1+∠2=∠3+∠4， ，结合已知等角，推出另一组角相等。再找一组边 等(如已知等腰三角形的腰或正方形的边)，即可用 AAS 证全等。 3.求点坐标或长度：在坐标系或几何综合题中，通过全等得到对应边相等，将线段长转化为点的坐标差， 建立方程求解未知数。注意直角时可结合勾股定理。 2/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 破类题提能力 1.(25-26八年级上广西来宾·期末)(1)如图①，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，DE是过点A 的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE于点E,且BD=AE.求证：DE=BD+CE. A E A E D 图① 图② 图③ (2)如图②，在ABC中，AB=CA,D,A,E三点都在直线1上，并且有∠BDA=∠AEC=LBAC=a, 且≠90°，请问DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由 (3)拓展与应用：如图③，D,E是D,A,E三点所在直线1上的两动点(D,A,E三点互不重合)，点 F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD,CE.若 ∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断ADEF的形状. 2.（22-23七年级上·吉林长春期中)通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 图① 图② 图③ 【模型呈现】如图①，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.求 证：BC=AE; 【模型应用】如图②，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,若点E、B、D到直线AC的距离分别为 6、3、4,则五边形ABCDE面积为_： 【深入探究】如图③，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连结BC,DE,且BC⊥AF于点F, DE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=I2,则△ADG的面积为_- >题型02三角形全等之手拉手（旋转）模型<《 析典侧.建模型 1.(2026内蒙古包头一模)从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 转中的线段的数量关系开展探究.如图，菱形ABCD与菱形EFCG(BC>FC),∠BCD=120°，点F、G 分别在边BC、CD上. 图1 图2 图3 (I)如图1，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,FG,DG,当点B、点F和 点G共线时， ①BCF与△DCG全等吗？为什么？ ②请写出BG、CG、DG之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,DG,延长BF交DG于点H, 连接CH.请写出BH、CH、DH之间的数量关系，并说明理由， 研考点通技法 ·1.识别共顶点等线段：两个等腰三角形（或等边三角形、正方形）共顶点，顶角相等。如两个等边三角形！ !共享一个顶点，连接对应端点形成全等三角形。 ·2.旋转证全等：将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度（通常为顶角度数）后与另一三角形重合。利！ !用“边角边”(SAS)证明“左手”与“右手”连线的两个三角形全等。 13.结论运用：全等推出对应边相等、对应角相等。进一步可得两连线夹角等于顶角，且连线所在直线相交！ 所成锐角等于顶角。常用此模型求角度或线段长。 破送题提能力 1.(2026甘肃平凉一模)解答下列各题： 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点E在线段AB上，点G在CB的延长线上，连接AG、CE.判 断线段AG与线段CE之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，连接AG、CE.判断线段AG与线段CE之间的数量关系， 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 并说明理由； (3)如图3，若四边形ABCD与四边形BEFG都为菱形，且LGBE=LABC=60°，连接AG、CE.猜想线段 AG与线段CE的数量关系及AG与线段CE所在直线所夹锐角的度数，并说明理由. 2.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题展开数学实践活动. D D F H 图1 图2 图3 (1)如图1，已知等腰RIAABC绕点B逆时针旋转60°得ABC,连接AC,AA.若∠C=90°， BC=AC=2V2,则 ①△ABA,是 三角形，请说明理由； ②求线段AC的长度； (2)如图2，在RtDEF中，DE=8,EF=15,∠E=90°，将R1aDEF绕点D逆时针旋转a(0°<a<90°) 得△DEE,边EF所在直线分别交DF,EF于G,H.若aFGH是等腰三角形，则EH=; (3)如图3，在RtADEF中，DE=8,EF=I5,∠E=90°，点M为DE的中点，将RtADEF绕点E逆时针旋 转B(O°<B<360°)得△DEF2,点N为DF上的动点，连接MN.则MN的取值范围是 >题型03三角形全等之倍长中线模型<《 折典侧建摸里 (2026河南周口·二模)下面是某位同学对一道试题的部分解题过程、请你仔细阅读，并完成任务： 试题：如图1，在ABC中，CM为ABC的中线，若AC=2,BC=4,求CM的取值 范围. 5/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：如图2，延长CM至点D,使得MD=CM,连接BD, M B 图1 M B:CM为ABC的中线，AM=BM, 图2 在△ACM和△BDM中， ·:△ACM≌△BDM(①)，：BD=AC=2, 在△BCD中，BC-BD<CD<BC+BD,. ∴.CM的取值范围是② 任务： D M 图3 图4 图5 (1)在上述过程中，①处判定的依据是 (用字母表示)，②处应填 (2)如图3，在ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，D、E分别为AC、BC上的点，连接MD、ME、 DE,∠DME=90°，若BE=1,AD=2,求DE的长； (3)如图4，C为线段AB上一点，AC>BC,分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直角 △CBE,然后将等腰直角△CBE绕点C逆时针转至图5的位置(A,C,B不在同一条直线上，旋转角小于 45°)，连接AB,M为AB的中点，连接DM,EM.若AD=5,EB=3,直接写出图5中△DAM和 △EBM的面积差. 考点通技法 6/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.构造中心对称全等：遇三角形中线（或中点），延长中线至一倍，使延长段等于中线，连接顶点与延长 端点，构造“8”字形全等(S4S),实现边、角的转移。 2.转化分散条件：倍长中线后，将原三角形中不在同一三角形中的两边（如AB、AC)和已知角集中到新 三角形中，利用三角形三边关系（如两边之和大于第三边）求中线范围或证不等关系。 3.注意中点用法：若题目有多个中点，可考虑中位线（倍长中线多用于一条中线）。倍长后要标对应角， 常用结论：中线倍长得平行四边形（或可证平行）。 破类题提能力 1. (2026甘肃庆阳一模)如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取 FD的中点G,连接EG,CG, D G 图1 (1)写出线段EG和CG的数量关系和位置关系，并说明理由， (2)如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出 你的猜想。 G 图2 (3)如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你 的猜想，并说明理由 D G B 图3 2 (2026江苏扬州一模)综合与探究 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅 助线.所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形 的有关知识来解决问题的方法。 如图1，在Rt△ABC中，取BC的中点O,连接AO并延长，使得AO=OD,连接BD、CD,四边形 ABDC为平行四边形. 图1 图2 图3 备用图 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将Rt△ABC保持固 定，RtAADE绕点A按逆时针方向旋转，其中∠ACB=∠AED=90°，若∠ABC=30°，当点E落在AB边上 时，连接AE并延长，使得CE=EF,连接AF、BF，判断四边形ACBF的形状，并说明理由， 深入探究： (2)如图3，当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接CD、BE,取BE的中点P,连接AP交CD于 点Q,试判断AP和CD的数量关系和位置关系，并说明理由， 拓展延伸： (3)当Rt△ADE绕点A按逆时针方向旋转90时，连接BE,M是射线AC上的一点，连接DM,过点A作 DM的垂线交BE于点G,若G是BE的三等分点，请直接写出4M的值， Ac >题型04三角形全等之截长补短模型<了 析典侧：建摸熙 1.(25-26八年级上江西新余期末)【经典再现】 (1)如图1，D为等边ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，BD=2cm,连接AD.则： ①线段AD和线段BC的位置关系是 (直接写出结果). ②AD=」 cm 8/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 (2)如图2，D为等边ABC外一点，BD=CD,∠BDC=120°，点M和点N分别为等边ABC的边AB 和AC上任意一点，∠MDN=60°，试探究线段BM,CN和MN的数量关系，并加以证明. 【拓展应用】 (3)①把(2)中的条件“点M和点N为等边ABC的边AB和AC上任意一点”改为“点M和点N为直线 AB和直线AC上任意一点”，其他条件不变，直接写出线段BM,CN和MN的数量关系， ②当(2)中的点M和点N在等边ABC的边AB和AC上运动时，记△AMN的周长为P,记ABC的周长 为Q,则弓的值是否改变？若不变，请求出。的值：若改变，请说明理由， D D 图1 图2 研考点通技法 7 1.识别需证明的和差关系：当结论为a+b=c(如AB+CD=EF)时，用截长或补短法。截长：在长线段EF! 【上截取EG=AB,证剩余GF=CD；补短：延长短线段AB至H,使BH=CD,证AH=EF。 !2.构造全等三角形：截长或补短后，通过己知条件（如角平分线、中线、等腰等）证明新构造的三角形与！ !目标三角形全等（常用SAS、ASA)。 3.注意多解验证：若图形不对称，两种方法均可尝试，但其中一种可能更简便。证得全等后严格对应边角， 检查是否需二次全等。常用于角平分线背景下的线段和差问题。 破类题提能力 1.(25-26八年级上·吉林长春期末)同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用探索三角 形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题， 图① 图② 图③ 图④ (I)(1)在ABC中，AD平分∠BAC,LABC=2LC,求证：AC=AB+BD;任选下面一种方法，并写 9/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 出完整的证明过程： 方法一：如图①，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而解决问题： 方法二：如图②，延长AB到点F,使得BF=BD,连接DF,可以得到等腰三角形，进而解决问题， (2)如图③，在ABC中，∠ABC=2LC,AH⊥BC交BC于点H,直接写出AB、BH、BC之间的等量关 系 (3)如图④，在ABC中，AD平分∠BAC,LABC=2LC,AD、BG分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， 48=80=3,4G=空，直接写出GC: 2.(25-26八年级上·重庆九龙坡期末)在等腰ABC中，AB=AC,点D是AC上一动点（不含端点）， 点E在BD的延长线上，且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于点F,连接FC, A D 图1 图2 备用图 (1)如图1，求证：∠ABE=∠ACF. (2)如图2，若LABC=45°，AE∥BC,求证：BD=2EF. (3)若∠BAC=90°，∠ABD=30°，点G为BC上一动点，将线段DG绕点D顺时针旋转90°得到线段DH, 连接AH.将△DAH在同一平面内沿直线DH翻折，使得点A落在点P处，连接BP.若AB=2√3，AD=2 ,当BP+DP的值最小时，过点C作CK⊥DG,垂线交PD于点K.请直接写出△AKD的面积. >题型05三角形全等之十字架模型<《 析典例：.建模型 1.(2026安徽毫州一模)按要求完成下列各题： 图1 图2 图3 (I)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, 10/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH.求 的值： AF (2)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=10,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点G, 交边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求CH的长. 研考点通技法 |1.识别模型特征：正方形或矩形中，两条互相垂直的线段（或一条过顶点，一条过对边）形成“十字”结 」构。常见于正方形内垂直弦、矩形内垂直折线。 |2.利用互余证等角：由垂直得90°，结合矩形内角90°，通过同角（或等角）的余角相等，证明两组锐 |角相等。再找一组对应边等（如正方形边长相等），即可用ASA或AAS证全等。 |3.转化线段关系：通过全等得出两垂直边相等（正方形中）或对应线段成比例（矩形中）。建立方程可求 1线段长，常用于折叠问题或坐标系中求点坐标。注意矩形相似非全等。 破送题提能力 1.(2025内蒙古一模)(1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE1DF, 垂足为点G.求证：△ADE≌aDCF. 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 CH=DE,连接DH,求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°，求 CF的长. (TA F F 图1 图2 图3 2. (2024安微阜阳一模)【模型建立】 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，且AE⊥DF,求证：DE=CF; 【模型应用】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点E在边AD上，点M,N分别在边AB,CD上，且 11/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE⊥MN,求 BE 的值； MN 【模型迁移】 (3》如图3，在四边形48CD中，∠B4D=90,把号4B=BC,4D=DC,点么，下分别在边， AB 2 AD上，且DELCF,垂足为G,求 的值. DE B B A 图1 图2 图3 >题型06三角形全等之半角模型<《 析典侧.建摸型 1.(25-26八年级上·山东济宁·月考)如图，正方形ABCD中，M,N分别在CD、BC上，连接 AM、AN、MN,∠MAN=45°. D 45° M B (I)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE;请你补全图形. (2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系； (3)根据(2)的结论，写出证明过程 (4)如果正方形的边长是5，求aCMN的周长. 砑考点通技法 12/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂一一-一一一一一-一- 1.识别半角特征：大角（如90°或120°）内含有一个小角(45°或60°)，且小角顶点与大角顶点重合 常见于正方形(90°内含45°)或等腰三角形中。 2.旋转构造全等：将三角形旋转小角度（如45°)，使两个分散的三角形合并，旋转后对应边相等（旋转 全等)。常用“截长补短”思想：延长一条边截取等于另一段，再证新三角形全等。 3.结论与计算：旋转后得到全等，推出边等、角等。经典结论：半角所对边的平方等于两邻边平方之和（类 似勾股定理)。利用该模型可直接求线段长或证明线段和差关系。 破类题提能力 1.(25-26九年级上全国·月考)如图在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时 针旋转a交直线CD于点F. D D B 图① 图② (1)如图①.若四边形ABCD为菱形，∠B=60°，a=60°，则AE与AF之间的数量关系是 (2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α=45°，连接EF,当点E在BC的延长线上时，试猜想线段 BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形ABCD为正方形，a=45°，连接EF,当AB=4,BE=BC时，请直接写出EF的长. 2.(2025·山东东营中考真题)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点 的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半 角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法. B 图1 图2 图3 (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN.用 等式写出线段DM,BN,MW的数量关系 13/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC 的延长线上，∠MAW=45°，连接MN,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数 量关系，并说明理由。 ☑PART 03 实战刷题•冲高分 （建议用时：45分钟) 刷模拟 1.(25-26八年级上河北邯郸期中)(1)习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在 △ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,直线经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.请直接写出DE、 AD、BE之间的数量关系. M-D 图1 (2)问题解决：在(1)的条件下，当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE. D B 图2 (3)变式探究：如图3，∠BCA=60°，CA=CB,CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，并且经过∠BCA的 内部，点E、F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA=120°，请猜想EF、BE、AF之间的数量关系，并说明理 由. 14/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图3 2. (25-26八年级上江苏泰州月考)问题背景如图1，在四边形ABCD中.AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量 关系，并说明理由。 由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G,使得DG=BE,连接AG, 则可以先证△ABE兰△ADG,再证 2 从而得到BE,EF,FD之间的数量关系是： 验证猜想写出上述推理的详细过程； 探索延伸如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别在BC、CD上，且 1 ∠BAF=∠BAD,上述结论是否成立，并说明理由。 D D E B 图1 图2 3.(25-26八年级上浙江衢州·期末)某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”.如图1，在ABC中，D是BC的中点，若ABC的面积为6，则△ADC的面积为 ②“倍长中线法可以求中线范围”.如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可以判定 ADC≌EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，根据三角形三边关系可以 求出中线的范围.若AB=4,AC=6,则AD的取值范围是 【拓展应用】 ①如图2，在ABC中，D是BC的中点，E是边AC上的一点，连接BE,交AD于点F,若AF=AE,请 判断AC,AD,AF之间的数量关系，并说明理由. 【创新人才培养选做题】 15/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，在ABC中，D是BC的中点，BE是ABC的角平分线，交AD于点F,AE=3.设△BFD, △AFE的面积分别为S,和S2,若BC-AB=6,试求S,-S2的最大值. 图1 图2 图3 4.(24-25八年级下，河北唐山·月考)【问题情境】如图①，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE,AF分 别与BC,CD交于点E,F. B B 图① 图② 图③ 【探索发现】 (I)如图①，为探究线段BE,EF,DF之间的数量关系，小杨延长CB至点G,使得BG=DF,连接AG.先 证明△ABG≌△ADF,再证明△AEF≌△AEG,即可得到BE,EF,DF之间的数量关系为： 【操作探究】 (2)如图②，当点E,F分别在CB,DC的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段BE,EF,DF之 间的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E在BC边上，且∠DAE=45°，若BD=3, DE=5,则BC的长为 5.（2026山西.一模)综合与探究 问题情境：在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是直线BC上的一点，连接AD,，将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE. 图1 图2 备用图 观察发现： 16/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)如图1，当点D是BC的中点时，连接CE,试判断四边形ADCE的形状，并说明理由. 独立思考： (2)如图2，当点D在线段BC上时，连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,过点F作FG⊥BC于点G,猜想 线段FG与BD的数量关系，并说明理由， 拓展延伸： (3)连接DE,过点A作AF⊥DE于点F,，连接CF,若AB=2√2，∠FCA=60°，请直接写出线段BD的长 17/17